第四章 数列（举一反三单元复习讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列全章十三大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 求数列的通项或项 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【解答过程】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【解答过程】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【解题思路】根据题设，令求参数即可得. 【解答过程】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在数列中，已知，且，则__________． 【答案】 【解题思路】根据已知有且，应用累加法求数列通项，注意验证即可得. 【解答过程】由题设，当，， 所以，，，， 将上式累加可得 ， 所以，显然也满足， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）求下列数列的通项公式： (1)已知数列满足，求； (2)正项数列满足，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用累加法求得正确答案. （2）利用累乘法求得正确答案. 【解答过程】（1）依题意，， 所以 ， 也符合上式，所以. （2）依题意，，则， 所以 ， 也符合上式，所以. 题型2 数列的单调性的判断 6．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【解答过程】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【解答过程】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【解答过程】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）证明：由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过累加法求出数列的通项公式； （2）先根据是递减数列得到，再结合数列的通项公式，通过分离参数法求出的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，，，， 将上述个式子相加，得：， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 当时，，上式也成立， 所以； （2）因为是递减数列，所以， 即， 由（1）可知，，所以， 设，则， ， 当时，，即； 当时，，即； 所以是数列的最大项，即， 所以，实数的取值范围是. 题型3 等差数列的基本量的求解 11．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由等差数列基本量的计算，可得方程组，再解方程组即可． 【解答过程】等差数列的公差为，， 则，解得． 故选：B． 12．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 13．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由，利用通项公式列方程求解即可. 【解答过程】由题可知； 故选：B. 14．（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）在等差数列中，若，求公差的值是_________． 【答案】1 【解题思路】利用等差数列的性质及通项公式，结合已知条件列式计算求解． 【解答过程】是等差数列，设首项是，公差为，， ，解得． 故答案为：1． 15．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，计算即可； （2）利用等差数列的性质求得，由此能求出． 【解答过程】（1）在等差数列中，， ∴，解得； （2）数列为等差数列，，， ∴，则． 题型4 利用等差数列的性质计算 16．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知为等差数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得. 【解答过程】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C. 17．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【解题思路】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【解答过程】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 18．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质求得正确答案. 【解答过程】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D. 19．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）在等差数列中，，则的值为___________. 【答案】12 【解题思路】根据等差数列的下标和性质可求得的值，再根据即可计算出最后结果. 【解答过程】由题意得，结合等差数列的性质可知， 可得，即， 则. 故答案为：12. 20．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 【答案】(1)9 (2)16 【解题思路】（1）根据等差数列的性质，即可求解； （2）根据等差数列的性质，得到，即可求解. 【解答过程】（1）在等差数列中, ∴， ∴， ∴ . （2）∵， ∴， ∴. 题型5 等差数列的通项公式 21．（25-26高二上·河北·阶段检测）在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求出公差，再求出，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【解答过程】设等差数列的公差为． 因为，所以，解得． 所以， 所以． 故选：D. 22．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的通项公式以及前项和的基本量计算，分别求出首项和公差，即可得通项公式. 【解答过程】由题意，，解得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以数列的通项公式为. 故选：A. 23．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 _________. 【答案】 【解题思路】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【解答过程】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为：. 24．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，即可求出，的值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入等差数列的求和公式，即可得答案. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，解得， 所以. （2）由（1）得， 所以前n项和. 25．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【解题思路】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【解答过程】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 题型6 等差数列前n项和的性质 26．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【解答过程】由等差数列的前项和分别为且， 所以 故选： D. 27．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 【答案】D 【解题思路】利用等差数列片段和的性质求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以 ， . 故选：D. 28．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【解答过程】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D. 29．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____________. 【答案】/ 【解题思路】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【解答过程】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 30．（26-27高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）1； （2）. 【解题思路】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得； （2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出. 【解答过程】（1）∵为等差数列，∴，， ∴． （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． 题型7 等差数列的简单应用 31．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【解题思路】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【解答过程】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 32．（25-26高三上·山西·阶段检测）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【解答过程】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 33．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【解题思路】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，冬至的晷长为尺，根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得. 【解答过程】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为， 则立冬到冬至晷长增加，冬至到雨水晷长减少4，设冬至的晷长为尺， 则，解得，则冬至所对的晷长为13.5尺. 故选：B. 34．（2026·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________. 【答案】120 【解题思路】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，列出关于和的方程组，解出即可求出甲花费的钱数. 【解答过程】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 35．（25-26高二上·重庆·期末）某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 【答案】(1)322 (2)12 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式计算即可. （2）根据等差数列前项和公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. （2）由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 题型8 等比数列的基本量的求解 36．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在等比数列中，，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式列式求值. 【解答过程】由，可得，所以. 故选：B. 37．（25-26高二下·福建厦门·期末）记正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】由等比数列的通项的性质求得再根据求得公比，进而由即可求得. 【解答过程】设的公比为. 由，得，所以 则，即 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 38．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C. 39．（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）记为正项等比数列的公比，若，则__________. 【答案】5 【解题思路】根据等比数列通项公式的基本量计算，得到关于公比的一元二次方程，解方程求解即可. 【解答过程】由题意，，则，因为，所以 ， 由可知，则有，即，解得或. 因为数列是正项等比数列，则，所以. 故答案为：5. 40．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列的前三项求出公比，再用等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的通项公式列方程求出首项即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 因为，，所以. （2）因为是等比数列，又，，， 所以，即，解得 题型9 等比数列性质的应用 41．（25-26高二上·福建·阶段检测）在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【解答过程】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B. 42．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 43．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解题思路】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【解答过程】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：C. 44．（25-26高二上·北京·阶段检测）在等比数列中，，，则___________. 【答案】6 【解题思路】先应用等比数列下标和性质得出，进而得出，最后应用通项公式计算求值. 【解答过程】等比数列中，，则， 又因为，则， 设等比数列中公比为，则，所以， 则. 故答案为：6. 45．（2026高二上·湖南长沙·专题练习）已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用等比数列的性质求解即可. （2）利用等比中项和等比数列的性质求解即可. （3）利用等比数列的性质以及对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）在等比数列中， ，， . （2）由等比中项， ， ，， ， 即， ，. （3）由等比数列的性质， ， . 题型10 等比数列的通项公式 46．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【解答过程】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 47．（25-26高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式. 【解答过程】由题设，若的公比为，则，， 所以 ，则. 故选：D. 48．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知是递增的等比数列，若，，则__________． 【答案】 【解题思路】根据等比数列的通项公式及性质求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为． 由等比数列的性质可知，又， 所以是方程的两个根，解得或27， 又是递增的等比数列，所以．所以． 故． 故答案为：. 49．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去） . 所以数列的通项公式为： . （2） 由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得， 可得， ， 因此. 50．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公比，即可求解通项， （2）利用等比求和公式得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去）， 所以，所以． （2），所以， 所以， 所以． 题型11 等比数列前n项和的性质 51．（25-26高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【解答过程】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 52．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 53．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知在递增的正项等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意得到是的两个实根，从而求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而利用等比数列的片段和性质即可得解. 【解答过程】因为是递增的正项等比数列，所以， 又，，所以是的两个实根， 解，得或，所以， 所以由，得，得， 所以. 故选：B. 54．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，则__________. 【答案】585 【解题思路】根据等比数列前n项和的性质即可求解. 【解答过程】由题可知成等比数列， 则， 所以 故答案为： 55．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】8 【解题思路】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【解答过程】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以 . 故答案为：8. 题型12 等比数列的简单应用 56．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【解题思路】根据等比数列求和公式即可求解. 【解答过程】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C. 57．（25-26高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【解答过程】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C. 58．（25-26高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C. 59．（25-26高三上·山西吕梁·阶段检测）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是__________. 【答案】498 【解题思路】根据给定条件，每排停车位的个数构成数列，求出递推公式，利用构造法求出通项公式，再结合等比数列前n项和求解. 【解答过程】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列， 于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以设计的停车位总数为. 故答案为：498. 60．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米. (1)证明：为等比数列； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过?） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）先根据绿洲面积的年变化规律推导的递推公式，通过构造法证明目标数列为等比数列可得； （2）由（1）的等比数列可解得，再通过取对数法解指数不等式得到最小年数. 【解答过程】（1）证明：由题意，初始时总土地万平方千米，沙漠占，得初始绿洲面积万平方千米. 当且时，第年绿洲面积由第年保留绿洲面积及第年沙漠改造绿洲面积两部分组成， 因此：，，即， 所以，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 要使绿洲面积超过，即，得，移项化简得：， 两边取常用对数，得，即， 因为，所以 ， 代入，， 化简得：， 因此，即. 又因为，故的最小值为，即至少经过年. 因此至少经过年，绿洲面积可超过. 题型13 数学归纳法 61．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 62．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B. 63．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【解答过程】证明： （1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 64．（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可. 【解答过程】（1）证明：①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）证明：①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 65．（25-26高二下·河南·阶段检测）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据递推公式求，，进而猜想通项公式； （2）根据（1）中结果，利用数学归纳法分析证明. 【解答过程】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）证明：当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列全章十三大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 求数列的通项或项 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在数列中，已知，且，则__________． 5．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）求下列数列的通项公式： (1)已知数列满足，求； (2)正项数列满足，求． 题型2 数列的单调性的判断 6．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 9．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 题型3 等差数列的基本量的求解 11．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 13．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）在等差数列中，若，求公差的值是_________． 15．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d； （2）已知数列为等差数列，，，求的值． 题型4 利用等差数列的性质计算 16．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知为等差数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 17．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 18．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 19．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）在等差数列中，，则的值为___________. 20．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 题型5 等差数列的通项公式 21．（25-26高二上·河北·阶段检测）在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 _________. 24．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 25．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 题型6 等差数列前n项和的性质 26．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 28．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____________. 30．（26-27高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 题型7 等差数列的简单应用 31．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 32．（25-26高三上·山西·阶段检测）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 33．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 34．（2026·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________. 35．（25-26高二上·重庆·期末）某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 题型8 等比数列的基本量的求解 36．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在等比数列中，，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（25-26高二下·福建厦门·期末）记正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 38．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）记为正项等比数列的公比，若，则__________. 40．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 题型9 等比数列性质的应用 41．（25-26高二上·福建·阶段检测）在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 42．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 44．（25-26高二上·北京·阶段检测）在等比数列中，，，则___________. 45．（2026高二上·湖南长沙·专题练习）已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 题型10 等比数列的通项公式 46．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知是递增的等比数列，若，，则__________． 49．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 50．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型11 等比数列前n项和的性质 51．（25-26高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知在递增的正项等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 54．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，则__________. 55．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则__________. 题型12 等比数列的简单应用 56．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 57．（25-26高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 58．（25-26高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 59．（25-26高三上·山西吕梁·阶段检测）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是__________. 60．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米. (1)证明：为等比数列； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过?） 题型13 数学归纳法 61．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 63．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 64．（25-26高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 65．（25-26高二下·河南·阶段检测）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $