精品解析：河北省唐山市丰南区第二中学2026-2027学年高三上学期10月测评数学试卷

高三年级10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“ 的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足则=（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（ ） A. 63小时 B. 64小时 C. 65小时 D. 66 小时 7. 已知，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数满足：对于定义域内的任意，恒成立，则称为非减函数．已知定义在上的非减函数满足：，且时，，则使不等式一定成立的区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 且恒过定点 C. 的最小值为 D. 在处的切线方程为 10. 已知函数的导数为，且有，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期为4 D. 若，则在上至少有6个零点 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C. 若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 D. 记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数 为偶函数，则_______ 13. 若正实数满足 ，则的最小值为_____． 14. 已知函数的图象恰好分布在三个象限，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. （1）求每百台的平均利润函数m(x)； （2）年产量是多少时，工厂不亏本? （3）年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值; （2）若，解关于的不等式 17. 已知，，且满足. （1）求 的最小值； （2）求 的最小值. 18. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． （1）证明：为“5倒数对称函数”； （2）已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 19. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）若时，，且恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“ 的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案． 【详解】命题“  的否定为：“ 。 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于集合，解不等式， 即， 即，即， 所以， ， 所以， 所以. 3. 已知函数满足则=（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】令，解得， 将代入中， 得. 4. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解集为，分两种情况讨论， ①当时，即或， 若，不等式化为，对任意恒成立，符合题意， 若，不等式化为，解集为，不是全体实数，舍去， ②当时，不等式为一元二次不等式，要使其解集为， 需满足 ， ，解得， 结合①②，取并集得，即实数的取值范围是. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ，函数单调递增，，所以，即， ，，函数单调递增， 故，即， 综上可得：，即. 6. 已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（ ） A. 63小时 B. 64小时 C. 65小时 D. 66 小时 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，所以，即， 所以，所以或（舍去）， 所以，当时，得小时. 7. 已知，恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离变量得，令，利用导数求得最小值即可. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 又，所以恒成立，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以a 的取值范围为. 8. 若函数满足：对于定义域内的任意，恒成立，则称为非减函数．已知定义在上的非减函数满足：，且时，，则使不等式一定成立的区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数的对称性与单调性锁定关键点函数值，再对目标不等式换元，利用非减函数的单调性质分析不等式成立的必要约束；题目要求不等式一定成立，要考虑最坏情况，也就是取允许的上界，把抽象函数的上界不等式转化为二次不等式求解，最后确定满足条件的最大区间并计算区间长度即可. 【详解】由题意， 是定义在 上的非减函数，满足 ， 当 时，， 令 ，，得 ， 取 代入 ：， ∵ 非减，， ， ，， 由非减性：当 时，， 设 ，不等式 即 ， 为非减函数，若 ，则 ， ∴ ，即 ，不等式不成立， 因此要保证不等式一定成立，必须 恒成立， 在 上，， 单调递增， 要保证 一定成立，只需 ： 整理得：， 令，解得：， ∵，∴ ， 当 时，，自动满足 ， ∴使不等式一定成立的区间是 ， 区间长度： . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 且恒过定点 C. 的最小值为 D. 在处的切线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于，设，利用对勾函数的性质即可判断；对于，时，恒有即可判断；对于，利用基本不等式即可判断；对于，利用导数的几何意义即可判断； 【详解】对于，设，对勾函数在上单调递减，，所以，故正确； 对于，时，，所以且)恒过定点，故正确； 对于，， 当且仅当，无实数解，等号不成立，故C错误； 对于，求导，，时，，所以切线方程为， 即，故错误. 10. 已知函数的导数为，且有，，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期为4 D. 若，则在上至少有6个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件构造辅助函数和即可判断A正确、B错误；通过A、B结论可推出，即4是的周期，但的最小正周期不一定为4，故C错误；通过A、B结论可推出，即可判断D正确． 【详解】对于A，因为，所以， 令，则， 所以为常函数，又， 所以，即， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为，所以，即， 令，则， 所以为常函数，又， 所以，即， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C，由A知，由B知， 所以，所以， 故，所以4是的周期， 但的最小正周期不一定为4， 如，满足题意，但没有最小正周期，故C错误； 对于D， 的图象关于直线对称，则， 又，所以，即 所以有，，， ，， 所以在上至少有6个零点，故D正确． 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C. 若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围是 D. 记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 【答案】ACD 【解析】 【分析】转化成方程的根的问题，数形结合可判断A；转化成与的交点问题，数形结合可判断B；解方程，把问题转化成和与的交点个数问题，数形结合可判断C；令，得，转化成与的交点个数问题，分类讨论，数形结合可判断D. 【详解】对于A：设，且点关于原点对称的点也在上，不妨设， 选项A等价于存在唯一的，使， 即， 化简得：，（1） 当，，故，此时方程（1）无解； 当时，方程（1）化为：， 即，令，， 分别作出两函数在上的图象： 由图象知：，的图象在上只有一个交点，即方程（1）只有一个解； 综上：方程（1）在上只有一个解，故A正确； 对于B：令，得， 选项B等价于与的图象有三个交点， 分别作出，直线与的图象， 由图可知：当介于直线，之间或与直线重合时， 直线与的图象有三个交点，此时，故B错误； 对于C：由，得， 解得：或，选项C等价于或解的个数和为5， 即和与的图象的交点个数和为5， 分别作出它们的图象， 由图可知：当时，，当时，， 与的图象共有3个交点， 所以与的图象有2个交点，所以，故C正确； 对于D：令，得：，（2） 选项D等价于方程（2）解的个数， 令，得， 作出的图象如下： 当时，与的图象有1个交点，此时交点横坐标为， 与的图象有1个交点，故此时有1个零点； 当时，与的图象有2个交点，此时交点横坐标分别为，， 与的图象只有1个交点，与的图象有3个交点，故此时有4个零点； 当时，与的图象有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：，，， 此时与的图象有1个交点，与的图象有3个交点， 与的图象有3个交点，共7个交点， 故此时有7个零点； 当时，与有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：，，， 此时与的图象有1个交点，与的图象有2个交点， 与的图象有3个交点，共6个交点，故此时有6个零点； ， 当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：，， 此时与有1个交点，与有3个交点， 共4个交点，故此时有4个零点； 当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：，， 此时与只有1个交点，与有2个交点，共3个交点， 故此时有3个零点； 综上：函数，的零点个数分别为：，，，，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数 为偶函数，则_______ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 所以. 13. 若正实数满足 ，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先因式分解对已知等式变形，换元令，利用基本不等式把放缩为含的表达式，解一元二次不等式求出范围，最后验证等号可取． 【详解】由，得， 由，得， 两边同除以，得， 设， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 代入得，即，解得，或（舍去）， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上，的最小值为． 14. 已知函数的图象恰好分布在三个象限，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析得当时，；当时，，记，，利用导数分析的单调性，结合函数的特殊点，且函数图象恰好分布在三个象限，分类讨论求解的取值范围即可. 【详解】令，则，直线恒过定点， ，令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，，时，， 等价于，函数图象恰好分布在三个象限，分两种情况讨论， 情况一：， 当时，，，又， 故，时图象在轴上方，全部位于第二象限， 要使得总共分布在三个象限，则时必须有正有负， 即在有两个不同实根， 设直线与在处相切，切点为，则 代入，得，约去，， 整理得，解得或(舍去)， 此时， 当时，直线与在有两个交点， 当时，有正有负，图象分布在一、二、四三个象限，符合题意， 情况二：， 当时，，， ，又，故，时图象在轴上方，只占据第一象限， 要使得总共分布在三个象限，则时必须有正有负， 即在有实根，临界为直线与在相切， 设切点， 代入化简：，约去， ，，，解得或(舍去)， ，， 当时，直线与在有交点， 当时，有正有负，图象分布在一、二、三三个象限，符合题意， 当时，，图象只在第一、二象限，不符合题意， 当时，此时只有一个重根， 整个函数除了切点处一个零点，函数值全部大于等于，图像只落在第一、二象限，没有第三象限的部分，不满足恰好分布在三个象限，因此不能取， 综上，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. （1）求每百台的平均利润函数m(x)； （2）年产量是多少时，工厂不亏本? （3）年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 【答案】（1） （2）台 （3）200台 【解析】 【小问1详解】 设每百台的利润函数为，， . 每百台的平均利润函数. 【小问2详解】 工厂不亏本,即， 解得，又，所以. . 因年产量为整台，故最低不亏本产量向上取整为77台， 所以年产量在台时，工厂不亏本. 【小问3详解】 ，，， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以年产量是200台时，每百台的平均利润最大. 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值; （2）若，解关于的不等式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数定义求出参数，再验证函数满足奇函数的定义即可； （2）先由判断出，再判断函数在上单调递减，最后借助单调性脱去对应法则，转化为一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 由于是奇函数，所以，即， 整理得，交叉相乘得：， 整理得：，所以，解得. 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故满足题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故也满足题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意， 所以， 因为为上的增函数，所以为上的减函数， 所以等价于， 由为上的减函数可得：，解得：， 所以不等式的解集为. 17. 已知，，且满足. （1）求 的最小值； （2）求 的最小值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求解出的取值范围，结合完全平方公式即可求解； （2）根据得到，令，，原式可化为，通过“1”的代换，利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 令，因为，所以， 所以，解得，即， 因此有， 令，则，其中， 根据二次函数的图象可知： 当时，函数， 取得最小值时，，且， 因此的最小值为. 【小问2详解】 因为，因此，令，，则有， 对于，因此， 同理有， 所以原式可化为， 对于， 即，当时等号成立， 此时，， 因此上述代数式的最小值为. 18. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． （1）证明：为“5倒数对称函数”； （2）已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 【答案】（1）由题意得函数的定义域为， 对任意，可得， 所以函数为“5倒数对称函数”； （2）（i）函数为“4倒数对称函数”，（ii） 【解析】 【分析】（1）结合题意并利用给出的定义求解即可. （2）（i）结合题意并利用对数的运算性质求解即可；（ii）结合题意转化为方程有唯一解，进而得到恒成立，最后对参数范围分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为， 进一步化简可得， 设函数为“倒数对称函数”，则， 则， 令，得， 对两边取以3为底的对数，得， 则 ， 又， 由对恒成立，得， 解得，经检验，所以函数为“4倒数对称函数”； （ii）由（i）可知，函数为“4倒数对称函数”， 函数有唯一零点， 即关于的方程有唯一解， 对任意，， 又因为为正数，则，所以恒成立， 因为函数为“4倒数对称函数”， 所以原方程的解等价于方程有唯一解， 对上式进一步化简可得， 当时，方程化为，解得，符合唯一解， 当时，判别式， 有两个不相等的实根，所以两根之积为， 若，则，乘积为负，两根一正一负， 仅有正根在定义域内，符合唯一零点， 当时，则，乘积为正，两根同号， 又因为两根之和为，所以两根均为正， 即方程有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求， 综上所述，可得正数的取值范围是． 19. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）若时，，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出切点和斜率，再求解切线方程即可. （2）利用分离参数法将问题转化为，进而结合导数求解取值范围即可. （3）结合题意将问题转化为，再对参数范围分类讨论并结合导数求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 则，，得到切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得恒成立等价于， 令，则， 令，则在上单调递减， 又，所以当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的取值范围为； 【小问3详解】 因为时，，所以由（2）可知：， 则等价于， 令， 当，即时，，， 所以，，不符合题意， 当，即时， 可得， 则在上单调递增，又， 所以恒成立，符合题意．所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $