精品解析：江苏南京外国语学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一阶段练习

2026-2027学年第一学期南京外国语学校九年级数学第一阶段练习 时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（　　） A. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 C. 圆的直径互相平分 D. 垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 【答案】B 【解析】 【详解】将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴， 故选：B． 2. 已知是方程的一个根，则实数c的值是( ) A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式．把代入函数解析式得到，即可得到该反比例函数的表达式． 【详解】解：把代入得到 ， 解得， ∴该反比例函数的表达式为， 故选：C 4. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象． 【详解】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20， ∴xy=10， ∴y是x的反比例函数， ∵2≤x≤10， ∴答案为A． 故选：A． 【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 5. 一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件、为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 6. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，以为圆心为半径画圆，交射线于点D、E，则这个方程较小的实根是（ ）． A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、利用配方法解一元二次方程，圆的基本性质，解题关键在于把方程较小的根转化为的长．在，由勾股定理即可得，再利用配方法可求得方程的解，根据题意可答案． 【详解】解：在，，，， ， ， ， ， ， 即， 解得，， 又以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E， ， 该方程较小的根是， 故选：D． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用点的坐标求出反比例函数的比例系数，再代入点的横坐标计算的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴将，代入，得． 8. 将一元二次方程用配方法，化为的形式，得：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边同时加上即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上，得， 即， 故答案为：． 9. 经过两次连续降价，某药品的销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次的降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设平均每次的降价的百分率为x， 根据题意有：， 解得：，（大于1的值，不合题意舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 10. 如图，函数和的图象交于点，，若，则的取值范围是__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据函数图象求出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的的取值范围即可； 【详解】解：∵函数和的图象交于点，， ∴根据函数图象可得当或时，． 11. 如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵C是弧的中点， ∴弧弧， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 12. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数（单位：）如图所示，那么该圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．过点作，连接，根据刻度尺的一边与圆相切且刻度尺的宽度为，设的半径为，则有，，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求出的半径． 【详解】解：如下图所示，过点作，连接， 则，， 刻度尺的一边与圆相切且刻度尺的宽度为， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ， 解得：． 故答案为：． 13. 圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长列方程求解． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长， 可得方程，解得． 14. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 【答案】##68度 【解析】 【分析】连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 即， ，是的切线，切点为，， ， ， ． 【点睛】本题核心是圆内接四边形的对角互补、切线长定理，通过作辅助线转化角度，利用等腰三角形与内角和求解，关键是几何性质的综合应用． 15. 已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用面积法建立等式求解内切圆半径． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和， 由勾股定理得斜边长为， 如图，设该直角三角形内切圆的半径为， 该直角三角形的面积为， 该直角三角形的面积也为三个小三角形的面积和，即， ， 化简得， 解得． 16. 如图所示，，，，所对的圆心角为．分别在，线段和上选取点，，．要使得线段，，之和最短，此时的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，由对称性可知，通过解直角三角形可得，即当取得最小值时，取最小值，取最小值，可知点在上时，取得最小值，通过证明是等边三角形，得到，由勾股定理可得，证明是等边三角形，再结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，假设点即为所求点，分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，，过点作于， 由对称性可知，当且仅当、、、在一条直线上时，，即为最短距离， 由对称性可知， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，取最小值，取最小值， 如图，作所在圆的圆心，连接，，取中点记为，连接， ∵， ∴，即点在上时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，即，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）方程左边可因式分解，用因式分解法求解． （2）方程无法直接因式分解，用公式法求解． 【小问1详解】 解: 对， 因式分解得， 得或， 解得，． 【小问2详解】 解：对于，得，，， ， 则， 即，． 18. 如图，的弦，的延长线交于点． （1）若的度数为，的度数为，求； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由圆周角的定理得出，，由三角形外角的定义以及性质得出． （2）由弦相等得出，进而可得出，进而可得出，由等角对等边得出． 【小问1详解】 解：∵的度数为，的度数为， ∴对应的圆周角为：，对应的圆周角为：， ∵是的一个外角， ∴． 【小问2详解】 略 19. 已知的一条边的长为5，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若是等腰三角形，则的周长为___________． 【答案】（1） 证明：一元二次方程的判别式 ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，方程总有两个实数根． （2） 或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，配方为完全平方式，利用平方的非负性证明判别式恒非负． （2）分、其中一边与等长两种情况，结合一元二次方程的根求解边长，验证三边关系后计算周长． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：已知，为等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时方程为， 解得，即， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当或时，是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 此时方程为， 解得，，即三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，的周长为或． 20. 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【解析】 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 21. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 22. 如图1，的边在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段交的图象于点，连接，，则的面积=___________． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用平行四边形的性质求出，最后用待定系数法即可得出结论； （2）联立方程组求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出的长度，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 已知， 则． 又∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵反比例函数的图象经过点， ， 解得， 则反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为． 将点代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 联立直线与反比例函数解析式： ，解得（舍去）， 所以点的坐标． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得， 所以直线的解析式为． 令，得， 如图，直线与轴交于点， 所以， 所以， 则， 故的面积为6． 23. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） （1）过外一点作的切线． （2）给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 【答案】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作直线，即为的切线； （2）以上任意一点为圆心，为半径画弧，交于，过点作于，以为圆心为半径画圆，过点作所画圆的切线，交原于、，弦即为所求． 【小问1详解】 解：连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作直线，即为所求． 如图所示：略， 证明：连接、， 由作图可知，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：以上任意一点为圆心，为半径画弧，交于，过点作于，以为圆心，为半径画圆，过点作所画圆的切线，交原于、，弦即为所求． 如图所示，略 证明：由作图可知，，，， ∵为所作圆的切线， ∴， ∴． 24. 综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】 （1）下列说法正确的是___________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． （2）综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 【答案】（1）②④ （2）①该盐溶液的密度为；②该密度计可以测量的液体密度应大于． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的性质，进行判断即可； （2）①设密度计总长度为，根据，以及反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程求出的值，进而求出反比例函数的解析式，再求出盐溶液的密度即可；②求出密度计完全浸没时，液体的密度即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵与成反比例函数，且密度计的均为正数，即，， ∴反比例函数的图象在第一象限，随着的增大而减小， ∵反比例函数的图象为曲线， ∴当密度均匀增加时，深度的变化量不相同， ∵​越大对应​越小， ∴密度计上方刻度数值小，下方刻度数值大； 又∵​随​的变化越来越慢， ∴相同密度差对应的刻度间距上疏下密； 故正确的是②④； 【小问2详解】 解：①设密度计总长度为， 由题意，得， 解得， ∴， ， ∴当时，； ∴该盐溶液的密度为； ②当密度计整个浸没时，即时，； ∴该密度计可以测量的液体密度应大于． 25. 背景材料：舞台旋转光束．在平面直角坐标系中，固定一个圆形道具盘（圆），圆心为，半径．舞台中心处有一束张角固定为且可以绕逆时针方向旋转的探照灯，在探照灯旋转过程中，形成半径大于3的扇形光束，圆盘落在扇形内的部分为照亮区域．设角平分线为，从轴正半轴出发，当旋转的角度为时，照亮区域的面积为，其中． 示意图如下： （1）当时，的取值范围为___________． （2）请从对称性，增减性，最值三个方面描述的性质． 【答案】（1） （2）解：由（1）可知，当和时，圆盘全部落在扇形内，此时值达到最大； 当时；随着探照灯旋转，探照灯照亮圆盘区域逐渐减少； 当时；随着探照灯旋转，探照灯照亮圆盘区域为0，达到最小值； 当时；随着探照灯旋转，探照灯照亮圆盘区域逐渐增加； 关于对称，即． 【解析】 【分析】（1）根据题意求得和，当从轴正半轴出发，旋转到与圆相切，连接切点与圆心，利用正弦值求得旋转角即可；当继续旋转到与圆相切，连接切点与圆心，同理求得旋转的角度，即可求得满足条件的范围； （2）由（1）可知，当和时，圆盘全部落在扇形内，此时值达到最大；当探照灯旋转至时探照灯照亮圆盘区域逐渐减少；当探照灯旋转至时，探照灯照亮圆盘区域为0达到最小值；探照灯旋转至时探照灯照亮圆盘区域逐渐增加；进一步分析可得关于对称，即． 【小问1详解】 解：∵圆心为，舞台中心处有一束张角固定为，且为角平分线， ∴，， 当从轴正半轴出发，旋转到如图所示的位置时，此时与圆相切，连接切点与圆心， ∵半径， ∴， 在中，，则， 那么，从轴正半轴出发，旋转的角度； 当继续旋转到如图所示的位置时，此时与圆相切，连接切点与圆心， 同理可得，则旋转的角度为， 综上所述，时，的取值范围为； 【小问2详解】 略 26. 若一元二次方程有两个实数根，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系． （1）不解方程，求一元二次方程的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，，，，，． 设，，则，即，解得． 所以原方程的解为，． 请利用小艺的方法解方程． （3）小董同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以得．若该方程的三个根分别为，，，则，将其展开后为，于是，，． 若三次方程的三个根分别为，，，则有，，，请直接写出一个一元三次方程且使得该三次方程的三个根分别为，，． 【答案】（1） （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小艺同学的求解即可； （3）设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 【小问1详解】 解：设的两个根分别为， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； 【小问3详解】 解：由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴新方程为． 27. 在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． （1）【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则___________． （2）【初步运用】如图③，在四边形中，，，则___________； （3）【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； （4）【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为___________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）根据得出、、、都在以为直径的圆上，作四边形的外接圆，根据圆周角定理即可得出答案； （3）作的外接圆，圆心为，过点作轴于，轴于，连接、、，根据旋转的性质得出，根据圆周角定理得出，是等腰直角三角形，根据点、坐标得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，，根据，得出四边形是矩形，可得，，利用勾股定理求出，进而求出，即可得出点坐标； （4）过点作于，此时，延长交轴于，当、在上时，设交于，由得出点在上，且在上方，求出与相切及、在上时，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵和分别是所对的圆心角和圆周角，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴、、、都在以为直径的圆上， 如图所示，作四边形的外接圆， ∵和都是所对的圆周角，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆，圆心为，过点作轴于，轴于，连接、、， ∵将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点， ∴， ∵和分别是所对的圆周角和圆心角， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【小问4详解】 解：∵，， ∴点在上，且在上方， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，， 如图当与相切时，过点作于，此时，延长交轴于，当、在上时，设交于，则轴，轴，， 由（3）可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵满足的点恰好有两个， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期南京外国语学校九年级数学第一阶段练习 时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（　　） A. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 C. 圆的直径互相平分 D. 垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 2. 已知是方程的一个根，则实数c的值是( ) A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 5. 一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件、为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A. B. C. D. 6. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，以为圆心为半径画圆，交射线于点D、E，则这个方程较小的实根是（ ）． A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 已知点，在反比例函数的图象上．则__________． 8. 将一元二次方程用配方法，化为的形式，得：______． 9. 经过两次连续降价，某药品的销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率是_________． 10. 如图，函数和的图象交于点，，若，则的取值范围是__________． 11. 如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________． 12. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数（单位：）如图所示，那么该圆的半径为__________． 13. 圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 14. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 15. 已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________． 16. 如图所示，，，，所对的圆心角为．分别在，线段和上选取点，，．要使得线段，，之和最短，此时的值为__________． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，的弦，的延长线交于点． （1）若的度数为，的度数为，求； （2）若，求证：． 19. 已知的一条边的长为5，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若是等腰三角形，则的周长为___________． 20. 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 21. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 22. 如图1，的边在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段交的图象于点，连接，，则的面积=___________． 23. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） （1）过外一点作的切线． （2）给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 24. 综合与实践 【提出问题】密度计中蕴含哪些数学知识？ 【分析问题】密度计不管放在哪种液体里，都是漂浮状态，所以它受到的浮力永远等于自身的重力，重力不变，浮力就不变． ，，， ， ． 因为密度计的型号一旦确定，和就是确定的，所以与成反比例函数． 【解决问题】 （1）下列说法正确的是___________（填序号） ①增大，增加；②增大，减小； ③密度均匀增加时，深度的变化量相同； ④密度计刻度数值上小下大，刻度间距上疏下密． （2）综合与实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度（假设该密度计上下粗细均匀）．当该密度计竖直漂浮在酒精中时，露出酒精液面高度为；竖直漂浮在水中时，露出水面高度为；竖直漂浮在某盐溶液中时，露出液面的高度为，求①该盐溶液的密度；②该密度计可以测量的液体密度应大于多少？（参考数据：，） 25. 背景材料：舞台旋转光束．在平面直角坐标系中，固定一个圆形道具盘（圆），圆心为，半径．舞台中心处有一束张角固定为且可以绕逆时针方向旋转的探照灯，在探照灯旋转过程中，形成半径大于3的扇形光束，圆盘落在扇形内的部分为照亮区域．设角平分线为，从轴正半轴出发，当旋转的角度为时，照亮区域的面积为，其中． 示意图如下： （1）当时，的取值范围为___________． （2）请从对称性，增减性，最值三个方面描述的性质． 26. 若一元二次方程有两个实数根，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系． （1）不解方程，求一元二次方程的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，，，，，． 设，，则，即，解得． 所以原方程的解为，． 请利用小艺的方法解方程． （3）小董同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以得．若该方程的三个根分别为，，，则，将其展开后为，于是，，． 若三次方程的三个根分别为，，，则有，，，请直接写出一个一元三次方程且使得该三次方程的三个根分别为，，． 27. 在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． （1）【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则___________． （2）【初步运用】如图③，在四边形中，，，则___________； （3）【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； （4）【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $