7.9 圆锥曲线的最值与范围问题讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.9最值与范围问题 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 最值与范围是解析几何压轴层的两大出口：卷面上既把它做成压轴大题的最后一问（问“ 的最大值”“ 的取值范围”），也把它做成多选题与小题里的区间判断（选项直接写成 、离心率的范围这类不等式）。三条线索反复出现：一是先转化再运算，定点是焦点、动点在曲线上时，第一步永远问“能不能用定义或几何量把这条线段换掉”；二是范围题的难点不在表达式而在自变量的可取范围，答案的端点开闭全部由“参数能不能取到这个值”决定；三是含参直线必须防漏，交点个数、斜率不存在、平行于对称轴这三种情形各是一次失分。 表 1: 高考圆锥曲线最值与范围考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 全国一卷 18（2）（ii） 动点满足斜率三倍关系，求 的最大值 2025 全国一卷 10（多选） 焦点弦长与焦点向准线的垂线段，判断长度的下界 2024 新课标Ⅱ卷 10（多选） 抛物线上动点向圆作切线，三点共线时求切线长 2023 全国甲卷（理） 9 渐近线与双曲线有无交点，反求离心率的取值范围 表 1 里四处题号的共同点是：没有一处需要“把直线代进去硬算”。2025 年全国一卷第 18 题（2）（ii）先用 为定值把 用 的坐标表示出来，再由“斜率三倍”这一条件把动点 的位置定住，最后只剩“曲线上动点到定点的距离最大”一步；同卷第 10 题的“”靠“通径是最短的焦点弦”一眼看出；2024 年新课标Ⅱ卷第 10 题先由三点共线定出动点坐标，剩下是一次勾股；2023 年全国甲卷（理）第 9 题把“交点存在”翻译成一条斜率不等式。四条线索指向本讲主线：最值题先问能否几何转化，范围题先问自变量能取到哪。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 定义与焦半径 椭圆 ；双曲线 ； 抛物线 ；焦点在 轴的椭圆 、 见“到焦点的距离”立刻换成到准线的距离或 距离与弦长 弦长 ；点到直线 ；焦点弦 三个公式会互相替换，不只用顺手的那一个 不等式工具 和定积最大、积定和最小；对勾函数 在 上递减； 用基本不等式必查等号能否取到 参数化 椭圆 ；抛物线令 得 ；双曲线用 需分分支 会“先设角标，再定角标范围” 参数限制 联立后 的符号；点在曲线内外的判定 与 1 比大小；曲线自身范围 、 先把自变量的可取值域求出来再动笔 几何不等式 两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；垂线段最短； 会用“取等时三点共线”反查可达性 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 本讲的总纲只有三句话：写出目标函数、优先几何转化、卡死参数限制。下面把这三件事拆成题面上一眼能认出的动作。 （一）目标函数：先写下要求的那个量 拿到题第一件事是把要求的量写成一个式子，并在式子旁边标清“谁是变量”。 · 线段长：定点是焦点就写焦半径；弦就写弦长公式；一般两点就写两点距离。 · 面积：优先写成 （底取弦、高取点到直线距离），或割成两个共底三角形。 · 斜率之和、斜率之积、数量积：直接写成 型分式，再决定消元路线。 · 离心率或参数范围：目标式里最后只会剩 或只剩一个斜率，先把它凑出来再谈范围。 目标函数三查 一查变量个数：两个变量就必须消掉一个，消元途径只有两条——把点代回曲线方程，或用韦达定理把对称式换成 、。二查变量形式：出现倒数和、平方和、乘积优先想基本不等式；出现根号里的一次式优先想换元。三查能否几何解释：距离、角度、面积能画出来的，先画再算，往往一步到位。 （二）几何转化：把代数式换成线段 “到焦点的距离”是本讲最好用的一处转化：抛物线上 一律换成到准线的距离 ；椭圆、双曲线上用焦半径 ，把两根根号压成一个一次式。其次是三角形不等式：，取等位置是 落在线段 上；，取等位置是 落在直线 上且在 的外侧。 取等位置才是几何转化的答案 用三角形不等式得到的“最值”必须回答一个问题：取等时动点还在不在曲线上。 的取等位置是“过 向准线作垂线”，这条垂线与抛物线一定有交点，等号能取；把 误写成 时取等位置是“ 在线段 上”，而这条线段整条落在曲线内部，与抛物线没有交点，算出的 只是下界而不是最小值。 （三）参数限制：范围题的真正难点 范围题的失分点集中在两处：一是自变量的范围没求出来就开始配方求导，二是交点存在性只在最后写一句“”。标准顺序是：先由“直线与曲线有两个交点”“点在曲线内”“分母不为零”定出变量的可取值集合，再在这个集合上研究目标函数，最后逐个端点回答“能不能取到”。 端点的开闭由可达性决定 区间端点写方括号还是圆括号，不看它是不是“算出来的数”，只看有没有满足全部条件的图形与它对应。求得的范围若停在某条切线、某个退化位置（两点重合、直线与对称轴平行、动点落到顶点使斜率不存在）上，就要显式判断这一位置算不算“满足题面”。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 模型按题面情境分，不按解法分：先认出“定点是不是焦点”“动点是不是在曲线上”，再决定用哪件工具。六个模型的工具互不重叠，情境认对了，式子基本就定了。 表 3: 圆锥曲线最值与范围问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 焦点配对 式子里只有两条焦半径，没有直线也没有坐标 定义写定和，换成乘积后用基本不等式 例 1 二 · 定点带折线 一定点一焦点，动点在抛物线上，问两段的和或差 焦点那段换成到准线的距离，垂线段最短或两边之差 例 2 三 · 曲线上的动点 两定点坐标给死，动点在椭圆上，问距离积或面积 设角标 ，辅助角后查角的范围 例 3 四 · 分式结构 要的是一个“比”或倒数和，而不是长度 参数化成单变量分式函数，求导定临界点 例 4 五 · 双动点与对称条件 两动点都在曲线上，带垂直或关于原点对称的条件 用条件消元，或先用第三定义与中点公式 例 5 六 · 定方向弦 方向固定的弦在曲线上滑动，问这条弦长的范围 用 定出斜率截距的可行域，弦长写成单变量函数 例 6 （一）模型一：焦点配对 识别标志：题面只给椭圆（双曲线）上的动点与两个焦点，出现的是 、 的倒数、平方或根式组合。标准动作：用定义写下 （或差为 ），把目标式改写成只含乘积 的形式，再用“和定积最大”。易错在忽略焦半径自身的取值范围 ，把不等式当方程解。 （二）模型二：定点带折线 识别标志：线段中恰好有一条以焦点为端点，另一条以给定定点为端点。标准动作：把焦点那段换成 ，求和的型式变成“折线换垂线段”，求差的型式才用“两边之差小于第三边”。易错在把和也写成两定点间距离、把差的方向搞反，以及不判断定点在曲线内还是曲线外。 （三）模型三：曲线上的动点 识别标志：两个定点的坐标写死，动点在椭圆（双曲线）上，目标是它到这两点的距离之积、之和或围成的面积。标准动作：设角标 ，目标式化成 后用辅助角；面积型先定一条为底的定线段，高就是动点到它的距离。易错在把 当自由变量，忘了题面的垂直、共线、异于顶点等条件也是对 的限制。 （四）模型四：分式结构 识别标志：答案要的是一个“比”（两段距离之比、斜率之积）或倒数之和。标准动作：用曲线方程把分子分母同时化成同一个变量的多项式，平方后求导定临界点，再比较临界值与端点值。易错两处：漏掉“分母为零”“两点重合”这类剔除条件；只看区间两端而漏掉定义域内部的临界点。特别说明：若两个定点恰是曲线的一对对称顶点，斜率之积一定是定值（椭圆 、双曲线 ），那属于第 7.8 讲的定值问题。 （五）模型五：双动点与对称条件 识别标志：两个动点都在曲线上、地位对称，题面给的是它们之间的垂直关系或关于原点对称。标准动作：垂直型用斜率互为负倒数把两点坐标写成一个变量；对称型先用中点公式 与第三定义把双变量压成单变量，再用不等式，取等条件要能解出具体的点。 （六）模型六：定方向弦 识别标志：直线的方向（斜率）给定，位置带参数，题面限定它与曲线有两个交点，问这条弦的长度范围。标准动作：把截距当变量，由 定出截距的可行域（开区间），用韦达定理把弦长写成截距的函数，在开区间上求值域。易错在可行域是开的，端点必须逐个判断能不能取。 四、例题精讲 六道例题一一对应六个模型，每题统一按四步展开：认模型 → 设元 → 定目标 → 校验。第三步列出目标函数并求出最值或值域，第四步“校验”专管三件事——端点开闭、取等位置能否达到、参数的隐含限制。 （一）模型一：焦点配对 例题 1（模型一·倒数和与根式和） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在 上。 （1）求 的最小值； （2）求 的取值范围。 图 1: 椭圆上点 P 与两个焦点构成的两条焦半径 第 1 步 · 认模型：式子里只有两条焦半径，没有直线、没有坐标——模型一。、、，定义给出 。 第 2 步 · 设元：记 、，则 。焦半径自身的范围是 ，即 ，这一条在第四步要用。 第 3 步 · 定目标： （1）。由基本不等式 ，当且仅当 时取等，故 ，最小值为 1。 （2）记 ，则 在 、 下， 在 上的取值范围是 [3,4]（ 或 3 时取 3， 时取 4），于是 。因 、，得 第 4 步 · 校验：（1）的取等位置 即 ，对应 在短轴端点 ，确在椭圆上，等号可取。（2）中 由短轴端点 给出， 是闭端点； 由 （或 ）给出，对应 为长轴顶点 ，也在椭圆上， 同样是闭端点。故 （1）最小值为 1；（2）。 焦半径和定：积在短轴端点最大 椭圆上 固定， 的最大值一定在短轴端点取到（），最小值一定在长轴端点取到（）。倒数和、根式和、平方和都可以换成 的单调函数，两步定案：先定 的范围，再套单调性。本题 ， 随 递增，故两端正好对应长短轴顶点。 （二）模型二：定点带折线 例题 2（模型二·抛物线上的和与差） 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ，点 在 上。求 的最小值与 的最大值。 图 2: 抛物线上的动点 P、定点 A 与准线 l 上的垂足 B 第 1 步 · 认模型：两段距离中有一段以焦点为端点，动点在抛物线上——模型二。，。先判位置：，所以 在抛物线内部，这一条决定后面走哪条路。 第 2 步 · 设元：设 在准线 上的垂足为 。由定义 ，目标换成 第 3 步 · 定目标：（和的最小值） 在直线 上、 在直线 上， 介于两线之间，故 当 、、 三点共线（在同一条水平线上）时取等。 （差的最大值）在 中 ，当 落在线段 上时取等，即 是直线 与抛物线“越过 ”的那个交点。直线 ，代入 得 ，，取 者。 第 4 步 · 校验：和的型式：水平线 与 交于 ，、，和为 4，等号成立。差的型式： 时 在 的外侧、 在 与 之间，，可取。故 的最小值为 4； 的最大值为 。 和与差走的是两条路 型必须把 换成到准线的距离，再用“垂线段最短”，最小值是定点到准线的距离； 型才用三角形两边之差，最大值是 。两题式子只差一个符号，做法完全不同。定点在曲线内还是在曲线外还要单独判一次：若 在曲线外，和的最小值就不再是 到准线的距离。 （三）模型三：曲线上的动点 例题 3（模型三·椭圆上动点与两定点的面积） 已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，点 在 上且与 、 不共线。求 面积的最大值。 图 3: 椭圆上动点 P 与上顶点 A、右焦点 F 围成的三角形 第 1 步 · 认模型：两定点坐标写死、动点在椭圆上，目标是面积——模型三。、、，故 、， 是定长，就取它作底。 第 2 步 · 设元：直线 由两点式写成 （验证： 代入得 ✓， 代入得 ✓）。设 ，则高为 第 3 步 · 定目标： 由辅助角公式， 的取值范围是 。要让绝对值最大，取左端 （因为 ，左端离 更远）： 第 4 步 · 校验：先查取到 的角标给出真实的点。条件是 即 。代回曲线 点在椭圆上；再查它与 、 不共线：把 代入 得 ✓。 再用“平行切线”复核同一结果：与 平行、斜率为 的直线 代入 ，整理得 令 ，得 ，即 。把切线写成一般式 ，其中 ，于是两条切线为 ；它们与 （即 ）的距离分别为 取较大者 ， ✓，与辅助角法一致。 面积的最大值为 。 曲线上的动点到定直线的最远距离 设角标之后，曲线上的动点到定直线的距离一定写成 的形式：分母 是直线法向量的模，分子里三角部分的振幅是 ，两者不是同一个数（本题 、、、，而振幅 ）。最远距离让 取 与 中使绝对值更大的那一支—— 不为零时不能想当然取正号。等价做法是求与定直线平行且与曲线相切的两条切线，再量它们到定直线的距离，两法结果必须相同，可作自查。 （四）模型四：分式结构 例题 4（模型四·焦半径与定点距离之比） 已知抛物线 的焦点为 ，点 ，点 是 上的动点。求 的取值范围。 图 4: 抛物线上动点 P 到焦点 F 与到定点 A 的两条线段 第 1 步 · 认模型：要求的是两段距离的比——模型四。、 都在 轴上，这预示着比可以只用 表示。 第 2 步 · 设元：设 ，，故 。分子用定义：。分母展开后用 消 ： 两端都只剩 ，变量消尽，可以正面求值域。分母恒不为零：，即 不在抛物线上（）。 第 3 步 · 定目标：记 ，则 求导： 分子里提出公因子 ，剩下的部分是 ，故 在 上 、分母 >0， 的符号只由 决定： 在 [0,5] 上递增、在 [5,+∞) 上递减，最大值 又 ，，所以最小值是 。 在两段区间上分别连续，值域为 第 4 步 · 校验：两个端点都要回代到图形。下端点 给 （顶点），、，比值 ，取得到，写闭。上端点 给 ，在 上，、，比值 ✓，取得到，写闭。故 的取值范围是 。 模型四的标准三步 第一步把目标写成“分子分母都用同一个变量表示”的分式——比与积这类目标常能用曲线方程把纵坐标整体消掉（本题用 把 化成只含 的式子）。第二步先求该变量的取值集合（、分母不为零都是限制）。第三步求值域时不能只看两端： 的极限值 1 既不是最大值也不是最小值，真正的最值在定义域内部的临界点 与端点 上。 （五）模型五：双动点与对称条件 例题 5（模型五·两条互相垂直的射线） 已知 为坐标原点，点 、 是抛物线 上异于 的两点，且 。求 的最小值。 图 5: 抛物线上两点 A、B 与原点 O 构成的两条垂直射线 第 1 步 · 认模型：两个动点都在曲线上、地位对称，条件是两条射线垂直，目标是平方和——模型五。 第 2 步 · 设元：设 。代入 得 ，因 故 ，解得 由 得 ，同法得 ，。 第 3 步 · 定目标：记 ， 令 ，则 ，于是 在 [2,+∞) 上单调递增（），，故 。 第 4 步 · 校验： 即 ，。取 ：； 得 。两点都在 上（ ✓）、都不与 重合， 确实垂直；，与 一致。故 的最小值为 16，当 （两条射线与对称轴成 ）时取到。 换元之后范围必须跟着换 （）的取值范围是 [2,+∞)，不是 。换成关于 的函数后必须在 上求最值：若直接对 配方取顶点 ，会得到 −9 这种不可能的答案。判据：换元引入的新变量，它自己的取值范围是本讲第二个“参数限制”。 （六）模型六：定方向弦 定方向弦的变量只剩截距一个，列式不难，难在收尾：失分点不在求最值，而在把“交于不同的两点”翻成 之后，区间两个端点的开闭有没有逐个交代。 例题 6（模型六·斜率为 2 的弦） 已知椭圆 ，斜率为 2 的直线 与 交于不同的两点 、，求弦长 的取值范围。 图 6: 斜率为 2 的直线在两个位置时所截的弦 第 1 步 · 认模型：直线的方向已定（斜率为 2）、位置带一个参数（截距），交点个数是条件，目标是这条弦的长度——模型六。目标只有一个变量，这是范围题里最干净的一类。 第 2 步 · 设元：设 ，代入 ： 第 3 步 · 定目标：先定可行域。“不同的两点”要求 再算弦长： 第 4 步 · 校验：，且 合法（直线 过原点，与椭圆交于两点），此时 取最大值 17： 直接核对： 时 ，，， ✓。当 时 ，两交点合并成切点， 但取不到（题面要求两个不同交点），所以下端是开的。 从 0 连续变到 17，弦长连续递减，故 ，最大值为 ，在 过原点时取到；无最小值。 “两个不同交点”给出的区间是开的 解出的是开区间 。把 代回题面，直线与椭圆相切，、 重合，不满足“交于不同的两点”，所以弦长的下端 0 只能写成圆括号；但“ 过原点”对应的 完全合法，上端写方括号。最值与范围题的分数往往就在这两个括号上。 五、易错点辨析 六个例题里已经埋了本讲最常见的六处失分点，集中列表对照。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 直接取 把“两边之和”当成“两点之间线段最短”，忘了 被限制在曲线上 先把 换成 ，用垂线段最短，最小值是定点到准线的距离 基本不等式求出最值后不写取等位置 不等式只给出界，界是否可达是另一件事 每个等号条件都回代：解出 的坐标，验证它在曲线上、不与其它点重合 用辅助角求最值时把 当自由变量 题面的垂直、共线、异于顶点等条件也是对 的限制 先由约束定出 的可取值，再在这些值上算目标；无约束时才可取遍 换元 后在 上配方 只换了变量，没换变量的范围 同步写出 （或 ），在可行域上用单调性定最值 设 一路算到底 抛物线的“斜率不存在”“平行于对称轴”两类直线被整类漏掉 按二次项系数是否为零分大类；或统一设 ，把竖直线放进 把开区间端点写成最大值 混淆“上确界”与“最大值”，只看趋势不看可达性 把端点代回题面：能写出对应图形就闭，写不出就开，并注明“无最大值” 六、当堂检测 A 组对应模型二、一、三、六的基本动作，每题只走一步转化；B 组是范围与定值的综合判断，含两道以真题为原型的改编；C 组是压轴层的割线定值与面积最值。 （一）A 组：基础过关 A1 已知 是抛物线 的焦点，点 ，点 在 上，则 的最小值为（） A2 已知椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，点 ，点 在 上，则 的最小值为（） A3 已知直线 与椭圆 交于不同的两点 、，则弦长 的取值范围是。 A4 已知 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上的动点，。 （1）求 到直线 的距离的最小值； （2）求 到直线 的距离与 到 轴的距离之和的最小值。 （二）B 组：能力提升 B5 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是 上异于 、 的动点。 （1）当直线 、 的斜率都存在时，求 的值； （2）求 的取值范围。 B6 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的两条互相垂直的直线分别与 交于 、 两点和 、 两点，则 的值是。 B7 设椭圆 的左、右焦点分别为 、。若 上存在点 使 为直角，求 的离心率的取值范围。 B8 已知点 在圆 上，点 在椭圆 上，求 的最大值与最小值。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知圆 ，点 ，过 的直线 与圆 交于不同的两点 、。问 是否为定值？若是，求出该定值；并求 的取值范围。 C10 已知 为抛物线 的焦点。过原点 作两条互相垂直的直线，这两条直线分别与 交于点 、（、 均异于 ），求 面积的最小值。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：B。 提示：、准线 。第一步判位置：，所以 在抛物线内部， 只是下界而不是最小值——线段 整条落在曲线内部，与抛物线没有交点，等号取不到。第二步用定义：设 是 在准线上的垂足，则 ， 取等位置是过 向准线作的那条水平线 ，它与 交于 ，该点正落在 与准线之间，等号成立。故最小值为 2。 易错点：把 当答案（选 A），或把 取在 (1,2) 算出 3（选 C）。 A2答案：C。 提示：、、，、，而题给的 恰好与 重合，这一条必须先查出来。于是 ， 焦半径的最小值是 ，在 为左顶点 (−5,0) 时取到，故所求最小值 =10+1=11。 易错点：误选 D（19）是把 取在右顶点（）；误选 B（10）是漏加了单独那条 ；误选 A（9）是把 当成 算。看到“椭圆上一点到两定点距离的和（带系数）”，先比一比定点是不是焦点，再决定用定义还是用三角形不等式。 A3答案：。 提示：把 代入 得 ， 这一步不能跳过：直线恒过定点 (0,2)，它在椭圆 外部，所以斜率不是任意实数。记 ， 令 ，则 、， 故 φ 在 (0,+∞) 上单调递增，、，于是 ，即 。 两端都要显式判断： 即 时直线与椭圆相切，、 重合，不合“不同的两点”，下端开； 即 时直线趋于竖直，而竖直线 写不成 ，题面已经把它排除（尽管它截出的弦恰是短轴、长恰为 2），上端也开。 易错点：把 2 写成“最大值”，或因 φ 递增就以为上端可取。 A4答案：（1）；（2）。 提示：先把“有没有交点”查清楚：由 得 ，代入 得 ，，直线与抛物线不相交，最小距离才是正数。设 （抛物线上动点把纵坐标当参数，省掉一层根号）。 （1） 等号在 即 处取到（绝对值可以直接去掉，因为 恒成立）。等价做法是求与 平行的切线：对 关于 求导得 ，令其等于 2 得 ，同一个切点。 （2）关键一步是把“ 到 轴的距离”换成焦半径：抛物线上的点到 轴的距离就是它的横坐标 ，而 ，所以 ，于是 取等位置是“过 向 作的垂线段与抛物线有交点”。垂线写成 ，垂足对应 ；代入 得 ，，交点 确实落在这条垂线段上，等号可取。 直接求导也能得到同一结果：， 给 ，与上面的 一致。 易错点：把“到 轴的距离”当成 （差一个 1），或在（1）里对 求距离时忘了先判断直线与曲线是否相交——相交时最小距离是 0，本题因为把 移到曲线外才成为一道真正的最值题。 （二）B 组 B5答案：（1）；（2）。 提示：、，、，设 ，。 （1），用曲线方程 整体代入，得 ，与 无关。 （2）两式都先用 把纵坐标消掉： 相乘时用平方差，含 的一次项全部消尽。记 ，由 在椭圆上且异于 、 得 ，并设 则 在 [0,8) 上恒成立， 单调递减，、，故 。 校验：上端 即 （短轴端点），，乘积 12 ✓ 取得到，写闭；下端 是 与 （或 ）重合的位置，题面“异于 、”不允许，写开。 易错点： 的范围来自曲线本身（），漏掉“”就会把开区间写成闭区间。 B6答案：。 提示：、、、。焦点弦长用倾斜角 表示： 两条弦互相垂直，倾斜角为 与 ，故 参数完全消尽，所以是定值。 校验用两个特殊位置： 时一条弦是长轴 ，另一条垂直于它、是通径 ，倒数和 ✓； 时两支相等，， ✓。 易错点：通径记成 或把本题的 代错，就会算出“通径 =1”这种与 矛盾的值——特殊位置一验就能发现。 B7答案：。 提示：设 、。直角给出 ，定义给出 ，两式联立： 于是 、 是方程 的两个根。“这样的点 存在”就要求该方程有实根： 两根还须落在焦半径自身的范围 内。两根为 ，和为 关于 对称，只需查较大的那根：，恒成立 ✓ 不再产生新限制。 端点： 时 ，， 为短轴端点，此时 ， 确实垂直，故左端取闭；右端 是椭圆的自带条件，取开。 几何一眼法（同一答案）： 等价于 在以 为直径的圆 上，于是问题变成“该圆与椭圆有公共点”，即 ，同样得 。 易错点：把 写成 >0，白丢一个可取的端点；两圆相切时“存在一点”仍然成立。 B8答案：最大值 5，最小值 1。 提示：两个动点分别在以 为圆心的圆和以 为中心的椭圆上，就用 作中介，两次三角形不等式： 最大：（ 的最大值是长半轴 4）。取等条件是 落在线段 上，即 、 在过 的同一条直线上且分居两侧。取 、， ✓ 可达。 最小：（ 的最小值是短半轴 2）。取等条件是 落在线段 上，即 、 在过 的同一条射线上。取 、， ✓ 可达。 易错点：只写出 ≤5 而不验证三点共线能否实现；或忘了先判断圆与椭圆的位置关系——半径 1 小于短半轴 2，圆整个在椭圆内部，最小值不为 0，这一点决定了用“差”而不是“交点”。 （三）C 组 C9答案： 是定值 3；。 提示： 在圆外（），过 的切线长 。由切割线定理（点 对圆 的幂），任意一条与圆交于两点的割线都满足 与 的斜率无关，这一步根本不必联立方程。数值核对： 为 轴时 、，、，积 3、和 4 ✓。 和的型式取中点：设 为弦 的中点，则 ，（），且 最后一步用直角三角形 。交点存在要求 ，即 ，，故 的取值范围是 [0,1)（ 时 合法）， 校验：上端 即 为 轴（过圆心，最长弦），和 =4 取得到，写闭；下端 即 趋于切线，、 重合，不合“不同的两点”，写开，此时 恰是两条切线长之和，与“重合后 ”一致 ✓。 易错点：把和的下界写成 （那是相切时一段的长度）；或忘了 的斜率必须存在（竖直直线 与圆相切，本来也不合题面）。 C10答案：12。 提示：设 、（）。代入 ：由 得 、，即 ；把 换成 得 。两直线各自与抛物线除 外恒有第二个交点， 可取任意正数。 第一步找定点。 的斜率 整理成 ，即 恒过定点 ； 时 、， 是竖直线 ，同样过 ✓ 这一支必须单独交代。 第二步用定点分割面积。 与 都在 轴上，，于是 校验取等： 给 、，、 到直线 的距离 =3， ✓ 可达；再取 复核公式：、，， ✓。 易错点：一是 时上面那个斜率式分母为零，定点结论要单独验证；二是 只对 与 同号时成立，用 写才不会漏掉 的那一半。 学科网（北京）股份有限公司 $