第8章 热点强化课19 圆锥曲线中的最值与范围问题（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线最值与范围核心考点，涵盖抛物线、椭圆等内容，按几何法与代数法梳理解题路径，整合五种常用解法。通过考点梳理、典例精讲、策略总结的教学环节，帮助学生构建系统解题框架，突破难点。 讲义突出数学思维与模型观念的培养，如在椭圆OM⊥ON问题中，引导学生用参数方程构建面积函数，通过换元法求值域，发展推理能力。设置分层练习与即时反馈，确保复习高效，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法： (1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解； (2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围． [典例]　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F点，M(a,2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． [解]：(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6， 又点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa， 由解得或 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2. 因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 又y1＝t－x1，y2＝t－x2， 所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0， 得2p＝. 由原点O到直线AB的距离不小于，得≥，即t≤－2(舍去)或t≥2， 因为2p＝＝t＋1＋－4， 函数y＝在t∈[2，＋∞)单调递增， 所以p≥，即p的取值范围为. 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求△OMN面积的取值范围． 解：(1)设椭圆标准方程为：＋＝1(a＞b＞0)， 由题意：⇒， 所以椭圆C的标准方程为：＋y2＝1. (2)如图：若直线OM的斜率不存在，则可取M(0,1)，因为OM⊥ON，可取N(，0)，此时S△OMN＝×1×＝. 若直线OM的斜率为0， 同理可得S△OMN＝×1×＝. 当直线OM的斜率存在且不为0时，设直线OM的方程为y＝kx， 由，得x＝， 则|OM|＝|xM|＝， 用－代替k，得x＝，则|ON|＝. 所以S△OMN＝×|OM|×|ON|＝××＝. 设k2＋1＝t，t＞1 则S△OMN＝＝ ＝. 因为t＞1，所以∈(0,1)，－＋＋2＝－2＋∈， 所以∈，所以S△OMN∈. 综上，S△OMN∈. 学科网（北京）股份有限公司 $