精品解析：新疆维吾尔自治区喀什第二中学2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试卷

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. “为正三角形”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为正三角形一定是等腰三角形， 所以“为正三角形”可以推出“为等腰三角形”， 又因为等腰三角形不一定是正三角形， 所以“为等腰三角形”推不出“为正三角形”， 因此“为正三角形”是“为等腰三角形”的充分不必要条件． 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题，将存在量词改为全称量词， 变量的取值范围不变，否定结论，的否定为， 故该命题的否定为. 5. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 6. 某企业的一个产品前（）个月的总产量（单位：百件）与的关系式为，则该企业这个产品前个月的月均产量的最小值为（ ） A. 56件 B. 6300件 C. 5600件 D. 63件 【答案】B 【解析】 【分析】先写出月均产量，把实际问题转化为具体函数问题，利用导数即可求出函数最值. 【详解】因为总产量为，则月均产量为， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在取到最小值为百件，即6300件. 7. 已知函数，则（ ） A. 没有零点 B. 有一个零点，且该零点等于1 C. 有两个零点，且两个零点之和大于 D. 有两个零点，且两个零点之和小于 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数及的图像，判断出零点的个数，根据零点存在定理判断出零点的取值范围，进而求出两个零点之和. 【详解】令，得， 画出函数及的图像， 由图像可知函数和有两个交点， 所以函数有两个零点，且一个大于，一个小于， 又，所以为函数的一个零点， 又，，， 所以函数在上存在零点， 所以两个零点之和大于. 8. 设函数，，且有最大值，无最小值，则（ ） A. 有最大值，且最大值为最大值的 B. 有最大值，且最大值为最大值的 C. 有最小值，且最小值为最大值的 D. 有最小值，且最小值为最大值的 【答案】C 【解析】 【分析】通过化简可得，，然后研究函数与函数的定义域和值域的关系即可得出答案． 【详解】易知的定义域为， 则， ， 令，则，，代入得， ，则， 由，得，所以与的值域相同， 已知有最大值，无最小值，不妨设最大值为，则，则， 所以，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知， 判断A选项：由不能推出，例如取，，取，满足，但，故A错误； 判断B选项：由，得，又，所以，由不等式性质，两边平方得：，故B正确； 判断C选项：由B知，但的符号不确定，若，则； 若，则；若，则，所以不一定成立，故C错误； 判断D选项：由，得，故D正确. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得，进而可得，验证各选项可得. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 可得 ，，，代入， 化简整理得，即， 再由余弦定理得，因为，，所以， 因此得，所以，选项AC满足条件，AC正确. 11. 若函数无极值，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数求导，再令，将有无变号零点转化为方程的根问题，用导数判断函数的性质可得. 【详解】由函数，定义域为，. 令，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值也是最小值为​， 且当时，当时，的值域为. 若无极值，则无变号零点， 若：方程无解，恒成立，单调递增，无极值； 若：方程仅有唯一解，且在左右不变号， 恒成立，是的零点，但不是变号零点，函数单调递增，无极值. 若：方程有两个解，且这两个解是的变号零点，函数有两个极值； 若：方程有一个解，且这一个解是的变号零点，函数有一个极值； 因此当时，函数无极值. 显然，，，所以ABD正确，C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，解得或， 所以函数的定义域为. 13. 已知函数（，）为奇函数，且在上单调，则 _______，的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦函数奇函数性质即可求出，再由函数单调区间限制，得出，即可求得. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 又，所以，所以， 因为在上单调，，所以，即，所以， 综上，. 14. 若存在正数，，使得不等式成立，则负数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把不等式化为，再求的最小值，解一元二次不等式，可求负数的最大值. 【详解】由. 先求，（，）的最小值. 设，（，）， 则， 由，因为，，所以，此时单调递增； 由，因为，，所以，此时单调递减； 所以当，时，取得最小值. 所以， 当且仅当即，时取等号. 问题转化为由，求负数的最大值. 由， 由，所以. 所以负数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求的最小正周期与值域； （2）求曲线的对称中心的坐标； （3）将曲线上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线，求的解析式． 【答案】（1）最小正周期为，值域为． （2）（）． （3）． 【解析】 【详解】（1）， 所以的最小正周期为，值域为． （2），令（）， 得（），所以曲线的对称中心的坐标为（）． （3）． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，分或，两种情况讨论，进而得出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，可得，则， 则，且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由函数，可得其定义域为， 且， 当时，则，可得，则在上单调递增； 当时，则， 令，可得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减；在上单调递增． 17. 已知函数． （1）证明：． （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，并根据单调性比较出大小； （2）由基本不等式得到，从而得到，求出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 18. 已知，，三点都在半径为的圆上，且，． （1）求的长． （2）已知，为线段上一点，且． （i）证明：平分． （ii）现要将区域设置为绿化带，且绿化带的造价为120元，试问这个绿化带的总造价为多少元？ 【答案】（1） （2）（i） 因为，所以，即， 由（1）得，，，又，所以，为锐角，故， ， 又，， 代入得，即， 又，所以，又， 所以，故平分 （ii）元 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解； （2）（i）根据三角恒等变换证明即可.（ii）利用三角形的面积公式求出的面积即可. 【小问1详解】 根据正弦定理得，其中，， 解得，又，所以， 所以，即. 【小问2详解】 （i）略. （ii）由（i）得，所以 ， ，， 所以的面积为， 因为，所以， 所以，又绿化带的造价为120元， 所以总造价为元. 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得证． （2）当时，零点个数为2；当或时，零点个数为1；当时，零点个数为0． （3）证明：当存在两个零点，时，可得，不妨令，则． 由题可得则． 令，则由，可得， 则整理得则． ①要证，即证． 因为，所以需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则，故，得证． ②，因为，所以要证，需证，需证． 由可得． 因为，所以要证，需证． 令，，则需证，需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，从而，故，得证． 【解析】 【分析】(1)求导找到极小值点，算出最小值，直接证明；(2)分离参数，构造函数，用单调性与图像，按的范围分类讨论零点个数；(3)双零点用比值换元，把用t表达，再构造单变量函数证明两个不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然不是的零点． 当时，由，得． 令，则． 当和时，，单调递减，当时，，单调递增． 当时，，当时，，且． 由，可知当且时，，当时，． 当时，关于的方程有两解，则的零点个数为2； 当或时，关于的方程有一解，则的零点个数为1； 当时，关于的方程无解，则的零点个数为0． 【小问3详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “为正三角形”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 5. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某企业的一个产品前（）个月的总产量（单位：百件）与的关系式为，则该企业这个产品前个月的月均产量的最小值为（ ） A. 56件 B. 6300件 C. 5600件 D. 63件 7. 已知函数，则（ ） A. 没有零点 B. 有一个零点，且该零点等于1 C. 有两个零点，且两个零点之和大于 D. 有两个零点，且两个零点之和小于 8. 设函数，，且有最大值，无最小值，则（ ） A. 有最大值，且最大值为最大值的 B. 有最大值，且最大值为最大值的 C. 有最小值，且最小值为最大值的 D. 有最小值，且最小值为最大值的 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数无极值，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_______． 13. 已知函数（，）为奇函数，且在上单调，则 _______，的取值范围是_______． 14. 若存在正数，，使得不等式成立，则负数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求的最小正周期与值域； （2）求曲线的对称中心的坐标； （3）将曲线上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线，求的解析式． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 已知函数． （1）证明：． （2）若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 已知，，三点都在半径为的圆上，且，． （1）求的长． （2）已知，为线段上一点，且． （i）证明：平分． （ii）现要将区域设置为绿化带，且绿化带的造价为120元，试问这个绿化带的总造价为多少元？ 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）讨论的零点个数． （3）设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $