精品解析：新疆乌鲁木齐市第101中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

乌鲁木齐市第101中学2027届高三年级10月月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】，故，两边同乘以得， 故充分性成立， 不妨设，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列函数中，定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由的定义域为，关于原点对称， 由，即为奇函数， 但在上是单调递减函数，故A错误； 对于B，由的定义域为，关于原点对称， 由，即为奇函数， 但由对勾函数的性质知在和上是单调递减函数，故B错误； 对于C，由的定义域为，关于原点对称， 由，即为偶函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，关于原点对称， 由，即为奇函数， 又，且等号仅在处成立，即在上是单调递增函数，故D正确． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义可排除A，当时函数值为负数排除选项CD，再利用导数法验证函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A， 当时，，排除选项CD， 又，记，则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以当时，在上单调递增. 故选：B 5. 函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 由得；得； 故的单调递增区间为，递减区间为， 故该区间可以是. 6. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式，二倍角公式以及化简，再分子分母上下同时除以，即可求解. 【详解】 ， 上下同时除以，可得， ，因为，则. 7. 定义域为的是奇函数且可导，；当时，,则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，并结合奇偶函数的性质求解不等式即可． 【详解】因为当时，， 所以， 设， 因为是上的奇函数， 所以，即为上的偶函数， 又， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 不等式， 当时，则，得，解得， 当时，则，得，解得， 所以的解集为． 8. 若函数有两个不同的极值点，则a的范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据题意可得有两个不等的正根，进而得有两个不等的正根，令，求导，作出函数的图象与有两个不同的交点，可求得a的范围. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 由函数有两个不同的极值点，可得有两个不等的正根， 即有两个不等的正根，所以有两个不等的正根， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 作出函数的示意图如图所示， 要使有两个不等的正根，则与有两个不同的交点， 所以，所以，所以a的范围. 二、多项选择（每小题6分，共18分） 9. 以下不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A根据幂函数的单调性判断可得；对B根据指数函数的单调性判断可得；对C构造函数，并用导数判断单调性，进而可判断大小；对D先将不等式变形为，再构造函数，并求导判断函数单调性进而可判断大小. 【详解】选项A：由幂函数，幂指数，因此该函数在上单调递增， 因为，所以，A成立. 选项B：考察指数函数，底数，因此该函数在上单调递减， 因为，所以，B不成立. 选项C：构造函数，求导得， 当时，，单调递增， 因此，即，整理得，C成立. 选项D：要证，只需证，即证. 构造函数，求导得​， 当时，，单调递增， 因为，所以，即， 所以原不等式成立，D成立. 10. 以下代数式化简的结果是的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，利用两角和的正切公式求解；选项B，利用两角差的正切公式求解；选项C，利用两角差的正弦公式求解； 选项D，利用辅助角公式，诱导公式及二倍角的正弦公式求解. 【详解】选项A， ，故选项A错误； 选项B，， 故选项B正确； 选项C， ，故选项C正确； 选项D， ，故选项D错误. 11. 定义在上的函数和均是可导函数，其中，分别是，的导函数，满足，，若函数为偶函数，则下列论断成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由偶函数性质，函数的对称性，周期性结合赋值法即可求解. 【详解】因为，，为偶函数， 即，将替换为可得， ，即， 将代入可得， 则关于点中心对称，将中替换为， 得，结合为偶函数可得，， 则，则是周期为8的周期函数， 求导可得，故A正确； 由，令，得，则，即，故B错误； 因为，令，得，由于， 令，得，因此，因为不确定，故不一定等于，故C错误； 因为，将替换为，可得， 两式相加可得，因为， 将替换为得，故， 因此，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若 ，则用m表示的结果是_________________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，且， 即，所以. 13. 已知函数，则_________________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以 . 14. 已知函数，若有7个不同的零点，则a的范围是___________________ 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，分析满足7个零点的情况，再由二次函数零点的分布列不等式组可得. 【详解】 画出图象如上， 令， 分析其解的个数可得当时有4个解，当和时有三个解， 当时，，此时，，解得或， 由图可得此时方程有4个解，不符合题意； 当时，，此时，，解得或， 由图可得此时方程有6个解，不符合题意； 所以有7个不同的零点等价于方程的两根只能是满足：， 由二次函数的性质可得. 四、解答题（共77分） 15. 已知 是第二象限角 （1）求的值; （2）求，以及的值. 【答案】（1） （2），； 【解析】 【详解】（1），； （2）， ； 16. 已知函数； （1）求函数在处的切线方程; （2）当时， 证明: 【答案】（1） （2）证明：设， 则， 当时，，所以，所以函数在单调递增， 所以，所以得证. 【解析】 【分析】（1）利用点斜式计算即可； （2）构造新函数，求导判断新函数的单调性，求出最小值即可证明. 【小问1详解】 ， ， 所以函数在处的切线方程为， 即 【小问2详解】 略 17. 据媒体报道: 2018年非洲爆发非洲猪瘟(英文名称: African Swine fever) 是由猪瘟病毒ASFV 引起家猪、非洲野猪以及欧洲野猪的感染，引发一种急性，出血性、烈性的传染病.2018年8月中国辽宁某卫生生物防疫调研组依据生猪的成活率y与生长周期x (时间单位：季度)分别在不同时段统计了一组数据，，对应如下：，且五组数据的散点图如图： 为了统计好当地的生猪成活率，研究员甲：选了两个不同的函数模型来拟合以上情况； ， 研究员乙在实际调研时发现： ①随着时间的推移，后期生猪的成活率又呈缓慢递增趋势： ②还计算了两拟合函数值与统计值之差的绝对值如下： A B C D 0.25 0.50 1 2 4.05 2.10 1.25 1 0.02 0.07 0 0 0.02 0.18 0.23 0.17 （1）依据研究员乙的研究发现，研究员甲应该选择哪个函数模型来拟合更合适，利用C，D两点计算出此函数模型的解析式； （2）在(1)的情况下，模型估计m的值，请说明在第几季度生猪的成活率最低. 【答案】（1）应选择函数模型； （2）m的值为1.25，第2季度 【解析】 【小问1详解】 由研究员乙的发现①可知，随着时间的推移，后期生猪成活率呈缓慢递增趋势. 对于模型，当充分大时，呈递增趋势，符合题意； 对于模型，当充分大时，呈常数趋势，不符合题意. 同时，由表可知，模型在点C，D处的误差为0，拟合效果优于. 故应选择函数模型； 由题意，函数的图象经过点和， 将这两点坐标代入解析式得:， 所以该函数模型的解析式为: ， 【小问2详解】 当时，，所以模型估计m的值为1.25. 由基本不等式可得: ， 当且仅当时等号成立， 所以当时，取得最小值， 故在第2季度生猪的成活率最低. 18. 已知函数. （1）求的值. （2）若，求函数的值域. （3）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接通过变角，再用两角差的余弦公式计算可得； （2）先由二倍角公式及诱导公式将函数化为关于的二次函数，再通过换元得到一个二次函数，再由二次函数的性质可得函数的值域； （3）先通过变角及两角差的余弦公式可得，再由变角及两角和的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 设，则，开口向下，对称轴的二次函数， 所以二次函数在上单调递增，在单调递减，所以时，. 当时，；当时，，所以. 因此二次函数的值域为，即函数的值域为 【小问3详解】 ， 又因为，所以， 由， 因此. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）设，讨论函数的单调性； （3）若任意，不等式 成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数在内单调递减，在内单调递增； 当时，函数在，内单调递增，在内单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，内单调递增，在内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而可得值域； （2）求导可得，分析讨论的符号以及两根的大小关系，利用导数判断的单调性； （3）整理可得，设，则在恒成立，令，利用导数求最值即可得结果. 【小问1详解】 因为函数，，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 又因为，，，且，则， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时，当时，；当时，； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减； ②当，即时，恒成立，可知函数在上单调递增； ③当，即时，当时，；当时，； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，函数在内单调递减，在内单调递增； 当时，函数在，内单调递增，在内单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，内单调递增，在内单调递减. 【小问3详解】 由题得在恒成立，整理得， 设，则， 可知函数在单调递增，则， 设，则在恒成立， 设，令， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，所以实数k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第101中学2027届高三年级10月月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数，若在某区间上单调递增，则该区间可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则 （ ） A. B. C. D. 7. 定义域为的是奇函数且可导，；当时，,则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个不同的极值点，则a的范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择（每小题6分，共18分） 9. 以下不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 以下代数式化简的结果是的有（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数和均是可导函数，其中，分别是，的导函数，满足，，若函数为偶函数，则下列论断成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若 ，则用m表示的结果是_________________ 13. 已知函数，则_________________ 14. 已知函数，若有7个不同的零点，则a的范围是___________________ 四、解答题（共77分） 15. 已知 是第二象限角 （1）求的值; （2）求，以及的值. 16. 已知函数； （1）求函数在处的切线方程; （2）当时， 证明: 17. 据媒体报道: 2018年非洲爆发非洲猪瘟(英文名称: African Swine fever) 是由猪瘟病毒ASFV 引起家猪、非洲野猪以及欧洲野猪的感染，引发一种急性，出血性、烈性的传染病.2018年8月中国辽宁某卫生生物防疫调研组依据生猪的成活率y与生长周期x (时间单位：季度)分别在不同时段统计了一组数据，，对应如下：，且五组数据的散点图如图： 为了统计好当地的生猪成活率，研究员甲：选了两个不同的函数模型来拟合以上情况； ， 研究员乙在实际调研时发现： ①随着时间的推移，后期生猪的成活率又呈缓慢递增趋势： ②还计算了两拟合函数值与统计值之差的绝对值如下： A B C D 0.25 0.50 1 2 4.05 2.10 1.25 1 0.02 0.07 0 0 0.02 0.18 0.23 0.17 （1）依据研究员乙的研究发现，研究员甲应该选择哪个函数模型来拟合更合适，利用C，D两点计算出此函数模型的解析式； （2）在(1)的情况下，模型估计m的值，请说明在第几季度生猪的成活率最低. 18. 已知函数. （1）求的值. （2）若，求函数的值域. （3）若，且，求的值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）设，讨论函数的单调性； （3）若任意，不等式 成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $