空间向量及其运算的坐标表示专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间向量及其运算的坐标表示测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C．π D． 4．，若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 7．已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知空间向量，则（    ） A．是的必要不充分条件 B．若不共面，则也不共面 C．若，且，则 D．若，则 11．已知正四棱柱的底面边长为1，，点P，Q分别满足，，，，则（    ） A．当时，对于任意的实数λ，μ，恒为锐角 B．当时，对于任意的实数λ，μ，都有成立 C．当时，满足的点P的轨迹与BD平行 D．当时，满足的点P的轨迹围成的区域的面积为 三、填空题 12．已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为______． 13．如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的表面积为________． 14．正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为____________． 四、解答题 15．已知向量与向量共线，且，， (1)求向量的坐标； (2)求实数的值. 16．已知向量，． (1)求； (2)若与垂直，求实数t的值. 17．已知空间中三点，设． (1)若，且，求向量， (2)已知向量与互相垂直，求k的值． 18．已知正方体，建立如图所示空间直角坐标系， (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 19．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的两点. (1)若，求； (2)证明：. (3)记的面积为，证明. (4)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间向量及其运算的坐标表示测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B B B B C ABD AB 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 2．A 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是. 3．B 【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 因，故， 故选：B 4．B 【分析】直接利用共面向量基本定理结合空间向量的坐标运算列方程组求出结果即可． 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得． 故选：B． 5．B 【分析】根据投影向量的坐标公式计算. 【详解】已知，则， 向量在向量上的投影向量的坐标为： . 故选：B 6．B 【分析】根据空间向量的坐标线性运算求出，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 7．B 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得， 由为等腰三角形（，），用余弦定理： 验证ABBD：，故， 又，，得平面； 建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为，则， 由：， 由：， 由：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 8．C 【分析】法一：根据空间向量共面定理可得当点P位于平面内时，，设与平面平行的平面为，外接球球心为，分析可得当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大，进而分析求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算可得，，进而得到，再结合基本不等式求解即可. 【详解】法一：因为， 所以当点P位于平面内时，， 设与平面平行的平面为，正方体的外接球球心为． 则当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大． 记棱的中点为E，则面， 故图中射线与球的交点即为点P． 设棱AB，的中点分别为F，G，取过O，，E的截面，如图， 连接OP交直线FG于点M，过点O作垂足为H， 则，， 则的最大值为． 法二：设正方体的外接球球心为，建立如图的坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 又，得， ， 又点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，则． 得， 设，则， 而， 因为， 故当，且时，取最大值为， 所以的最大值为，即的最大值为． 9．ABD 【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C错误；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D正确. 【详解】由可知，即A正确； 当时，则，满足，因此，即B正确； 当时，易知，所以，可知C错误； 当时，可得，满足，可知，即D正确. 故选：ABD 10．AB 【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D. 【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得， 但当时，方向不一定相同，故A正确； 对B：假设共面，则存在实数，使得， 所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确； 对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件， 但任何两个都不相等，故C错误； 对D：若，则不一定共线，故D错误. 故选：AB. 11．ACD 【分析】由题意可知，点P为底面内一点(包含边界)，建立空间直角坐标系利用向量的坐标运算逐一判断各选项. 【详解】由题意知，，两两垂直，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 连接，则，，故，， 所以点P为底面内一点(包含边界)．，，，设(，)． 选项A：当时，，，则 ，所以，则恒为锐角，A正确． 选项B：当时，，设点关于平面的对称点为，则，连接，，则， 所以， 当P为与平面的交点时取等号． 所以存在点P，使得，所以B错误． 选项C：当时，，，，由，得， 即，所以点P的轨迹为中平行于边的中位线，C正确． 选项D：当时，，，， 由，得：， 整理得， 所以点P的轨迹为正方形的内切圆，其围成的区域的面积为，D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算.B选项，在空间直角坐标系中，由于点，Q在点P所在平面的同侧，所以可作关于平面的对称点，则为的最小值. 12． 【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. 【详解】因为点在直线上运动，所以存在实数使得， 所以，， 所以 ， 当且仅当时，上式取得最小值，此时点的坐标为． 故答案为：. 13． 【分析】根据坐标确定圆锥的高与底面半径，再由圆锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得圆锥的高为，地面半径为，则，所以， 则圆锥的母线， 则侧面积，底面积， 所以表面积. 故答案为： 14． 【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度. 【详解】结合题意：连接交于点,交于点,连接 由正四棱台的结构特征,易知两两垂直， 故以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为在正四棱台， 所以易计算得到： ，， 所以，, 因为是的中点,所以， 所以. 要使M、P、Q三点共线，则，共线， 则，解得：， 所以，, 所以， 所以. 故答案为:    15．(1) (2) 【分析】（1）设，由数量积的坐标表示求得后得结论； （2）由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】（1）共线， 可设， ，解得：， ， （2）∵，∴， 即，解得： 16．(1) (2) 【分析】（1）由空间向量的坐标，用坐标表示出，然后由空间向量的模长公式求得； （2）由空间向量的坐标，用坐标表示出和，由空间向量的数量积建立方程，解得实数t的值. 【详解】（1），所以. （2），， ， 所以. 17．(1)或； (2)k的值是． 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线可设，结合模长公式可求； （2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值； 【详解】（1）空间中三点， 则，， ，且，， ， ，或． （2）因为，，且向量与互相垂直， ，解得． 的值是． 18．(1) (2) 【分析】（1）设出边长，根据点的坐标可得到向量的坐标，即可求得方向向量； （2）根据（1）中点的坐标可得到平面的一个法向量. 【详解】（1）设边长为，则， 所以， 所以对角线的一个方向向量为； （2）由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以平面的一个法向量. 19．(1) (2) 设， 则 ， 将与互换，与互换，与互换， 可得， 故. (3) 因为， 故， 故要证，只需证， 即证. 由（1）， ， 可得， 又因为，，， 所以 所以，故. (4) 由（3）可知， 得， 故， 故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍. 【分析】（1）由向量叉乘的定义直接求解即可； （2）设，根据叉乘的运算表示和即可证明； （3）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后根据（1）的运算证明即可； （4）由（3），通过变形可得，即可证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）略 （3）略 （4）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $