1.3 空间向量及其运算的坐标表示专项训练----2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算核心，以模长、平行、垂直、夹角为逻辑主线，覆盖选择、填空、解答题，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模长的坐标表示|5题|基础计算与空间四边形中点应用|从向量坐标定义到模长公式，结合几何中点转化| |平行的坐标表示|5题|参数求解与共线判定|通过比例关系建立坐标联系，延伸共线向量应用| |垂直的坐标表示|7题|含正方体体积、参数计算及多选|利用数量积为零构建方程，结合几何垂直场景| |夹角的坐标表示|9题|含正方体动点、四棱锥钝角问题及解答题|从夹角余弦公式到空间角应用，综合几何建模|

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一 空间向量模长的坐标表示 1．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 2．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 3．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 5．已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 知识点二 空间向量平行的坐标表示 6．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 7．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 8．已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，,则___________． 10．已知向量，，若与共线，则的值为________． 知识点三 空间向量垂直的坐标表示 11．已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 12．已知向量，若，则________． 13．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 14．设、，向量，，，且，，则______. 15．（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 16．（多选）已知空间向量，则下列结论正确的是（   ） A．当实数时， B．当实数时，使得 C．若与垂直，则 D．若与平行，则 17．（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 知识点四 空间向量的夹角 18．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 19．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 20．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 21．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 22．已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 23．在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 24．如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 25．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 26．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 15 16 答案 C C C C C A B B ABC ABC 题号 17 18 19 20 21 22 23 答案 AC A D C B B A 1．C 【详解】由向量加法得， 所以. 2．C 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 3．C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 4．C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 5．C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 6．A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 7．B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 8．B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 9． 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 10． 【分析】利用空间向量共线则相应坐标成比例，列方程即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得. 故答案为： 11．/ 【详解】因为，所以，解得. 12． 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 13． 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 14．0 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 15．ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 16．ABC 【分析】由空间向量模长、数量积的坐标运算判断A、B，由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断C、D. 【详解】由，则，A对， 由，则，B对， 若与垂直，则，可得，C对， 若与平行，则，显然，不存在使等式成立，D错. 故选：ABC 17．AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C、D，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 18．A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   19．D 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 20．C 【详解】因为向量，可知， 则. 21．B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 22．B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    23．A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为，则. 因为在向量上的投影向量为， 则，所以. 而，可得向量的夹角为. 故选：A. 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 25．(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 26．(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $