吉林长春市文理高中2026-2027学年高二上学期第一学程考试数学试题

长春市文理高中2026-2027学年度（上）高二年级 第一学程考试数学试卷 （本试卷共3页，满分150分，考试时间120分钟） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当的三个内角都小于时，在内部存在唯一的点，使到三角形三个顶点距离之和最小，且点满足：.在直角坐标系内，的费马点为，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知，则 B. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 C. 已知空间三点，则向量与的夹角余弦值为 D. 若为空间中任意一点，有，则点在平面内. 10. 某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则（ ） A. 图中 B. 估计该市全体学生成绩的平均分为71 C. 若对成绩前的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分 D. 若在的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙）中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为 11. 如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线无交点 B. 直线不可能与直线垂直 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点到平面的距离为 三､填空题：本题共3小题；每处题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则__________. 13. 如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为__________． 14. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题；平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有，，则的最大面积为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是、、. （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程. 16. 在长方体中，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 长春市文理高中2026-2027学年度（上）高二年级 第一学程考试数学试卷 （本试卷共3页，满分150分，考试时间120分钟） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AD 三､填空题：本题共3小题；每处题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】12 【14题答案】 【答案】12 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 所以，， ，所以， ，所以， 因为平面，平面，且平面， 所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）和 （3）定值， 【19题答案】 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）（ii）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $