精品解析：湖北潜江市文昌高级中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

湖北潜江市文昌高级中学2026-2027学年高三上学期9月月考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 3. 下图对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 若是函数的极值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 10. 下列说法正确的有（    ） A. 已知，则的最小值为 B. 若正数x、y满足，则的最小值为9 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 11. 定义在上的函数的导函数为，若对于任意实数，都有，且，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若方程有两个根，（），则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 14. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围． 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间，并求函数在的值域； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值并判断的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数； （3）已知，求证：当时，函数有两个不同的极值点，（），且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北潜江市文昌高级中学2026-2027学年高三上学期9月月考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，又， 所以. 2. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 3. 下图对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图象可知，图象关于原点对称，函数为奇函数， 对于A，，为奇函数， ，接近，符合题意； 对于B，，为偶函数，不符合题意； 对于C，，为奇函数， ，远小于，不符合题意； 对于D，，为偶函数，不符合题意. 4. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【详解】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 5. 若是函数的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，根据条件得，从而可求出，即可求解. 【详解】因为函数, 所以， 又是函数的极值点， 所以，解得， 所以， 当时，，当时，，当时，， 所以满足题意，故， 所以. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可. 【详解】，所以， ，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 7. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由图象平移的对称性推出是奇函数，再推导得到函数周期为，最后将转化为已知区间的函数值计算即可。 【详解】因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数，所以，因为对，都有成立， 所以，所以， 所以函数的周期为，因为当时，， 所以. 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性，再通过比较的大小，得到的大小关系，即可比较大小. 【详解】由， 因为在R上单调递增，在R上单调递减， 可知在R上单调递增， 又因为，， ，且， 因为，，则， 所以，，同理可得， 故， 即， 故 所以，即， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 原命题“，”的否定为“，”，正确. 选项B：指数函数满足，令即，代入得， 故函数恒过定点，不是，错误. 选项C：是偶函数，故，， 又在上为减函数，且，因此，正确. 选项D：因为为增函数，且对称轴为，且要满足， 即或，所以函数递增区间为，错误. 10. 下列说法正确的有（    ） A. 已知，则的最小值为 B. 若正数x、y满足，则的最小值为9 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立； 当时，，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以 ， 所以， 所以函数的值域为，故A错误； 对于B，若正数x、y满足， 可得，当且仅当时等号成立， 令， 则，即，解得，即，所以的最小值为9，故B正确； 对于C，若正数x、y满足，则， 则 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故C正确； 对于D， ， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 定义在上的函数的导函数为，若对于任意实数，都有，且，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若方程有两个根，（），则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知，可解得，利用求切线的方法即可判断A；利用奇偶函数的定义可判断选项B；将代入不等式即可求解；利用函数和的图象变化情况及交点情况可判断选项D. 【详解】由得，即. 设，由得，所以. 所以，则. 对于选项A，，，所以曲线在点处的切线方程为，故A正确； 对于选项B，，的定义域为，， 又，所以为奇函数，故B错误； 对于选项C，由得，即，所以，即，解得， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D，由得函数在上单调递增，而为开口向上，且对称轴为的二次函数. 由方程有两个根，（）可知满足. 设的两个交点为，则，且. 又在上单调递增，所以，则， 即，所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 13. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 14. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系及零点的定义求出；根据零点相邻函数的定义得到的零点，通过分离参数，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】对，求导得，所以单调递增，仅有一个零点. 又，所以. 由题意知，即，解得，即在区间上有解. 的定义域为. 令，则，，可变形为， 令，故在区间上有解可转化为求在区间上的值域. 求导得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值，为. 又，，所以在区间上的值域为. 因为在区间上有解，即在区间上有解，所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义域为，得出，列出不等式求解即可； （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值，进而得出，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 由的定义域为，知的解集为， 则，解得：， 所以a的取值范围为． 【小问2详解】 函数的值域为等价于能取到上的一切值， 所以只要即可，其中， 所以，解得：或， 所以实数a的取值范围是． 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 可得 ,讨论，从而得到不等式组，求解参数； （2）若， q是p的必要不充分条件，知A真包含于B，即可求参数范围. 【小问1详解】 由，可得 ， 由 可得， 当，则，可得， 当，则，可得， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 若，是的必要不充分条件，A真包含于B， 则或，解得， 故的取值范围为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间，并求函数在的值域； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负得出单调区间，进而求解函数在的值域； （2）原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点，结合（1）得出函数简图，数形结合即可求解． 【小问1详解】 ，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，所以在内单调递增， 所以在区间内，，， 所以在上的值域为． 【小问2详解】 原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点， 由（1）得在取极小值，也是最小值， 即，且有， 令，当时，，取，则有， 则原式， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，易得的增长率在上高于的增长率， 所以当时，，由此可得， 综上，满足题意的与如图， 所以． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值并判断的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），在和上单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【小问1详解】 函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以在和上单调递减， 所以在和上单调递减； 【小问2详解】 因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 ， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数； （3）已知，求证：当时，函数有两个不同的极值点，（），且． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. （3）当时，，，. ，，，，， 且在处由负变正，故有两个不同的实根，的符号依次为正、负、正，所以有两个不同的极值点. 又，，故. 令，则，取，由得，所以. 又且在上单调递增，故. 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）利用导数求函数的最值，解决恒成立问题； （3）利用函数单调性判断函数极值点个数，再由极值点的范围证明不等式. 【小问1详解】 ，故. 因为，所以的符号由决定. 当时，等价于，故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，故在上单调递减. 当时，等价于，故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由恒成立，且，可知为的极大值点，于是，即. 反之，当时，. 先证：设，则， 当时，当时，故在处取最小值， 所以（当且仅当时取等号）. 由，得，故恒成立. 综上，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $