精品解析：北京市通州区潞河中学2026－2027学年八年级上学期10月阶段学情自测数学

2026—2027潞河中学八年级上数学10月月反馈 一．单选题（每小题2分，共16分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 2. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 4. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则及完全平方公式的应用，根据相关法则逐一计算各选项判断正误即可． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故A选项正确； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项错误； ∵完全平方公式为， ∴，故C选项错误； ∵分式的乘方，分子分母分别乘方， ∴，故D选项错误． 故选：A． 6. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得，即， ∵ 方程的解为正数， ∴ ， 解得． ∵ 分式分母不为0， ∴ ，即，解得． ∴ 的取值范围是且． 7. 2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找到等量关系，列出分式方程． 【详解】解：计划每天分装份，计划完成时间为天， 实际效率提升，则实际每天分装份，实际完成时间为天， ∵实际提前2天完成， ∴． 8. 若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+ ）的值为（   ） A. 1                                  B. 0                                          C. ﹣1                                          D. ﹣3 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由已知得：a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可． 详解：∵a+b+c=0， ∴a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b， a（+）+b（+）+c（+ ）= =， =， =-1-1-1， =-3， 故选D． 点睛：本题主要考查整式的加减运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的运算和分式的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 二．填空题（每小题2分，共16分） 9. 若，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对拆分变形， 得， ， 代入得． 10. 若分式的值为零，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，需满足分子为0且分母不为0，分别计算即可得到结果. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得，且， ∴的值为. 11. 分式与的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求分母系数的最小公倍数，再取各字母因式的最高次幂，两者相乘即可得到最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为，第二个分式的分母为，首先计算系数的最小公倍数，和的最小公倍数是， 再确定各字母的最高次幂，的最高次幂是，的最高次幂是，的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 12. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 13. 等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】13或14 【解析】 【分析】分类讨论确定腰长，验证三边能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①若4为腰，则三角形三边长为4，4，5， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； ②若5为腰，则三角形三边长为5，5，4， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 14. 在公式中，所有字母均不等于，若用，，表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将，，视为已知常数，利用等式性质对公式变形求解即可． 【详解】解：已知 ，且所有字母均不为， ∵ 等式两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立， ∴ 两边同时除以，得 移项得． 15. 对于正数，规定，例如，，则的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先推导的结果，找到规律后分组计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 16. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设三角形三个内角为，，，已知一个内角为，分三种情况讨论后，结合钝角三角形的条件筛选符合要求的结果． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为，，， 当时，则， ∴， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 当时，则， ∴， 此时三角形是锐角三角形，不符合题意； 当时， ∴，解得：， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 综上：或． 三．解答题（共68分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方，再按照分式除法运算法则计算即可； （2）先对分母因式分解，然后按照异分母分式加减法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解先整理分式，再去分母，去括号，合并同类项，系数化为一运算即可． 【详解】解： 去分母可得： 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 19. 如图，，点是上一点，与的延长线相交于点，且，．求证．请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据． 证明：， ① （② ）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴③ （④ ）． （已知）， ∴⑤ （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（⑥ ）． 【答案】；三角形的内角和定理；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的判定与性质进行分析求解即可． 【详解】证明：， （三角形的内角和定理）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴（等量代换）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将条件变形为，再把要求代数式化简整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 21. 下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 【答案】解：选择甲同学，解答过程如下：（选择一名同学的做法即可） 原式 ． 选择乙同学，解答过程如下： 原式 ． 【解析】 【分析】选择甲同学，解答过程为：先计算括号内的减法，再计算乘法即可；选择乙同学，解答过程为：先运用乘法分配律计算，再计算减法即可． 【详解】略． 22. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】对括号内式子通分计算；把除法转化为乘法；对多项式因式分解后约分；最后代入数值计算结果． 【详解】解： ． 当时， 原式． 23. 已知：，． （1）化简； （2）若，试比较、的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约去公因式即可化简； （2）采用作差法，通分计算，结合判断式子正负，进而比较P、Q的大小． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， ， ，， ，即， ． 24. 如图，点，，，是同一直线上的四点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质可得的度数，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 25. 某航模小组对、两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵元； ②用元购买型无人机模型的数量与用元购买型无人机模型的数量相同． 求型和型无人机模型的单价各是多少元？ 【答案】型无人机模型的单价为元，型无人机模型的单价为元． 【解析】 【分析】以、两种型号无人机购买数量相同为等量关系，设未知数列分式方程求解． 【详解】解：设型无人机模型的单价为元，则型无人机模型的单价为元． 由题意得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：型无人机模型的单价为元，型无人机模型的单价为元． 26. 观察下列方程及其解的特征 第个方程：的解为， 第个方程：的解为，， 第个方程：的解为，． 解答下列问题： （1）猜想第个方程的解为________； （2）关于的第个方程为________，它的解为________； （3）利用上述规律解关于的分式方程：． 【答案】（1）， （2）（为正整数）；， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用已知方程的解与右边分式的对应规律直接求解； （2）归纳前个方程的形式与解的共性，推导一般规律； （3）将原方程变形为符合规律的形式，通过整体代换求解． 【小问1详解】 解：， 故方程的解为，． 【小问2详解】 解：第个方程：， 第个方程：， 第个方程：， 则关于的第个方程为（为正整数）， 故其解为，． 【小问3详解】 解：已知， 则， 可得或， 解得，， 根据题意可知， 当时，， 当时，， 故，是原方程的根． 27. 综合与实践 素 材 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素 材 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 问题解决： （1）当时，随着的增大，的值________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，这个数是________； （3）若分式的值为整数，请求出所有符合条件的正整数的值． 【答案】（1）减小；减小 （2）2 （3）1或3 【解析】 【分析】（1）根据素材1的结论即可求解； （2）先化简，再根据素材1的结论，解答即可； （3）先化简，再判断为整数时，正整数x的取值． 【小问1详解】 解：当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； ，当时，随着x的增大，的值随之减小， 当时，随着x的增大，的值也随之减小； 【小问2详解】 ， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0， 当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近2，即的值无限接近2； 【小问3详解】 ， 因为的值为整数，x为正整数， 所以是整数，必须为整数， 或，或 或或（舍去）或（舍去）， 符合条件的正整数x的值为1或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027潞河中学八年级上数学10月月反馈 一．单选题（每小题2分，共16分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+ ）的值为（   ） A. 1                                  B. 0                                          C. ﹣1                                          D. ﹣3 二．填空题（每小题2分，共16分） 9. 若，则的值为______________． 10. 若分式的值为零，则的值为________． 11. 分式与的最简公分母是________． 12. 方程的解为______________． 13. 等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 14. 在公式中，所有字母均不等于，若用，，表示，则________． 15. 对于正数，规定，例如，，则的结果是________． 16. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 三．解答题（共68分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 解分式方程： 19. 如图，，点是上一点，与的延长线相交于点，且，．求证．请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据． 证明：， ① （② ）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴③ （④ ）． （已知）， ∴⑤ （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（⑥ ）． 20. 已知，求代数式的值． 21. 下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 22. 先化简，再求值： ，其中． 23. 已知：，． （1）化简； （2）若，试比较、的大小关系． 24. 如图，点，，，是同一直线上的四点，，，求的度数． 25. 某航模小组对、两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵元； ②用元购买型无人机模型的数量与用元购买型无人机模型的数量相同． 求型和型无人机模型的单价各是多少元？ 26. 观察下列方程及其解的特征 第个方程：的解为， 第个方程：的解为，， 第个方程：的解为，． 解答下列问题： （1）猜想第个方程的解为________； （2）关于的第个方程为________，它的解为________； （3）利用上述规律解关于的分式方程：． 27. 综合与实践 素 材 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素 材 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 问题解决： （1）当时，随着的增大，的值________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，这个数是________； （3）若分式的值为整数，请求出所有符合条件的正整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $