精品解析：河北石家庄润德学校2026-2027学年第一学期10月月考高二数学试卷

石家庄二中润德学校2026~2027学年第一学期10月月考高二数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示： 因为 , 又因为 所以. 2. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 3. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 4. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. . C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 5. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则. 6. 已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线所过的定点与圆的位置，结合圆的几何意义、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 7. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知点和弦的中点的轨迹均为圆，由数量积可得，结合圆的性质求最小值． 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即为，恒过点， 直线，即为，恒过点， 且，则，即， 可知点轨迹为以为直径的圆， 即圆心为的中点，半径， 所以点轨迹为圆，但是去掉点， 设弦的中点为，连接， 因为，则， 可知点的轨迹在以为圆心，半径的圆， 可得， 则，可知圆与圆外离， 且直线，联立方程和，解得或（舍去）， 又因为， 且，此时点为，成立， 所以的最小值为． 故选：C. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】选项：先由直线方程得到斜率，结合正弦的值域求出斜率范围，进而得到倾斜角的取值范围；选项：利用一般式下两直线垂直的条件求出参数，判断充分性与必要性；选项 ：先根据两直线平行求出参数 ，统一系数后利用平行线距离公式计算距离判断；选项：把分式理解成两点连线的斜率，求出定点与线段端点连线斜率，结合图像分析斜率取值范围，即可得到正确选项. 【详解】选项A:直线 ，变形：，斜率， ，，又倾斜角 . ① , ② ，A正确； 选项B：直线：，， ∵两直线垂直，，∴， 解得 或 ， 垂直时可取，故只是充分不必要条件，B错误； 选项C：∵ 与 平行， ∴，， ∵，∴平行线间距离：，C错误； 选项D：：点与定点连线的斜率， ∵ ，∴， ∵在线段上移动，结合图形分析： ，D正确. 10. 已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B. 若，则的最大值为 C. 若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D. 若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据一般方程表示圆的条件即可判断；对于B，时，可知圆心，半径，结合设，即，再根据点到直线的距离求解；对于C，求出圆心到直线的距离，最小值用即可；对于D，设点到圆心的距离为，，得到，结合两圆位置关系求出的范围，再由单调性求最值即可． 【详解】解：对于A，因为曲线表示圆，所以，解得，故A不正确； 对于B，当时，，即，， 其圆心，半径， 设，即，所以点在直线上， 所以直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最小值， 等于圆心到的距离减去其半径，所以最小值为，故C正确； 对于D，设点到圆心的距离为，圆的半径为，，则， 所以，则， 所以， 因为， 所以，即，所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以最小值取不到， 又因为在上单调递增，所以当时，取最小值为，故D不正确． 11. 如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A. 存在点与直线，使得 B. 存在点与直线，使得平面 C. 若，，其中，，则的最小值是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A通过展开向量数量积，利用正四面体侧棱夹角为的余弦值为正，直接判定两数量积之和恒正；选项B通过构造且S为PC三等分点的特例，用余弦定理推导线线垂直，结合线面垂直判定定理证明存在性；选项C利用重心向量分解与三点共线系数和为 1 建立 的关系，但用基本不等式求 最小值时计算结果有误；选项 D借助正四面体重心的向量表达式，通过共线向量代换与共面向量定理的系数和性质，推导出长度倒数的等量关系. 【详解】对于选项A，，A正确； 对于选项B，当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即 时，平面 ，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，，由等边三角形的性质，易得 ， 在 中， ， ，， 由余弦定理，得 ， ， ．同理， ． 又 ，平面 ，平面 ，平面 ，存在点与直线，使得平面 ,B正确； 对于选项C，，则 ，即，同理，则， 根据，，三点共线有，，当且仅当时等号成立． C错误； 对于选项D，设为的中点，则 ， ，，三点共线， ，同理，，． 设 ， ， ，则， ，，，四点共面， ， 又 ，， ，即 ，D正确. 三、填空题 12. 将直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，易得直线的斜率为，设所得直线的倾斜角为，则直线的斜率由求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 设该直线绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 则直线的斜率是， 13. 若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解. 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 四、解答题 15. 如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由四边形为矩形，得，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由余弦定理求出，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， 则，于是，由（1）得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又D为的中点， 则， 于是，设平面的法向量为， 则，取，得，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 16. 已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一般式直线方程垂直可得，代入列式求解即可； （2）根据直线平行可得.方法一：根据两平行线距离公式可知圆的半径为，圆心在直线：上，即可得圆心和方程；方法二：分类讨论圆心所在的位置，设圆心坐标，结合两平行线距离公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为直线：，：， 若，则，得. 【小问2详解】 因为，则，解得， 此时直线：，：，满足，符合题意. 因为与间的距离为，则圆的半径为． 方法1：设圆心在直线：上，则，解得， 即圆心在直线：上，且直线与坐标轴的交点为，， 即圆心为或，所以圆的标准方程为或． 方法2：设，则，解得， 所以圆：； 设，则，解得， 所以圆：； 综上所述：圆的标准方程为或． 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上． （1）若，证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，在四棱台中， 四边形是梯形，， 又点 分别是棱的中点， ，且， 在正方形中，， 又，， 从而 ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据四棱台的几何性质，利用线面平行的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，求出平面法向量，运用向量夹角余弦公式构造方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，作于， 平面平面，平面平面， 平面 ， 平面， 在正方形中，过作的平行线交于点 ， ， ， 又平面平面， 两两垂直， 以为轴，为轴，为 轴建立空间直角坐标系， 四边形 是等腰梯形，， ，又，由勾股定理可得， 各点坐标为，， ， 设， ， 设平面的法向量为， 由，得，令，可得， 而平面 为平面，故 轴与平面 垂直，可取平面 的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， ，解得， 点在 之间， ， ， 当平面与平面的夹角的余弦值为时， 的长为2． 18. 已知圆 ，点为直线上的动点，过点向圆作两条切线，切点分别为. （1）求四边形 面积的最小值; （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （3）求证切点弦恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）设动点 ，在上，即， 圆：，， 代入切点弦公式， 即， 展开， 整理得， 所以， 该式对任意参数成立，即， 两式相加，代入得， 切点弦恒过定点. 【解析】 【分析】（1）将四边形 面积的最小值问题转化为求 最小值，再利用点到直线的距离即可； （2）求圆心关于直线的对称点 即可求出； （3）设动点 ，再利用切点弦公式化简即可. 【小问1详解】 由题意得 ， ，，则 ， 由勾股定理 ，则，只需要 最小即可， 由 是点到直线的距离，即 ， 此时， 所以 【小问2详解】 由题意得半径不变， 设圆心关于直线的对称点为， 则与直线垂直，故， 又中点在直线上， 故 ，化简得 ， 再代入第一个，， 对称圆心 ，半径，故对称圆标准方程. 【小问3详解】 略 19. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【解析】 【分析】(1) 根据垂径定理，可求圆心M到直线l的距离，根据圆心到直线的距离为，可求直线方程； (2) （ⅰ）当圆H面积最小时，就是以圆M与圆N交点弦为直径的圆； （ⅱ）在y轴上存在一定点E，使得y轴平分，即，设，，，代入，根据韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． 【小问2详解】 （ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中润德学校2026~2027学年第一学期10月月考高二数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是（ ） A. B. C. D. 2. 与椭圆有公共焦点的椭圆是（ ） A. B. C. D. 3. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 4. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. . C. D. 5. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 10. 已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B. 若，则的最大值为 C. 若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D. 若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 11. 如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A. 存在点与直线，使得 B. 存在点与直线，使得平面 C. 若，，其中，，则的最小值是 D. 三、填空题 12. 将直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线的斜率为__________． 13. 若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题 15. 如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 16. 已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上． （1）若，证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 18. 已知圆 ，点为直线上的动点，过点向圆作两条切线，切点分别为. （1）求四边形 面积的最小值; （2）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （3）求证切点弦恒过定点. 19. 已知圆，，， （1）直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； （2）圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $