精品解析：海南省儋州市第一中学等校2026-2027学年高二上学期阶段性检测(一) 数学试题

2026—2027学年高二年级阶段性教学检测（一） 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方体的棱长为，若，，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 9 C. D. -2 6. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为，则其斜率为 B. 若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围为 C. 若直线在轴、轴上的截距相等，且过点，则其方程为 D. 直线关于轴对称的直线的方程为 10. 在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（ ） A. 四棱锥的高为3 B. 的面积为 C. 在上的投影向量为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________． 13. 经过点和的直线的方程为________． 14. 在空间直角坐标系中，点，，，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 写出满足下列条件的直线方程，并把它化成一般式． （1）经过点，斜率为2； （2）在轴、轴上的截距分别为2，4； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1． 16. 已知直线：． （1）若直线：与垂直，求的值； （2）若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 17. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 18. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，点分别在棱，上，且． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）设，求的值； （3）若，求． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二年级阶段性教学检测（一） 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一般式方程转换成斜截式方程即可． 【详解】直线，即，斜率为． 故选：B． 2. 已知向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标关系，根据第三个坐标确定比例系数，再求． 【详解】因为，共线，且，所以存在实数，使． 比较第三个坐标，得，即，所以，，从而． 3. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行六面体的性质及空间向量的线性运算可得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则. 故选：D. 4. 已知正方体的棱长为，若，，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】 由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 9 C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】将直线化为一般式方程形式，根据两直线平行的条件列方程求解，注意检验两直线是否重合． 【详解】直线即，因为直线与直线平行， 所以，解得． 当时，直线即，显然与直线平行， 所以． 故选：C 6. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标，求出空间向量，根据空间向量求点到直线的距离. 【详解】由题意得，，， 可知， ， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 7. 已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解. 【详解】因为， ， 所以，即，， 所以. 故选：D. 8. 已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及斜率与倾斜角关系，应用和差角正切公式求直线的斜率，进而应用点斜式写出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为，得该直线的斜率， 因为两直线的夹角为45°，所以直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率为或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为，则其斜率为 B. 若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围为 C. 若直线在轴、轴上的截距相等，且过点，则其方程为 D. 直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角之间的关系判断A、B；讨论截距是否为判断C；利用关于轴的对称关系判断D． 【详解】对于A，当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，不能写成，A错误． 对于B，设直线的倾斜角为，则． 当时，由正切函数的性质可得，B正确． 对于C，当直线在两坐标轴上的相等截距不为时，可设直线方程为． 将点代入，得，此时直线方程为． 但当两截距均为时，过点的直线也符合条件，故C错误． 对于D，直线关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数． 将中的换成，得，D正确． 10. 在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用斜率和截距的正负来判断. 【详解】由图可知，，且，将两个直线方程变形为：，， 直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为， AD选项，两条直线斜率均大于，所以同号，两条直线在轴的截距必一正一负，在轴的截距也一正一负， 同一条直线在坐标轴的截距也是一正一负，且两直线交点在第三象限，所以A选项正确、D选项错误； BC选项，两条直线斜率均小于，所以异号，两条直线在轴的截距必同号，在轴的截距也同号， 同一条直线在坐标轴的截距也同号，若，则两直线交点在第一象限，反之两直线交点在第三象限，所以B、C选项正确. 11. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（ ） A. 四棱锥的高为3 B. 的面积为 C. 在上的投影向量为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建系，推导出，利用三角形的面积公式可判断B选项；推导出，结合投影向量的定义可判断C选项；利用空间向量法求出线面角的正弦值可判断D选项. 【详解】对于A选项，如图，连接，设， 由题意知，和都是等边三角形， 又因为， 所以点在平面内的射影为的中心，设为，连接， 由，解得，即四棱锥的高为，A错； 对于B选项，由已知，又平面， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且与平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，则，所以， 又因为，， 所以，B对； 对于C选项，因为，所以，，所以， 所以，，，则，即， 所以在上的投影向量为，C对； 对于D选项，易知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设直线与平面所成的角为，则，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，则. 13. 经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 14. 在空间直角坐标系中，点，，，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式进行计算即可. 【详解】因为点是坐标原点，点，点的坐标均为0， 所以三点均在平面内 因为，点到的距离为1，所以的面积为， 点到平面的距离为2，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 写出满足下列条件的直线方程，并把它化成一般式． （1）经过点，斜率为2； （2）在轴、轴上的截距分别为2，4； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出直线的点斜式方程并转化为一般式方程； （2）列出直线的截距式方程并转化为一般式方程； （3）列出直线的点斜式方程并转化为一般式方程． 【小问1详解】 经过点，斜率为2的直线方程为， 即． 【小问2详解】 在轴、轴上的截距分别为2，4的直线方程为， 即． 【小问3详解】 直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率为， 因为该直线在轴上的截距为1，所以该直线经过点， 所以该直线的方程为， 即． 16. 已知直线：． （1）若直线：与垂直，求的值； （2）若直线：与平行，求直线与轴、轴围成的三角形面积． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）先排除直线的斜率不存在的情形，再利用两直线垂直时斜率之积为求． （2）由两直线平行时斜率相等求，再求直线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式计算． 【小问1详解】 若，则为轴，与斜率为的不垂直， 故． 此时的斜率为，由与垂直，得，解得． 【小问2详解】 直线的斜率为，由与平行可知，且，解得． 此时直线的方程为，化为， 所以它与轴、轴的交点分别为和． 直线的方程为，与不重合，故两直线确实平行． 因此，直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 17. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． （2） 【解析】 【分析】(1)构建平行四边形使得平行于平面的一条直线即可. (2)构建空间直角坐标系利用空间向量进行空间角的求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， ∴，∴， ∴，，． 设平面的法向量为， 则取，则，， ∴平面的一个法向量为． 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，点分别在棱，上，且． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）设，求的值； （3）若，求． 【答案】（1） 证明：因为， 所以，        ， 所以，        所以四边形是平行四边形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将向量用向量表示出来得出即可证明结论； （2）利用向量的线性表示将向量用向量表示出来即可解决问题； （3）利用向量数量积，先把向量用向量表示出来，然后利用向量法求模即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 由， 所以，，，． 【小问3详解】 因为四边形是正方形， 所以， 因为，，， 所以， 易知在四棱柱中， ， 所以 . 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）∵平面平面，平面平面，,，平面， ∴平面， 又∵平面，∴． （2）（ⅰ）（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理得到平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，先根据外接球的定义确定外接球球心，利用空间两点间的距离公式求，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴， 过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，. （ⅰ）设（），由， 得， 解得，，∴， 设（不同时为零），由，， 得且， 解得，，∴，则． （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面PAB的一个法向量为， 则，取，得． 设平面PCB的一个法向量为， 则，取，得． 设平面与平面的夹角为θ， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $