江苏南京市鼓楼实验中学 2026-2027学年九年级上学期 10月学情自测数学试题

2026-2027学年初三上学期南京市鼓楼实验10月第一次月考数学 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限 2．（2分）用配方法解方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）如图，是△的外接圆，连接、，若，则． A．80 B．100 C．140 D．160 4．（2分）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）如图，为直径，为圆上一点，为△ 内心，交于， 于，若，则为（　　） A． B． C． D．5 6．（2分）下列方程中，有实数根的是（　　） A． B． C． D．． 二．填空题（共9小题，满分72分，每小题8分） 7．（8分）当　　 时，关于的不等式的解集是． 8．（8分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则值为　　 ． 9．（8分）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为　　 ． 10．（8分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁” ． 11．（8分）如图，△内接于，为的直径，点是的中点，延长至点，连接，若，，则的长为　　 ． 12．（8分）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” 的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高　　 ． 13．（8分）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作△（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为　　 ． 14．（8分）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点．若，，则点与上的点的最大距离为　　 ． 15．（2分）已知，，，则的最小值是　　 ． 16．（8分）若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是　　 ． 三．解答题（共11小题） 17．解方程 （1）； （2）． 18．一次函数和反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）观察图象，请直接写出的解集； （3）求的面积． 19．关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段．室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例：燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为，据以上信息解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时与燃烧后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 21．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点，． （1）当，时，求的度数． （2）若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 22．新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 23．问题提出 平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，那么平面内的四点（任意三点均不在同 一直线上）能否在同一个圆上呢？ 初步思考 设不在同一条直线上的三点、、确定的圆为． （1）当点、在线段的同侧时， 如图1，若点在上，此时有，理由是 　　； 如图2，若点在内，此时有 　　； 如图3，若点在外，此时有 　　（填“”、“ ”或“” ． 由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：　　． 类比学习 （2）仿照上面的探究思路，请探究：当点、在线段的异侧时的情形． 此时有 　　，此时有 　　，此时有 　　． 由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：　　． 拓展延伸 （3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，是的直径，点在上． 求作：． 作法：①连接、； ②在上任取异于点、的一点，连接、； ③与相交于点，延长、交于点； ④连接并延长，交直径于点； ⑤连接并延长，交于点．连接，则． 请按上述作法在图7中作图，并说明的理由（提示：可以利用（2）中的结论）． 24．关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：　　； （2）求证：关于的“勾股方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾股方程”，求的度数． 25．如图1，在矩形中，边长，，其中、分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． （1）　　 ； （2）如图2，当点运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时的值； （3）如图3，当半圆与△的边有两个交点时，请直接写出的取值范围　　 ． 26．我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有 　　 （写序号）； ①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小． （2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 　　 ； 问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值； ②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，点坐标为，点是中点，连接、交于，若函数的图象经过点、，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于，两点，点横坐标为5，请直接写出四边形的面积为 　　 ． 深入思考（4）当．时，对于任意正数，方程均无解，直接写出，，满足的数量关系 　　 ． 27．综合与实践 【问题背景】 第二十二届文博会于2026年5月21日至25日在深圳国际会展中心举办．南外二实美工社社团的学生们有幸参与了其中的青少年文创活动，并设计了一款半圆形的摆件作为纪念品赠送给前来参观的人，每件摆件需要用文博会的特制卡纸进行贴面手绘，半圆形卡纸需至少覆盖摆件的半圆形区域（摆件的厚度忽略不计）． 【问题解决】 如图1，原计划用边长为的正方形卡纸，恰好可裁剪出两个直径为的半圆，但实际半圆形摆件的直径为，原裁剪方案作废． 小谷是本次活动组长，他第一时间提出新的裁剪方案：如图2，在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，连接并以为直径画半圆，半圆与、分别相切于点、点． （1）求证：圆心在的角平分线上； （2）请通过计算判断小谷的优化方式是否能够覆盖摆件的半圆形区域； 【实践操作】 原有正方形卡纸的数量仍缺口较大，时间紧迫，从隔壁彩旗制作小组借调了一批文博会的特制三角形卡纸备用，现需要在新的三角形卡纸上裁剪出合适的半圆． （3）如图3，在△中，，，．请用无刻度的直尺与圆规在三角形内部设计一个半圆的裁剪方案．并通过计算说明该方案可以覆盖摆件的半圆形区域（不写作法，保留作图痕迹）． 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第三、四象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限 【答案】 【解答】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第二四象限． 故选：． 2．（2分）用配方法解方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， 移项得， 配方得， 方程左边可写成完全平方形式：， 故选：． 3．（2分）如图，是△的外接圆，连接、，若，则． A．80 B．100 C．140 D．160 【答案】 【解答】解：如图，在优弧中取点，连接，， ，， ， ， ， ， 故选：． 4．（2分）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由条件可知 反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． ， 点在第二象限，． 第四象限内随的增大而增大，， ， ． 故选：． 5．（2分）如图，为直径，为圆上一点，为△ 内心，交于， 于，若，则为（　　） A． B． C． D．5 【答案】 【解答】解：连接、、， 为△ 内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， 连接交于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 为直径， ， ， 故选：． 6．（2分）下列方程中，有实数根的是（　　） A． B． C． D．． 【答案】 【解答】解：将各选项方程整理为的形式，再根据根的判别式逐项分析判断如下： 、，移项，得， ， 此方程无实数根，故该选项不符合题意； 、，移项，得， ， 此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； 、，系数化为1，得， ， 此方程无实数根，故该选项不符合题意； 、， ， 此方程无实数根，故该选项不符合题意． 故选：． 二．填空题（共9小题，满分72分，每小题8分） 7．（8分）当　1　 时，关于的不等式的解集是． 【答案】1． 【解答】解：解关于的不等式， ， 关于的不等式的解集是， ， 解得， 故答案为：1． 8．（8分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则值为 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知一元二次方程根的判别式△， ，，， △， ， 解得． 故答案为：． 9．（8分）如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为 ． 【答案】． 【解答】解：在△中，，， ， ， 四边形内接于， ， 故答案为：． 10．（8分）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　丙　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁” ． 【答案】丙． 【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲，、乙，、丙，、丁，， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，，过丙点作轴平行线交反比例函数于，，如图所示： 由图可知，， ，、乙，、，、丁，在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 1．（8分）如图，△内接于，为的直径，点是的中点，延长至点，连接，若，，则的长为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：△内接于，为的直径，点是的中点， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：4． 12．（8分）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” 的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高 ． 【答案】． 【解答】解：点在反比例函数上， ， 解得：， 反比例函数的解析式为：， ，且线段与坐标轴平行， 点的横坐标为：； ，且线段与坐标轴平行， 点的横坐标为：； 代入，得， 点， ，且线段与坐标轴平行， 点的横坐标为：； 代入，得， 点， 的长度等于点与点的纵坐标之差， ． 故答案为：． 13．（8分）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作△（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得，，，， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 14．（8分）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点．若，，则点与上的点的最大距离为 ． 【答案】． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ，， ，， 是线段的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ， △是等边三角形， ， ， 是的直径， ， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ， ， 故答案为：． 15．（2分）已知，，，则的最小值是　　 ． 【答案】6 【解答】解：由条件可知，是关于的一元二次方程的两个根， ，， ， ， 当时，有最小值， 的最小值， 故选：6. 16．（8分）若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是或 ． 【答案】或 【解答】解：当时，． 当时，可得，，符合题意； 当时，可得，，不符合题意； 当时，， ， ，． 关于的方程的所有根都是比1小的正实数， ，解得， ，解得． 综上可得，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 三．解答题（共11小题） 17．解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）， ， ， ， 则， 所以，； （2）， ， ， 则或， 所以，． 18．一次函数和反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）观察图象，请直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1），；（3）或；（4）． 【解答】解：（1）反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， ； 点的坐标为； （2）由两个函数图象可得， 当或时，一次函数的值大于反比例函数的值，即， 故答案为：或； （3）把、代入得， ， 解得， 一次函数的关系式为， 当时，即，解得， 点的坐标为， 即， ． 19．关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）△， 解得：． （2），． 由条件可知， 整理得， 解得：，． ． 20．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段．室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例：燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为，据以上信息解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时与燃烧后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当每立方米空气中含药量不低于时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】（1）药物燃烧时的解析式为；燃烧后的函数解析式为； （2）对病毒有作用的时间长为分钟． 【解答】解：（1）设药物燃烧时的解析式为：， 由题意可得：， ， 设燃烧后的函数解析式为， 由题意可得：， ， 答：药物燃烧时的解析式为；燃烧后的函数解析式为； （2）由题意可得： ， 解得， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 21．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点，． （1）当，时，求的度数． （2）若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由条件可知， 四边形内接于， ， ， ； （2）由条件可知， ，， ， ，， ， ， ． 22．新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 【答案】（1）； （2）28元． 【解答】解：（1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为． （2）设每条数据线上涨元，则每周的销量为条， 由题意，得， 整理，得， 解得，， 尽可能让利于顾客， ， ． 答：应将零售价定为28元． 23．问题提出 平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，那么平面内的四点（任意三点均不在同 一直线上）能否在同一个圆上呢？ 初步思考 设不在同一条直线上的三点、、确定的圆为． （1）当点、在线段的同侧时， 如图1，若点在上，此时有，理由是 　同弧所对的圆周角相等　； 如图2，若点在内，此时有 　　； 如图3，若点在外，此时有 　　（填“”、“ ”或“” ． 由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：　　． 类比学习 （2）仿照上面的探究思路，请探究：当点、在线段的异侧时的情形． 此时有 　　，此时有 　　，此时有 　　． 由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：　　． 拓展延伸 （3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，是的直径，点在上． 求作：． 作法：①连接、； ②在上任取异于点、的一点，连接、； ③与相交于点，延长、交于点； ④连接并延长，交直径于点； ⑤连接并延长，交于点．连接，则． 请按上述作法在图7中作图，并说明的理由（提示：可以利用（2）中的结论）． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；；；当、在线段的同侧且时； （2）、、；当、在线段的异侧且时； （3）图见解析，理由见解析． 【解答】解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得． 故答案为：同弧所对的圆周角相等； ②如图②，延长交于点， ， ． 故答案为：； ③如图③，连接， ， ． 故答案为：； 当、在线段的同侧且时，、、、四点在同一个圆上． （2）①如图④， 与的度数之和等于， 且的度数等于度数的一半， 的度数等于度数的一半， ． ②如图⑤，延长交于点，连接， ，， ． ③如图⑥，连接， ，， ． 故答案为：、、． 当、在线段的异侧且时，、、、四点在同一个圆上． 故答案为：当、在线段的异侧且时； （3）图⑦即为所求作． 是的直径， ，即，， 根据三角形的三条高交于同一点可得：． ． ． 由（2）中的结论可得：点、、、在同一个圆上，如图⑦所示． ． ， ． ． ． ， ，即． 24．关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“勾股方程”：　 （答案不唯一）　； （2）求证：关于的“勾股方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾股方程”，求的度数． 【答案】（1） （答案不唯一）； （2）见解析； （3）． 【解答】（1）解：写出一个“勾股方程”： （答案不唯一）， 故答案为： （答案不唯一）； （2）证明：关于的方程是“勾股方程”， 且， ①当时， △ ， 方程有两个实数根， ②当时， 方程为，， 该方程有实数根， “勾股方程”必有实数根； （3）解：作于，延长交于，连接，， ， ， ，， ， ， 是“勾股方程， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．如图1，在矩形中，边长，，其中、分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． （1）　5　 ； （2）如图2，当点运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时的值； （3）如图3，当半圆与△的边有两个交点时，请直接写出的取值范围　　 ． 【答案】（1）5； （2）①与相切， 如图，过点作，垂足为点， 是的平分线， 又在矩形中，，，， ， ， 是的切线，即与相切； ②； （3）或． 【解答】解：（1）由，即， 解得：，， 边长，，其中，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在△中，，， ， 故答案为：5； （2）①与相切， 理由：如图，过点作，垂足为点， 是的平分线， 又在矩形中，，，， ， ， 是的切线，即与相切； ②， ， ，即， ， ； （3）如图，当半圆与相切时，此时半圆与△的边有1个交点，即为切点，设切点为，连接， 由（2）知， 如图，当点与点重合时，此时半圆与△的边有2个交点， 此时，为半圆的直径， ， 当时，半圆与有2个交点， 即半圆与△的边有2个交点； 如图，此时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆与相切时，此时半圆与△的边有3个交点，设与半圆的切点为，连接， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与△的边有2个交点； 如图，当半圆经过点时，此时半圆与△的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点与点重合时，此时点停止运动， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与△的边有2个交点； 综上，半圆与△的边有两个交点时，或． 故答案为：或． 26．我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究（1）将反比例函数的图象沿轴向左平移1个单位，可以得到函数的图象如图①，观察图象，以下结论正确的有 　①②　 （写序号）； ①该函数图象与轴的交点坐标是；②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；③当时，随的增大而减小． （2）在图②中画出函数的图象（无需列表），填空：该图象的对称中心坐标为 　　 ； 问题解决（3）①若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值； ②在①的条件下，如图③，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，点坐标为，点是中点，连接、交于，若函数的图象经过点、，取线段的中点，经过点作直线与这个函数图象交于，两点，点横坐标为5，请直接写出四边形的面积为 　　 ． 深入思考（4）当．时，对于任意正数，方程均无解，直接写出，，满足的数量关系 　　 ． 【答案】（1）①②； （2）； （3）①； ②6； （4）． 【解答】解：（1）由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，①正确，故符合要求； 该函数图象是中心对称图形，对称中心是，②正确，故符合要求； 当时，随的增大而减小，③错误，故不符合要求； 故答案为：①②． （2）由题意知，的图象是由的图象向下平移1个单位得到的，作函数图象如下： 该图象的对称中心坐标为； 故答案为：； （3）①函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ， 解得，， 的值为； ②由题意知，，， 同理（1）可知，的对称中心为， 当时，，即； 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， 直线的解析式为； 联立，解得或， ， 的中点，即为对称中心， 当时，，即； 同理，直线的解析式为， 联立， 解得或， ，与重合，如图③， 是对称中心， ； 故答案为：6； （4）， 令，， 当时，对任意正数，方程均无解， 函数，的图象无交点， 如图： 由题意知，的对称中心为，即图象不经过， 为任意正数， 当经过点时，两图象无交点，即无解， 将代入得，， 整理得； 故答案为：． 27．综合与实践 【问题背景】 第二十二届文博会于2026年5月21日至25日在深圳国际会展中心举办．南外二实美工社社团的学生们有幸参与了其中的青少年文创活动，并设计了一款半圆形的摆件作为纪念品赠送给前来参观的人，每件摆件需要用文博会的特制卡纸进行贴面手绘，半圆形卡纸需至少覆盖摆件的半圆形区域（摆件的厚度忽略不计）． 【问题解决】 如图1，原计划用边长为的正方形卡纸，恰好可裁剪出两个直径为的半圆，但实际半圆形摆件的直径为，原裁剪方案作废． 小谷是本次活动组长，他第一时间提出新的裁剪方案：如图2，在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，连接并以为直径画半圆，半圆与、分别相切于点、点． （1）求证：圆心在的角平分线上； （2）请通过计算判断小谷的优化方式是否能够覆盖摆件的半圆形区域； 【实践操作】 原有正方形卡纸的数量仍缺口较大，时间紧迫，从隔壁彩旗制作小组借调了一批文博会的特制三角形卡纸备用，现需要在新的三角形卡纸上裁剪出合适的半圆． （3）如图3，在△中，，，．请用无刻度的直尺与圆规在三角形内部设计一个半圆的裁剪方案．并通过计算说明该方案可以覆盖摆件的半圆形区域（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）具体过程看解答； （2）可以覆盖； （3）具体过程看解答． 【解答】解：（1）连接、， 半圆与切于，与切于， ，（切线性质）， 又四边形为正方形， ， ，． 的长到的距离，的长到的距离， 而（同为半圆的半径）， 点到的两边、的距离相等， 点在的角平分线上； （2）由（1）知在的角平分线（即正方形对角线上， 设到的距离为，则到、的距离均为的纵横坐标，即半径， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建系， 则，，，， 在上，设，半径为， 在上，设， 在上，设， 为中点：，， 由两点距离： ， ， 解得：， ， 摆件直径． 可以覆盖； （3），，， ， 作的平分线，交于点， 过作于，作于， ，，， 且在角平分线上， ， 四边形为正方形， ， ，， ． △△， ， ， ， 以点为圆心，为半径作圆， 此时半圆可以完全在三角形内部， 半圆直径， 可以覆盖摆件． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $