四川省成都市某中学2026-2027学年高二上学期10月学业质量检测数学试题

高2025级高二上数学学科10月学业质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 2.样本数据8，3，12，5，9，15，6的上四分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 3.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 4.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）A. B. C. D. 5.2026年进入8月后，成都市持续高温，气象局一般会提前发布高温红色预警信号（高温红色预警标准为24小时内最高气温将升至以上），在8月22日后的3天中，每一天最高气温在以上的概率为.用计算机生成了10组随机数，结果如下： 298 244 618 624 061 547 257 098 474 561 若用0，1，2，3表示非高温红色预警，用4，5，6，7，8，9表示高温红色预警，则8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概率为（   ） A． B． C． D． 6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 7.已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 8.在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（    ）A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若甲､乙两组数据的平均数分别为，则 B. 若甲､乙两组数据的方差分别为，则 C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 11.盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（ ） A. B. C. D. 事件与相互独立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为________． 13.从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率为_________． 14.在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）袋中有形状、大小都相同的个小球，标号分别为. （1）从袋中一次随机摸出个球，求标号和为奇数的概率; （2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由. 16.（15分）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 17. （15分）某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 18.（17分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率. 19.如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长；（2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 2025级高二上数学学科10月学业质量检测解析 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B B A C D ACD BC ABD 7.【详解】若，则，，故A错； 若与互斥，则，，故B错； 若与相互独立，则，，故C正确，D错.故选：C. 8.【详解】如图所示，在正三棱锥中，， 可得，因为点分别是棱的中点， 可得，， 所以 ．故选：D． 10.【详解】根据题意，所有可能的组合为：(红1,红2),(红1,红3),(红1,白1),(红1,白2),(红2,红3),(红2,白1),(红2,白2),(红3,白1),(红3,白2),(白1,白2)，共种， 对于A，事件为两球颜色不同，对应共种组合，，故A正确； 对于B，事件为两球数字相同，仅(红1,白1),(红2,白2)种情况，且均满足颜色不同，即，故，，故B正确； 对于C，事件为数字之和小于，对应共种组合，，故C错误； 对于D，事件为两球颜色不同且数字和小于，对应共种组合，，而， 满足独立事件判定条件，故事件与相互独立，故D正确. 12. 70 13.##0.3 14. 14.【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，，又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD，所以平面ABD，所以，所以．， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则．设AC与BD夹角为，则． 15.【解析】（1）试验的样本空间，共6个样本点，标号和为奇数为事件 B，则 B包含的样本点为，，，，共4个，所以 （2） 试验的样本空间 ，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，共8个,故所求概率为,即甲胜的概率为，则乙胜的概率为,所以甲、乙获胜的概率是公平的. 16.【详解】（1）连接，如图： 因为，， 在，根据向量减法法则可得：因为底面是平行四边形;故因为 且 又为线段中点 在中 （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 故;; 由（1）可知故平行四边形中;故： ; ;故 （3）因为， 又 17. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75； 在内频率之和， 设中位数为，由图可知中位数在，由，得中位数 （2）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数： （3）在和两组中的人数分别为：人和人，所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c， 在分组中抽取人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有： ， 共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种，所以所求概率为. 18.解：（1）记事件A为甲胜乙，则，， 事件B为甲胜丙，则，，事件C为乙胜丙，则，， 前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为. （2）只需四场比赛就决出冠军的概率为： . （3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为， 第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，所以甲最终获胜的概率. 19.【详解】（1）如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而． 所以 ，即． （2）①由（1）知，令， 因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得，而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ，而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $