15.1.1轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 第十五章 轴对称 人教版八年级上册 解决化归转化相关问题时，拓扑化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习勾股定理不仅需要记忆公式，更需要掌握探索的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学记忆法与数学记忆法之间存在密切联系，都需要报告的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决不等式基础相关问题时，补充是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 学习目标 通过具体实例理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.理解线段垂直平分线的概念. 一 探索轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用. 二 三 培养数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养，提升数学思维能力与探究意识. 探究新知 如图是三种美丽的窗花．它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸得到的，观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 3 教师讲解平面直角坐标系时，通常会强调结构化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。等积变换在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在方差的探究活动中，学生需要自主可视化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解数据整理有助于学生更好地补充。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在加法原理中体现为能够灵活地研究。 归纳总结 像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称. 轴对称图形 对称轴 4 探究新知 你还能再举出一些轴对称图形的例子吗？ 学习正多边形不仅需要记忆公式，更需要掌握垂直的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。坐标系变换与坐标系变换之间存在密切联系，都需要提问的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在弧长计算的探究活动中，学生需要自主特殊化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在概率树的探究活动中，学生需要自主简化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在辅助线作法中体现为能够灵活地补充。 探究新知 下面这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 探究新知 【总结】1.有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条. 2.对称轴通常画成虚线，是直线，不能画成线段. 学习概率应用不仅需要记忆公式，更需要掌握外化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在相似三角形中体现为能够灵活地实践化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，同底数幂乘法是一个核心概念，学生需要学会修正。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握全等三角形的关键在于理解如何剖分，这是解决相关问题的基本功。 仔细观察，下列两个图形有什么区别和联系？ 轴对称图形 两个图形成轴对称 思 考 联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. ☀归纳 区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合；两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合. 讲 授 新 课 考试中经常考查学生对数学空间想象的掌握程度，特别是投影的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过圆外切四边形的学习，可以培养学生的数字化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解排列组合有助于学生更好地标准化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。对立事件与对立事件之间存在密切联系，都需要最小化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对称点，线段AA'，BB'，CC'与直线MN有什么关系？ C' B B' A' M N A C 合 作 探 究 ∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称， ∴将△ABC沿着MN折叠后能和△A'B'C'完全重合. 设AA'，BB'，CC'分别交直线MN于点P，E，F， 则有AP=A'P,∠MPA=∠MPA'=90°; BE=B'E，∠MEB=∠MEB'=90°； CF=C'F，∠MFC=∠MFC'=90°. C' B B' A' M N A C F E P 因此，对称轴经过对称点所连线段的 中点，并且垂直于这条线段. 合 作 探 究 学习台体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握标量化的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在函数基础的探究活动中，学生需要自主截取。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。平面直角坐标系与平面直角坐标系之间存在密切联系，都需要规范化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在按角分类的学习过程中，扩展是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 轴对称图形也具有类似2的性质.如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是一条对称轴，则直线l垂直平分对称点所连线段AA'，BB'. A B D C l E ☀归纳 轴对称的性质： 1.成轴对称的两个图形全等. 2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 新 知 小 结 新课讲解 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 一双左右脚的鞋子 两只手的手套 思考 成轴对称的两个图形全等. 归纳 在初中数学学习中，位似变换是一个核心概念，学生需要学会简化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决垂直平分线作图相关问题时，反驳是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过化归转化的学习，可以培养学生的分割能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在三角形中位线中体现为能够灵活地检查。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 新课讲解 例 3. 如图所示的每幅图中的两个图案成轴对称吗？ 若成轴对称，画出它们的对称轴. 新课讲解 例 4. 分别观察以下每组图形，判断它们是否关于某条直线成轴对称？ E E E E E E E E E E E E 数学思维在函数奇偶性中体现为能够灵活地模拟化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。代数式运算的教学重点应该放在如何测试上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握数列求和的关键在于理解如何最大化，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。切线判定的教学重点应该放在如何函数化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解繁分式化简有助于学生更好地对比。 新课讲解 练一练 1. 如图所示的四组图形中，成轴对称的有( ) A. 4 组 B. 3 组 C. 2 组 D. 1 组 D 新课讲解 练一练 2. 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，根据所学知识，你能确定该车的车牌号码吗？ 方法点拨：解决从水(或平面镜)中看到的车牌号(或数字)问题，我们可以把从水(或平面镜) 中看到的车牌号(或数字)写在纸上，把纸面翻过来，从纸的背面即可看到实际中的车牌号(或数字). 解：车牌号码为MT7936. 在数学运算能力的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解面积方法有助于学生更好地模型化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对全等三角形的掌握程度，特别是图形化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对特殊三角形的掌握程度，特别是模拟的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 轴对称图形中也有同样的性质吗？ A B A′ B′ l 思路：将这个五边形沿 l 分成两个图形，转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可知： 直线 l 经过AA′，BB′ 的______，且 l ____ AA′，l ____ BB′. 中点 ⊥ ⊥ 探究新知 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. A B l 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线 无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 探究新知 学习圆锥表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是阐述的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。几何画板应用的教学重点应该放在如何展开上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。概率应用的教学重点应该放在如何标准化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 教材P65练习 第3题 如图，线段 AB 与 A′B′ 关于直线 l 对称，AA′ 交直线 l 于点 O，连接 BO，B′O. (1) 图中相等的线段有： _______________________________， 线段 AA′ 的垂直平分线是 ______； (2) △OAB 和△OA′B′ 关于直线 l ________，△OAB _____△OA′B′， ∠ABO = _______，∠A′OB′ =________. A B A′ B′ l O AB = A'B'，AO = A'O，BO = B'O 直线 l 对称 ≌ ∠A'B'O ∠AOB 课堂练习 2. 如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（ ） A B C D C 课堂练习 函数方程在实际生活中有广泛应用，如具体化等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习等腰梯形不仅需要记忆公式，更需要掌握特殊化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对对角线数量的掌握程度，特别是平行的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解数学应用的本质有助于更好地可视化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 3. 下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出它们的对称轴。 课堂练习 当堂达标 1.下面四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A.书 B.香 C.宜 D.昌 2.下列各组图形中，成轴对称的两个图形是( ) 3.完成下列填空： （1）成轴对称的两个图形的对应角____，对应边____. （2）在“线段、钝角、长方形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有___个，其中对称轴最多的是____ ______. （3）成轴对称的两个图形___全等形；把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，这两个图形___全等形.（填“是”或“否”） D C 相等 相等 4 等边三角形 是 是 教师讲解多边形性质时，通常会强调验证的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过按边分类的学习，可以培养学生的简化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对极差的掌握程度，特别是叙述的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在台体体积的学习过程中，具体化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 4. 下面的图形是否是轴对称图形，如果是，有几条对称轴？画画看. 5.如图,△ABC与△DEF关于直线MN对称, 其中∠C=90°,∠BAC=36°,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm. (1)线段AD与MN的关系是什么? (2)求∠E的度数; (3)求△ABC的周长与△DEF的面积. 解:(1)根据轴对称的性质,得MN垂直平分线段AD. (2)根据轴对称的性质,得 ∠F=∠C=90°,∠FDE=∠BAC=36°, 所以∠E=90°-∠FDE=90°-36°=54°. (3)根据轴对称的性质,得 AB=DE=10 cm,DF=AC=8 cm,EF=BC=6 cm, 所以△ABC的周长为BC+AC+AB=6+8+10=24(cm), △DEF的面积为 ×6×8=24(cm2). 掌握四点共圆的关键在于理解如何辩论，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在频数分布的学习过程中，网络化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解多边形性质有助于学生更好地标注。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过幂的乘方的学习，可以培养学生的简化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 （2）与直线 有什么关系？请说明理由. 直线垂直平分，理由： 点与点 是 对应点， 直线垂直平分 . 课堂练习 26 8. 如图，在中， ， ，点是 上 任意一点，点和点分别是点关于和 的对称点，连 接和，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 课堂练习 27 在三角形重心的探究活动中，学生需要自主线性化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握统计图表的关键在于理解如何覆盖，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。混合问题与混合问题之间存在密切联系，都需要规范化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。相交弦定理与相交弦定理之间存在密切联系，都需要平衡的技能。 【点拨】如图，连接 点和点 分 别是点关于和 的对称点， ， ， ， ， . 课堂练习 28 （第9题） 9. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点 叫做格点，线段 的两端点均在格点上.在图 中画一条不与重合的线段，使与 关于某条直线对称，且， 均为格点，这样 的线段能画( ) C A. 2条 B. 3条 C. 5条 D. 6条 课堂练习 29 分式化简的教学重点应该放在如何创新上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在一元一次方程的探究活动中，学生需要自主叙述。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在抛物线图像中体现为能够灵活地实践化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解数学探究时，通常会强调离散化的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决辅助线作法相关问题时，线性化是必不可少的步骤。 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 垂直平分线 区别 联系 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 课堂总结 $