15.1.2 线段的垂直平分线的性质和判定（第1课时）教学课件2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版 八年级 数学（上） 15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　 线段的垂直平分线的性质和判定 旧知回顾 1．直线如果过线段的　 　，而且　 　于这条线段的 　 　，这条直线就叫该线段的垂直平分线． 2．依据轴对称的性质，随意取一对对称点并连成线段，它的垂直平分线就是　 　；这一点对两张成轴对称的图形成立，对单个轴对称图形同样成立． 中点 垂直 直线 对称轴 勤学趁朝夕 笃行万里程 2 如图，l 垂直平分线段 AB，在 l 上取点 P1，P2，P3，…，比较 P1，P2，P3，… 分别到 A、B 的距离，能看出什么规律？ 推 理 A B l P1 P2 P3 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 探究发现 把线段 AB 沿直线 l 翻折过去，P1A 与 P1B、P2A 与 P2B、P3A 与 P3B··· 是否各自叠合？它们的长度两两相等吗？ A B l P1 P2 P3 既叠合，长度也一一相等. P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 先猜一猜：若一个点落在垂直平分线上，它到线段两端的距离相等吗. 已知： 题设：该点是某条线段垂直平分线上的点. 求证： 说 理 结论：它到该线段两端点的距离相等. A B l P1 P2 P3 如图，l ⊥ AB 于 C，且 AC = BC，P 是 l 上一点. 请证明：PA = PB. A B l P C 证明：若 P 与 C 不是同一个点， ∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB . 再加上 AC = BC、PC = PC， ∴△PCA ≌△PCB (SAS). ∴ PA = PB. 而当点P与点C两点重合时，结论显然成立 符号记法： ∵l⊥AB 于 C，AC = BC，且 P 在 l 上， ∴PA = PB. 在这条线段的垂直平分线上任取一点，把该点与两个端点分别相连，两条连线段的长度相等. 线段垂直平分线的性质 A B l P C 教材P67练习 第1题 1.如图，AD⊥BC，BD = DC，且点 C 位于 AE 的垂直平分线上．试问 AB、AC、CE 的长度存在怎样的关系？AB + BD 与 DE 之间又如何？ A B E D C 当堂训练 教材P67练习 第1题 解：有 AB = AC = CE，且 AB + BD = DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD = DC， ∴AD 恰好把 BC 垂直平分.∴AB = AC. 同时 C 也落在 AE 的垂直平分线上， ∴AC = CE. ∴AB = AC = CE. 而且 BD = DC， ∴AB + BD = CE + DC，从而 AB + BD = DE. A B E D C 巩固练习 想一想 把刚才那条性质的条件与结论对调一下，得到的新说法还成立吗？也就是说，若 PA = PB，点 P 会不会落在 AB 的垂直平分线上呢？ 已知：如图，△ABP 里 PA = PB. 求证：P 落在 AB 的垂直平分线上. 猜想：P 就在 AB 的垂直平分线上 A B P 证明：从 P 向 AB 引垂线 PC，C 为垂足．此时∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 与 Rt△PCB 中， ∵PA = PB，PC = PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)． ∴AC = BC． 又因为 PC⊥AB， ∴P 落在 AB 的垂直平分线上． A B P C A B P C 凡是到线段两端点等距的点，都落在这条垂直平分线上. 换一种说法，到线段两端点距离相等的点全都聚在一起，就凑成了这条垂直平分线. 符号表达： ∵ PA = PB， ∴P 落在 AB 的垂直平分线上. 判定：到两端点等距 2. 如图，AB = AC，MB = MC. 那么 AM 是不是 BC 的垂直平分线？说说理由. 教材P67练习 第2题 A B M C 解：AM 就是 BC 的垂直平分线. 理由如下：∵AB = AC， ∴点 A 落在 BC 的垂直平分线上. ∵MB = MC， ∴点 M 同样也落在 BC 的垂直平分线上， ∴AM 正是 BC 的垂直平分线. 课堂演练 类别 角平分线 线段垂直平分线 图形 性质 判定 角平分线与线段垂直平分线对照 C A B O D E P A B P C 若一个点落在角的平分线上，它到两边的距离必然相等 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 角内一点，若到两边距离相等，则它一定在角平分线上 反过来说，两端点等距的点同样都在这条垂直平分线上 议一议 回头看看上面那两个关于线段垂直平分线的命题——条件与结论之间有没有对应的关系？这样的命题你还学过别的吗？ 这两个命题的条件和结论正好互换. 垂直平分线上的点到两端点距离相等 反过来，两端点等距的点也在垂直平分线上 互逆的两类命题 像这样成对出现的两个命题，就称为互逆命题. 两者中任取一个当原命题，剩下的那个便是它的逆命题. 垂直平分线的性质及其判定 “对顶角相等”，把它倒过来就是“两个角相等，这两个角是对顶角” 通常来说，原命题为真，它的逆命题未必为真，真与假都有可能. 它们的条件与结论互换了位置. 16 假如某个定理的逆命题被证明为真，它同样算作定理. 这样的一对定理称为互逆定理，彼此互为对方的逆定理. 垂直平分线：性质与判定 角平分线：性质与判定 “两直线平行，内错角相等”，反过来就是“内错角相等，两直线平行” ······ 成对的命题与定理 教材P67练习 第3题 3. 请把下面各命题的逆命题写出来，再判断它们成立与否. (1) 两条直线若平行，则同位角相等； (2) 两个实数若相等，则绝对值也相等； (3) 两个三角形全等，对应角相等 . 同位角相等，两直线平行. 反过来：绝对值相等的两个实数，本身也相等. 反过来：两个三角形若对应角相等，则它们全等. 成立 不成立 不成立 同步练习 典例解析 例1　如图，AD⊥BC，BD＝CD，C 落在 AE 的垂直平分线上，已知 AB＝5 cm，BD＝3 cm，请求出 BE 的长． 解：∵AD⊥BC 且 BD＝CD， ∴AD 把 BC 垂直平分，∴AB＝AC. ∵C 落在 AE 的垂直平分线上， ∴AC＝CE. ∵AB＝5 cm，BD＝3 cm， ∴CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝BD＝3 cm， ∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm). A B C D E 例2　如图，△ABC 中∠BAC＝80°，MP、NQ 分别垂直平分 AB、AC. (1)∠PAQ 是多少度； 解：(1)令∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z. ∵MP、NQ 分别垂直平分 AB、AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ. 利用轴对称的性质，有∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y. A M N B C Q P ∵∠BAC＝80°， ∴∠B＋∠C＝100°， 于是 x＋y＋z＝80°， x＋z＋x＋y＝100°. ∴x＝20°. ∴∠PAQ＝20°； A M N B C Q P 例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，MP 与 NQ 分别垂直平分 AB 与 AC. (1)请算出∠PAQ； (2)∵△APQ 的周长为12， ∴AQ＋PQ＋AP＝12. ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ＋PQ＋PB＝12， 于是 CQ＋BQ＋2PQ＝12. ∴BC＋2PQ＝12. A M N B C Q P 例2　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝80°，由 MP、NQ 分别垂直平分 AB、AC. (2)已知△APQ 周长12，BC 长为8，求 PQ 的长． 另外∵BC＝8， ∴PQ＝2. 例3　下面每个命题，都写出它的逆命题，再看逆命题对不对． (1)两直线若平行，则内错角相等； (2)a＝b 时，必有 a2＝b2； (3)三角形若为直角三角形，则两锐角互余． 解：(1)反过来，内错角相等则两直线平行，是真命题； (2)反过来，a2＝b2 时 a＝b，为假命题； (3)反过来，三角形中两锐角互余时它是直角三角形，为真命题． 本节回顾 线段的垂直平分线 性质 互逆的命题与定理 判定 达标检测 1．如图，沿某条折痕把△ABC 的边AC 折叠过去，顶点C 与点A 恰好重合，这条折痕与边BC、AC 分别交于D、E 两点．已知△ABC 的周长为30 cm，△ABD 的周长是22 cm，求AE 的长　 ( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm C A B C E D 2．如图，△ABC 中 AC＝10，BC＝6．AB 的垂直平分线分别与 AB、AC 相交于点D、点E，则△BCE 的周长等于　 　.． 16 A B C E D 26 3．如图，D 在△ABC 的边 BC 上，且 BC＝BD＋AD，那么 D 落在　 　的垂直平分线上． AC A B C D 把学生用书上这节课的配套练习做完 作业清单 $