精品解析：江西上饶市鄱阳中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

鄱阳中学2026-2027学年上学期高一年级阶段性检测 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则关于的不等式的解集为（       ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 8. 已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（ ） A. 或0 B. 或1 C. 0或2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，的最小值为5 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 若，，，则的最小值是2 D. 已知，，且，则的最小值为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若恒成立，则实数 C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值集合为___________. 14. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 对于集合，，我们把集合记作例如，，，则有：，，，，据此，试回答下列问题： （1）已知，，求； （2）已知，求集合，； （3）若集合中有个元素，集合中有个元素，试确定中有多少个元素，写出过程. 16. 某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且． （1）已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． （2）若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 17. 已知集合，集合． （1）当时，求 （2）若，求的取值范围． （3）已知集合，集合，，若，求实数的取值范围 18. 已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄱阳中学2026-2027学年上学期高一年级阶段性检测 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集与补集的定义求解即可. 【详解】由补集的定义可知， 由交集的定义可知 2. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】当时，等价于， 即，解得：， 当时，等价于，恒成立； 当时，等价于， 即，解得：； 综上，的解集为. 3. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件求出，的数量关系，代入一元二次不等式消元，求解即得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，所以， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 4. 设，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，又，则，即，充分性成立， 若，取特殊值，此时，代入得， 不满足，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标函数转化为已知范围的两个线性表达式的线性组合，再利用不等式性质计算取值范围. 【详解】设（）， 则， 所以 ， 解得， 因此， 由，得，由，得， 根据不等式同向可加性，可得， 故的取值范围为. 6. 若，则关于的不等式的解集为（       ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以 ， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解集为或. 7. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 8. 已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（ ） A. 或0 B. 或1 C. 0或2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的运算得，即得，分析得出1和2一个是方程的解，另一个是方程的解，然后分类讨论求得值，确定中元素后可得结论. 【详解】因为，所以，所以， 或， 又，所以和不可能都是方程的解， 所以和中的一个是方程的解，另一个是方程的解. 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 所以只有选项A正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 设，是两个非空集合，定义且，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项 A，若，则，又， ，且，所以，A 正确； 选项 B，若，则，又， ，且，所以，B 错误； 选项 C，若，说明中所有元素都属于，所以全部满足，所以，C 正确； 选项 D，若，是在里面去掉属于的部分，就是在里面，去掉刚才剩下的部分，也就是中属于的元素，即，所以 ，D 正确 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，的最小值为5 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 若，，，则的最小值是2 D. 已知，，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，利用配凑法、换元法、“1的代换”转换所求代数式，求解时要注意“一正、二定、三相等”。 【详解】对于A， ， 因为，所以，故 （当且仅当即时取等号），所以,故选项A错误； 对于B，已知，，且，所以， 那么 （当且仅当即时取等号），故选项B正确； 对于C，若，，，则即， 所以，即，，故, 当且仅当即时取等号，故选项C正确； 对于D，已知，，且，那么 ，当且仅当即时取等号， 故选项D正确. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若恒成立，则实数 C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对二次项系数为0和不为0分类讨论，再结合一元二次不等式的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】当时，解得，此时，符合题意， 当时，解得， 若不等式的解集为， 可得，解得， 综上可得实数的取值范围为. 13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值集合为___________. 【答案】 【解析】 【详解】当时，集合为空集，则集合是集合的子集，两集合构成“全食”， 当时，， 两集合无论构成“全食”还是“偏食”，两集合的交集都不能是空集， 若，则，此时，满足，两集合构成“全食”； 若，则，此时，两集合构成“偏食”； 综上所述，的取值集合为. 14. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 【答案】50 【解析】 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 对于集合，，我们把集合记作例如，，，则有：，，，，据此，试回答下列问题： （1）已知，，求； （2）已知，求集合，； （3）若集合中有个元素，集合中有个元素，试确定中有多少个元素，写出过程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 由题意得，，； 【小问3详解】 设，， 则共个元素． 16. 某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且． （1）已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． （2）若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 【答案】（1）①；②当时，取得最大值为450平方米 （2）32米． 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意列出相互间的等量关系，再利用基本不等式求其最值. 【小问1详解】 因为所用的篱笆长为60米，所以． ①因为菜地面积为400平方米，所以． 联立，解得或， 依题意，，则； ②因， 当且仅当，即，时，取得最大值为450平方米； 【小问2详解】 因需要用的篱笆长为米．且， 则， 当且仅当时等号成立，即需要用的篱笆长最少是32米． 17. 已知集合，集合． （1）当时，求 （2）若，求的取值范围． （3）已知集合，集合，，若，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，先写出集合；再求在实数集里的补集；最后求它和的交集； （2）等价于， 分和两种情况列不等式，最后取并集； （3）先求，说明整个区间落在补集里，列不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 当 时，，或， 又 . 【小问2详解】 由 得 . ① 若 ，则 ，解得 . ② 若 ， 则，解得 得. 综合①②得的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以或， 又， ，即. 的取值范围是 . 18. 已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）不等式的解集为或 （2）实数的取值范围为或 （3）实数a的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）将代入，再由一元二次不等式即可求解； （2）根据一元二次不等式的解法结合题意分类讨论即可求解； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，二次函数，当时，解得或， 所以当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 因为关于x的不等式的解集中恰有3个整数，， 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有个整数，则，解得， 综上，实数的取值范围为或. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，，则，可得， 因为，当且仅当，即时等号成立，因为， 所以，可得，所以实数a的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集 为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解 集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式整理为标准二次不等式，分二次项系数为和不为两种情况，结合恒成立条件求的取值范围； （2）对不等式左边因式分解，根据的不同取值比较对应方程两根大小，分类求解不等式解集； （3）代入整理方程，利用韦达定理将所求代数式转化为关于参数的函数，结合正根条件确定的范围，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意对任意恒成立，整理得恒成立： ① 当时，不等式为，恒成立，符合条件； ② 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围. 【小问2详解】 不等式因式分解得，分类讨论： ① 当时，，解集为； ② 当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，，解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，原方程整理为， 设两根为，由韦达定理得，， 因方程有两个正实根，恒成立， 故只需满足，即，解得. 所求代数式变形为 ， 代入韦达定理结果得， 令（），则，代入得， 由基本不等式得，当且仅当即（舍去）时等号成立， 此时满足，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $