导数同构法专项训练-2027届高三数学一轮复习

导数同构法： 把不等式两边凑成同一个函数 一、本质原理：同构在做什么 同构法不是一个新的求导技巧，而是一种“翻译”技巧：把一个两边长得不一样的不等式，改写成同一个函数在两个点上的取值比较，再靠这个函数的单调性把外层的函数符号扔掉。 1.1 从一道熟悉的不等式说起 时，。平时我们用构造函数求最值来证它：令 ，求导定号。现在换一条路。 注意 ，于是原不等式可以写成 两边都套着 ，而 在 (0,+∞) 上严格递增，所以两边可以直接“脱掉” ，得 ，即 也就是说， 与 是同一件事的两种写法。前者的外壳是 ，后者的外壳是 ，两者互为反函数，脱壳方向恰好相反。 这个操作就是同构法的全部内容： 1.2 同构的三个要素 一个完整的同构过程只有三项内容，缺一不可。 三个要素 要素 1：母函数。选一个函数 作为“外壳”。它的选取完全由题面的结构决定，下一章给出五副常用外壳。 要素 2：外壳的凑法。把左边写成 、右边写成 。这一步靠的是恒等变形，是整个方法里唯一需要“眼力”的地方。 要素 3：脱壳。由 的单调性，把 化成 （ 增）或 （ 减）。 第三项最容易被跳过，也最容易出错。很多同构题的失败，不是没凑出来，而是凑出来之后不管不顾地脱了壳。 脱壳的前提：两边必须落在同一段单调区间上 母函数在它的整个定义域上未必单调。 以 为例：它在 (−∞,1) 上递增，在 (1,+∞) 上递减。若 ，即使 ，也推不出 ——两者分处两段单调性相反的区域，“同增同减”的直觉在这里失效。 纪律：每次脱壳前先写出母函数的单调区间，再确认 、 都落在同一段里。落不进同一段的，本题不能直接同构。 1.3 为什么“指数加对数”是同构的主战场 图 1 画出了 与 的图象：它们关于直线 对称，互为反函数。 图 1: 指数函数与对数函数的图象关于直线 对称 互为反函数意味着两件事。 第一，任何正数都能写成指数的样子：；任何实数也能写成对数的样子：。这条恒等式是同构法全部变形的根。 第二，指数把“加”变成“乘”（），对数把“乘”变成“加”（）。所以当式子里同时出现 与 时，表面上“阶不同”，实际上可以互相翻译。 翻译只朝两个方向走——积与和互换、商与差互换。这两个方向就构成了下一章的工具箱。 二、判断识别：什么时候该想到同构 同构法用错的代价比用不出来更大：凑不出外壳却硬凑，会把一个两步的题写成一页。所以第一步永远是判断，而不是动笔。 2.1 五副外壳速查表 表 1 是全篇的地图：拿到题先看“指数与对数是否同现”，再对照第二列找模型。表里的“□”与“”是占位符，代表“这里填一个关于 的式子”，它们的作用是让你先看形状、后看细节。 表 1: 五类同构模型速查 模型与例题 一眼认出它的样子 母函数与钥匙 一 · 和差（例 1、例 2） 一边 ，另一边 ； 二 · 积型（例 3） 一边 ，另一边 ； 三 · 商差 出现 与 ；取 得 四 · 分式（例 4） 出现 、，或比 、 ； 五 · 等式（例 5、例 6） 条件是等式，两端各含一个字母 借上面任一副外壳； 严格单调则 推出 2.2 同构变形工具箱 表 2 收了六条恒等式。它们不必背，用时现推，推法只有一个：把 写成 。 表 2: 同构变形工具箱 恒等式 条件 把什么变成什么 幂写成指数，一切变形的根 积化为和 商化为差 和化为积的对数 差化为商的对数 对数乘积化为 形 推法示范：；。两条都是“ 换成 ”后用同底数幂的运算法则合并，其余四条同理。 2.3 四条预警信号 这些情况下，同构大概率不好使 · 两边阶差得离谱且凑不出来。如 与 、 与 。工具箱里没有任何一条能把它们送进同一副外壳。 · 母函数单峰而两边跨峰。如 在 两侧单调性相反，若两个自变量分居 1 的两侧，脱壳这一步直接失效。 · 直接求导只有一两步。如 ，导数是 ，符号一眼看清，用同构反而是绕路。 · 参数无处安放。参数 既不能写成 送进外壳，也不能整体换成 ，同构就缺了关键一环。 2.4 高考同构题考情梳理 同构思想在新高考里出现得越来越密。表 3 收了近年真正用到它的三道题，第三道虽以换元为主，但“把 写成 ”正是同构的标准起手式。 表 3: 高考同构题考情梳理 年份 卷别 题号 考点 所用的钥匙 2022 全国甲卷（理） 21(1) 恒成立求参数范围 ，整体换元 2022 新高考 I 卷 22 两函数有相同最小值 ，其中 2023 新课标 I 卷 19 不等式证明 ，换元后借 三、常见情形：五类同构模型 同构题的花样很多，但“外壳”只有五副。下面按题面长相分五类，每类给出母函数、钥匙和易错点。为免与题目里的 混淆，四副外壳分别记作 、、、。 3.1 模型一 · 和差同构 题面长相：一边是 的形状，另一边是 的形状。两边的“阶”恰好差一层。 母函数取 所以 在 上严格递增。钥匙是 于是当 、 时， 图 2: 母函数 全程严格递增，一个函数值只对应一个自变量 图 2 说明的就是“ 增”这四个字的分量：曲线一路向上，同一个 值不可能对应两个不同的 ，所以比较 值就是比较自变量。 若题面出现的是 与 ，母函数换成 。它在 (−∞,0) 上递减、在 (0,+∞) 上递增，最小值 。此时脱壳要分两种情况：若 、 都在 [0,+∞) 内， 递增，脱壳方向不变；若都在 (−∞,0] 内， 递减，脱壳后不等号方向要反过来。两者分居两侧时不能直接脱壳。 易错点：模型一的“两边加 ”是必做动作。题面给的常常是 ，右端没有 之外的“裸项”与之配对，必须先两边同加 ，把右端凑成 ，才长成 的模样。 3.2 模型二 · 积型同构 题面长相：一边是 （变量乘指数），另一边是 （变量乘对数）。 母函数取 所以 在 (−1,+∞) 上严格递增，在 (−∞,−1) 上递减，最小值 。钥匙是 于是当 、 时， 图 3: 母函数 在 处取最小值，其右侧全程递增 最关键的一步是“凑系数”。题面常写成 ，左端的系数是 而不是 ，套不进 。此时两边同乘正数 ，左端变成 右端变成 两边才对齐。没有这一步“乘 ”，模型二无法启动。 易错点： 只在 (−1,+∞) 上递增。若题面允许 ，则 ，可能落到 (−∞,−1) 一段，脱壳失效。此时必须分段： 的那部分单独说明（往往自动成立），只对 的部分脱壳。 3.3 模型三 · 商差同构 题面长相：出现 或 ，而且两者常常同时出现。 钥匙是工具箱里的第 3 条与第 5 条： 令 ，则 ，商就换成了指数。 配套的母函数是 所以 在 (0,1) 上递减、在 (1,+∞) 上递增，最小值 。即 图 4: 母函数 的最小值为 1，在 处取到 这一模型的题通常不是“两边同构”，而是“整体换元”：把 与 一起换成 ，整个式子塌缩成关于 的一元函数。 必须交代 的取值范围。 在 上的值域是 [1,+∞)——两端 与 时 ，中间在 处取到最小值 1，由连续性，值域取满 [1,+∞)。只有知道 能取遍这一段，才能把“ 的最小值”放心地当成“关于 的函数的最小值”。漏掉这句话，等于默认了 能取到任意实数，最小值可能根本取不到。 3.4 模型四 · 分式对偶 题面长相：出现 、，或者要求比较 与 这类“底数与指数互换”的大小。 母函数取 所以 在 (−∞,1) 上递增、在 (1,+∞) 上递减，最大值 。 本模型的核心是下面这一组“对偶”： 也就是说， 与 根本不是两个函数，而是同一副外壳 在 与 两处的读数。 图 5: 母函数 单峰，峰值在 处 图 5 也把本模型最大的风险画了出来：这是一条“先增后减”的曲线，峰两侧的值会重复出现。比较两个读数时，若两个自变量分居峰的两侧，单调性不再站在同一边，必须借助“取对数”“取倒数”或对称化处理。 3.5 模型五 · 等式同构 题面长相：条件给的是一个等式（不是不等式），等号两端各含一个字母。 做法与前面完全相同，只是把 ≥ 换成 =： 严格单调保证了“一个函数值只对应一个自变量”，这就是 可以“反解”的依据。 这一模型的威力在于降维：把一个“两个变量的等式约束”，变成“两个变量之间的显式关系”，从而把双变量问题化成单变量问题。例 5 与例 6 都是这个套路。 四、应对策略体系 五副外壳记住了，还需要一套稳定的操作顺序。这一节给出四步流程与四种凑形手法。 4.1 同构四步 四步流程 第 1 步 · 认模型：看指数与对数是否同现，看是“和差”还是“积商”，对照表 1 定模型。 第 2 步 · 凑结构：用下面四种手法，把两边改成同一副外壳的两个取值。 第 3 步 · 定单调：求母函数的导数，写出单调区间、最值点与最值。 第 4 步 · 脱壳：确认两个自变量落在同一段单调区间上，再脱壳，得到关于两者的简单不等式，剩下的就是常规的求最值。 这四步是真正有先后依赖的顺序：没有第 1 步就无法选第 2 步的手法，没有第 3 步就无法判断第 4 步能否进行。 4.2 凑结构的四种手法 手法 1：乘除同一个正数——把系数搬进指数。 凑不成 ，两边同乘 ，便成 。乘的必须是正数，否则不等号方向会翻。 手法 2：加减同一个式子——把孤立的项配成对。 两边同加 ，右端才长出 这个“对数加裸项”的配对。 手法 3：取对数——把乘方降成乘法。 与 比大小，两边取对数，化成比较 与 ，再同除 得到两个 的值。 手法 4：整体换元——把一团式子记作 。 与 同时出现时，令 ，两者一起变成 与 。 4.3 脱壳前必查的三件事 脱壳三查 一查单调：母函数在这段区间上严格单调吗？把导数的符号写出来，不要凭图象印象。 二查范围：两个自变量都落在这段区间里吗？把各自的取值范围写出来。 三查方向：不等号方向对吗？ 增则同向， 减则反向。 三查缺一，结论就可能是假的。尤其第二查，几乎每一道错题都栽在这里。 五、例题精讲 六道例题按模型排列，标题里都标了模型编号。每道题都按“认模型、凑结构、定单调、脱壳”四步展开，读的时候可以对照上一节的流程。 5.1 例题 1（模型一）—— 参数在指数里 例题 1 已知不等式 对一切 成立，求实数 的取值范围。 第 1 步 · 认模型：左端是指数，右端是对数，属于模型一。 第 2 步 · 凑结构：右端的 是“孤立项”，必须与 配成对。两边同时加上 ： 左端是 ，右端是 第 3 步 · 定单调：， 在 上严格递增。 第 4 步 · 脱壳：两个自变量 与 都在 内，可以直接脱： 所以原不等式等价于 定结论：由 （ 时取等），得 。 这里必须用严格不等号。若取 、，则左端 ，右端 ，1>1 不成立。 答案：。 5.2 例题 2（模型一）—— 参数在对数里 例题 2 已知不等式 对一切 成立，求实数 的最大值。 第 1 步 · 认模型：左端是纯指数，右端是“一次式加对数”，属于模型一。 由 有意义且 ，得 。 第 2 步 · 凑结构：两边同加 ： 左端是 ，右端是 第 3 步 · 定单调： 在 上严格递增。 第 4 步 · 脱壳： 所以原不等式等价于 定结论：，故 ，即 。 答案： 的最大值为 。 对照例 1 与例 2：两题走的是同一条路，差别只在参数的落点。例 1 的 在指数里（），脱壳后它跟着 走到左边；例 2 的 在对数里（），脱壳后它跟着 留在右边。参数写成什么样子，取决于题面让它和谁配对，这一点强行统一会出错。 5.3 例题 3（模型二）—— 必须乘一个 例题 3 已知 ，不等式 对一切 成立，求实数 的最小值。 第 1 步 · 认模型：左端是“系数乘指数”，右端是纯对数，属于模型二。 第 2 步 · 凑结构：左端系数是 而非 ，套不进 。两边同乘正数 ： 左端是 ，右端是 第 3 步 · 定单调：，当 时 ，故 在 (0,+∞) 上严格递增。 第 4 步 · 脱壳：由 及 得 、，两个自变量都落在递增段内，可以直接脱： 定结论：令 ，则 ，φ 在 上递增、在 上递减，最大值 。故 答案： 的最小值为 。 为什么必须限定 ：若允许 ，则 ， 会落到 的递减段，第 4 步脱壳失效。此时只能分段处理——练习 2 就是这种情况。 5.4 例题 4（模型四）—— 比较 与 例题 4 比较 与 的大小。 两者都是正数，比较它们等价于比较它们的对数： 于是只需比较 与 ，即比较 与 。 第 1 步 · 认模型： 正是 在 处的值，属于模型四。 第 2 步 · 凑结构：把 写成外壳 的读数： 于是 第 3 步 · 定单调：， 在 (1,+∞) 上严格递减。 第 4 步 · 脱壳：由 得 ，而 1 与 都在 [1,+∞) 上，故 两边同乘正数 ，得 ，即 对数函数严格递增，故 。 结论：。 这个结论常常被当成“记住就行”的常识。实际上它只是 在 上递减的一句话—— 与 谁在“底数”位置，谁就更小。 5.5 例题 5（模型五）—— 由等式定出两个字母的关系 例题 5 已知 ，，且 ，求 的最大值。 第 1 步 · 认模型：条件是一个等式，两端分别是“变量乘指数”与“变量乘对数”，属于模型五，外壳借用模型二的 。 第 2 步 · 凑结构： 第 3 步 · 定单调：（），故 在 (0,+∞) 上严格递增。 第 4 步 · 脱壳：由 、 得 、，两者都在递增段内，且 这一步把“一个等式约束”变成了“一个显式关系”，双变量问题随即降为单变量： 由 （ 时取等），得 验证：取 ，则 。代入原式：左端 ，右端 ，等式成立。 答案： 的最大值为 。 5.6 例题 6（模型五）—— 2022 年新高考 I 卷第 22 题第 (1) 问 例题 6 已知函数 与 有相同的最小值，求 的值。 先各自求最小值。 对 ：。当 时 恒成立， 在 上单调递增；且 时 有 ， 时 而最小值 0 取不到。两种情形下 都没有最小值，故 。此时 在 处取最小值 对 ：定义域 ，， 在 处取最小值 两最小值相等： 令 ，则 故 在 (0,+∞) 上严格递增。又 ，所以方程只有唯一解 。 答案：。 为什么两个函数的最小值会恰好相等？ 上面用的是“分别求最小值再相等”。但同构给出了一个更本质的解释。 当 时，，。注意 也就是说， 是 与对数函数的复合，而 在 上取遍全体实数。 的最小值 ，自然也是 的最小值。 两个函数同最小值不是巧合，而是同构的直接后果。 六、对比总结 五副外壳的分工可以用一句话概括：和差型比的是“指数与对数同阶”，积型比的是“两项都是变量乘函数”，商差型比的是“把商翻成差”，分式型比的是“同一副单峰外壳上的两个读数”，等式型比的是“一个函数值只对应一个自变量”。认清这一点，表 1 就不再需要背。 同构法和它的邻居们各管一段，边界如表 4。 表 4: 同构法与相邻方法的适用边界 方法 什么时候优先 代价 同构法 指数与对数同现，两边能凑成同一副外壳 凑形要眼力；脱壳前必须核对单调区间 直接求导 导函数一两步就能定号 含参时分类讨论可能很长 分离参数 参数能单独挪到不等式一侧 分离后的函数最值常常算不出来 切线放缩 证明不等式，且能看出 一类结论 放缩偏松会失效，取等条件要对得上 这里有一个容易被忽略的联系：同构与切线放缩在 这副外壳上合流了。 既可以看成“切线放缩”，也可以看成“母函数 的最小值是 1，且最小值在 处取到”。前者是几何语言，后者是函数语言，说的是同一件事。 所以判断该用哪一个，标准其实很朴素：能精确比较就用同构，只能粗略替代就用放缩。 七、巩固练习 三题难度递进。第一题练“积化和”，第二题专门设了跨峰的陷阱，第三题是模型四的深水区。 练习 1 求证：当 时，。 练习 2 已知 ，不等式 对一切 成立，求实数 的最小值。 练习 3 已知函数 。（1）求 的最大值；（2）若 且 ，证明 。 参考答案与提示 练习 1：证明：由工具箱第 2 条，。令 ，则原不等式化为 这一步需要说明 的取值范围： 在 (0,+∞) 上满足 ，严格递增，且 时 、 时 ，故值域为 。而对一切实数 都有 （等号在 处成立），故原不等式成立。 取等条件： 在 (0,1) 内有唯一解 ，故等号可以取到。 练习 2：答案： 的最小值为 。 提示（本题的坑在跨峰）：分两段。 当 时，，而 ，不等式自动成立，无需任何条件。 当 时，。两边乘 得 ，即 。此时 、，都在 的递增段内，故 ，即 。由 （ 取到），得 。 两段合并，答案 。 注意：若不管 那一段就直接脱壳，等于默认了 恒在递增段内，这是错的。 练习 3：（1）答案：最大值为 ，在 处取到。 证明：，故 φ 在 上递增、在 上递减。 （2）证明：令 ，，则 ，且由 知 ，其中 。由（1）知 在 处取最大值，且在 (−∞,1)、(1,+∞) 上各自严格单调，故 、 不可能同在一侧（否则 会推出 ），于是 。 要证 ，即证 ，即 。 由 得 ，而 在 (1,+∞) 上递减，故只需证 记 ，则 ，。不等式 即 令 ，则 ， 故 在 (0,+∞) 上递增，，从而 递增，。不等式得证，于是 ，即 9 9 学科网（北京）股份有限公司 $