16.2.整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.2整式的乘法 (单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式) 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01单项式乘单项式法则 题型02单项式乘单项式含参问题 题型03单项式乘单项式错解问题 题型04单项式乘单项式的应用 题型05单项式乘多项式法则 题型06单项式乘多项式化简求值 题型07单项式乘多项式中错解问题 题型08单项式乘多项式不含某一项问题 题型09单项式乘多项式的应用 题型10利用单项式乘多项式求参数的值 题型11多项式乘多项式法则 题型12多项式乘多项式化简求值 题型13多项式乘多项式不含某一项问题 题型14多项式乘多项式错解问题 题型15(x+px+q型多项式乘法 题型16多项式乘多项式与图形面积 题型17多项式乘法中的规律问题 题型18比较大小 题型19新定义问题 题型20整式乘法混合运算 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 1/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01单项式乘单项式法则 1.D 2.x7 3.-2x20 4.-12 5.【详解】(1)原式=y2+n-1=y+; (2)原式=-xx3+x2x: =-x9+x =0: (3)原式=2×2”=22+n； (4)原式=-(n-m)134=-(n-m): (5)原式=-xx2x2n+1-x2n+2.x2(n为正整数). =-X2n*1+2*1-X2n+2+2 =-2x2n+4 题型02单项式乘单项式含参问题 6.A 7.C 8.C 9.3 10.-7 题型03单项式乘单项式错解问题 11.C. 12.【详解】(1)解：由题意得-2x2m+1y2n,7xy=-14xy1, 即-14x2m+7-"y2n+5=-14x8y1, 2/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2m+7-n=8,2n+5=11, 解得：m=2,n=3: (2)解：m=2,n=3, ∴原式=-2x2y.7xy=-14x16y 13.【详解】(1)解：由题意，得 (-2x2m+1y27x-"y3-m =(-2×7）小-(x2m+1.x-n)(y2n.y3m） =-14x2m+1+6-ny2n-3-m, 即-14x2m-n+7y2n-3-m=-14x8y, 2m-n+7=8, m=2, 所以2n-3-m=1,解得n=3, 所以m的值为2，n的值为3. (2)解：原式=(-2×7)小(x3m1x-6)(y2ny3-m) =-14x3m+1+n-6y2n-3-m 由(1)可知m=2,n=3, 所以原式=-14x4y, 题多解法由(1)可知m=2,n=3, 所以原式=-2xy.7x3y5 =-14xy 题型04单项式乘单项式的应用 14.【详解】解由题意得，持续计算能力为9.3×1016次/s,运算时间为2×10s, 总运算次数为： 9.3×1016×2×102=9.3×2×106×102=18.6×1018=1.86×109(次)， 答：该超级计算机按持续计算能力运算2×10s可做1.86×1019次运算. 15.【详解】解：由题意，得： m n m 2 2 5 8mn-5n2m5=-40mn3 3/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【详解解：这扇窗户的面积=2a·2a+号江：04+号π是 外框的总长=3·2a+πa=6+πa」 a 2 a- 17.【详解】解：①S=a2-2× 2 π 2 =a2-2× =a-g2 0-10时.5=102-g=10-2 ②5=a2-xx号×4 222 2 当a=10时，S=10-100=50 22 18.【详解】(1)解：需要地砖：b+b川a+3a+ab=8ab+ab=9abm2: (2)解：购买地砖需要：8ab3x+ab·x=25abx(元)· 题型05单项式乘多项式法则 19.A 20.C 21.-3a 22.【详解】(1)解：2mn5mn2-4m2n =2mn:5mn2-2mn.4m2n =10m2n2-8m3n2: (2)解：3a3b-a+3aa =9ab-3a3+3a3 =9ab: 4126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：-2a3ab+b --2-ah)+i-2cI-b =-a3b-2a2b2: 解合y-2y*y小3g y-6xy3xy (5)解：xx+9x-12-33x+1-4x =x2n+9x+1-12x-9x+1+12x” =x2n. 题型06单项式乘多项式化简求值 23.【详解】解：abab-2a+2-2ba2b-2ab+2a, =a2b2-2a2b+2ab-2a2b2+4ab2-4ab, =-a2b2-2a2b+4ab2-2ab, a=-1,b=-2 ..-a'b2-2a'b+4ab2-2ab =--12×-22-2×-12×-2+4×-1×-22-2×-1×-2, =-4+4-16-4, =-20 24.【详解】解：x-x3+x+xx-x2 =x3-3x-x2+x2-x3 =-3X, 当x=1时， 原式=-3x=-3×1=-3. 25.【详解】解：原式=6a3-12a+9a-6a3+8a2 =-4a2+9a; 方成4引9引-4是1号号 42 22 5126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07单项式乘多项式中错解问题 26.C 27.【详解】有两处错误：①在单项式与多项式的二次项相乘时，符号出现错误，②单项式乘多项式时， 漏乘了多项式中的常数项“-1”. 正确求解过程：原式=-3x3y4x+-3x3y-3x2+-3x3y-1 =-12x4y+9x3y+3x3y 28.【详解】解：算成了加上-4x,得到的结果是x-x-X+5, ,这个多项式：x4-x3-x+5--4x3=x4+3x3-x+5, 乘积为：-4x3引x4+3x3-x+5=-4x-12x+4x-20x3. 29.【详解】(1)解：3A+B=3x2+3kx-1+-3x2+2x-4 =3x2+9kx-3-3x2+2X-4 =9k+2x-7, ,3A+B的值与x无关， .9k+2=0, 解得k-子 (2)解：设原来的多项式为M, 依题意得，M=x2-4x+1--3x2=4x2-4x+1, ∴.正确的计算结果为4x2-4x+1×-3x2=-12x4+12x3-3x2 30.【详解】(1)解：这个多项式是：x2-2x+1--3x2 =X2-2x+1+3x2 =4x2-2x+1, (2)正确的计算结果为：4x2-2x+1-3x2=-12x+6x3-3x2 题型08单项式乘多项式不含某一项问题 31.B 32.B 1 33.2 6/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.-3 35.B 题型09单项式乘多项式的应用 36.B 37.B 38.【详解】(1)解：草坪面积为：2b-ab-a2a-b =2b2-ab-2a+ab =2b2-2a2m2: 2)解：当0=2,6-号.草坪面积=2× 2x2父-受8=3m 2 39.【详解】(1)解：周长=22a+3+a=23a+3=6a+6: 面积=2a+3×a=2a2+3a. (2)解：当a=4时，周长=6a+6=6×4+6=30: 面积=2a2+3a=2×42+3×4=2×16+12=44. 40.【详解】(1)解：由图可知，GC=GB+BC=a+b: 故答案为：a+b: (2)解：S△AFc=S△AFE+SE方&GBE+S△ABC-S△FGC -ibla-b)+b+id-jblb+al 2 20 2 2 d - 当a=8时，5a4号×8=×64=32， 1 ∴.S△AFc的值为32， 题型10利用单项式乘多项式求参数的值 41.C 42.C 7/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43.A 44.2x2y2 45.2 -2 题型11多项式乘多项式法则 46.A 47.2x2+xy-y1 48.【详解】(1)解：-3a2b2ab3=-6a3b4: (2)解：-2x2y3xy2-2y+1=-6x2y+4x2y2-2x2y: (3)解：2x-3y3x+4y=6x2+8xy-9xy-12y2=6x2-xy-12y2. 49.【详解】(1)解：a3a4a+a24--2a =a8+a3-4a8 =-2a8; (2)解：x-12x+1-2x-5x+2 =2x2+x-2x-1-2x2+2x-5x-10 =2x2-x-1-2x2-3x-10 =2x2-x-1-2x2+6x+20 =5x+19, 50.【详解】(1)解：m-2nm2+mn-3n2 =m3+m2n-3mn2-2m2n-2mn2+6n3 =m3-m2n-5mn2+6n3 (2)解：3x2-2x+2|2x+1 =6x3+3x2-4x2-2x+4x+2 =6x3-x2+2X+2 题型12多项式乘多项式化简求值 51.【详解】解：2x-y4x2+2xy+y2 =2x(4x2+2xy+y2-y4x2+2xy+y2 =8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y 8126 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =8x2-y2, “当x=1,y=3时，原式=8x2-y=8×13-(3=8-3=5. 52.【详解】解：xx2-4-x+3x2-3x+2-2xx-2 =x2-4x-x2+3x2-3x2-9x+2x+6-2x2+4x =x2-4x-x3-3x2+3x2+9x-2x-6-2x2+4x =-2x+7x-6, 当x=2时，原式-2× 号6-6- 53.【详解】解：a+bla+2b-2bb-a =a2+2ab+ab+2b2-2b2-2ab =a2+3ab+2b2-2b2+2ab =a+5ab 当a=2,b=2时， a2+5ab=22+5×2×号=9 2 54.【详解】解：化简2x+yx-y+y2小(2x2 =(2x2-2x+x-y2+y2(2x) =2x2-Xy4x2 =8x-4x3y :x+1+(x-2y)2=0 .x+1=0,（x-2y2=0 .x=-1,x=2y y .8x-4x3y =8×-1-4x-1× =8-4-- 8-4× =8-2 9126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =6. 55.【详解】解：原式=6x2+4xy-3xy-2y2-(8x2-20xy-6xy+15y2) =6x2+xy-2y2-8x2+26xy-15y2 =-2x2+27xy-17y2. 当x=-克y=1时，原式=-2×-2》+27×(2×1-17×1 =-2×1-2-17 42 =-31. 题型13多项式乘多项式不含某一项问题 56.C 57.-3,7 58.2 59.【详解】(1)证明：(s-2t0s+2t+1+4t+另 =s2-42+s-2t+42+2t =s2+S, ∴代数式s-2t)0s+2t+1)+41t+号的值与的取值有关系。与的取值无关系： (2)(ax-b(-x+2) =-ax2+2ax+bx-2b =-ax2+2a+bx-2b, ,多项式aX-b与-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-4， .2a+b=0,-2b=-4, 解得：b=2,a=-1, .ab=-12=1, 60.【详解】解：(1)x2+x+3x2-3x =x4-3x+nx3-3nx2+3x2-9x =x4-3-nx3-3n-3x2-9x :x2+x+3x2-3x的结果中不含x项， 10126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3n-3=0, .n=1: (2):xx2+x-3-x2x-1-2x-12x+1+x2x+1 =x3+x2-3x-x3+x2-22x2+x-2x-1+2x2+x =x3+x2-3x-x3+x2-4x2+2x+2+2x2+x =2 多项式xx2+x-3-x2x-1-2x-1川2x+1+x2x+1的值与x的取值无关. 题型14多项式乘多项式错解问题 61.【详解】（1)解：，甲抄错a的符号， ∴.甲计算的整式为2x-a)(3x+b, 2x-a3x+b=6x+2b-3ax-ab 甲的结果为6x2-11x-10, .2b-3a=-11①， ,乙漏抄第二个多项式X的系数，即第二个多项式变为X+b, ∴.乙计算的整式为2x+ax+b, 2x+a(x+b=2x2+a+2bx+ab, ,乙的结果为2x+9x+10, ∴.a+2b=9②， ②①得：4a=20 解得a=5, 将a=5代入②得5+2b=9, 解得b=2, ,ja=5 ·b=2 (2)解：将a=5,b=2代入原式， 2x+53x+2 =6x2+4x+15x+10 =6x2+19x+10. 62.【详解】(1)解：原式=-15x2+5x+3x-1=-15x2+8x-1. 11/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设被污染的一次项系数为a,则ax-1-3x+1=-3ax2+ax+3x-1, 这个题目的正确答案中二次项系数为9， ∴-3a=9, ∴.a=-3, ∴.被污染的第一个因式的一次项系数为一3， ∴.-3x-1川-3x+1=9x-3x+3x-1=9x2-1. 63.【详解】(1)解：甲抄错了a的符号的计算结果为： (x-a)(2x+b)=2x2+(-2a+b)x-ab=2x2-7x+3, 故：对应的系数相等，-2a+b=-7,ab=-3; 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+2x-3. 故对应的系数相等，a+b=2,ab=-3, -2a+b=-7 a+b=2' a=3 解得：b=-1 .(-2a+b)川a+b)=[(-2)×3-1](3-1)=-7×2=-14: a=3 (2)解：由(1)可知，b=-1 正确的计算结果： (x+a(2x+b] =(x+3)(2x-1) =2x2+5x-3. 64.【详解】(1)解：由题得：3x-a4x-b=12x2-18x+6 12x2-3bx-4ax+ab=12x2-18x+6 2x-a4x+b=8x2-8x-6 8x2+2bx-4ax-ab=8x2-8x-6 3b-4a=-18 所以 2b-4a=-8 a=3 解得b=2 (2)解：把a=3,b=2代入3x-a4x+b得 3x-34x+2 12/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =12x2+6x-12x-6 =12x2-6x-6 当x=-1时， 原式=12×1+6-6=12 题型15(x+p川x+q型多项式乘法 65.C 66.B 67.【详解】(a)解：照式号+x-号×+6x 2 =-4x2+7x: (2)解：原式=a2-2a+3a-6-a2+2a-a-2 =a2+a-6-a2-a+2 =-4. 68.【详解】(1)解：展开等式左侧得：x-3川x+2=x2+2x-3x-6=x2-x-6, x-3x+2=x2+ax+b,对应项系数相等， ∴.a=-1,b=-6: (2)展开等式左侧，得x+ax+b=x2+a+bx+ab, x+ax+b=x2-5x+6,对应项系数相等， .a+b=-5,ab=6, .a-1b-1 =ab-a-b+1 =ab-(a+b+1 =6--5+1 =12」 69.【详解】(1)解：x+5x-6 =x2-6x+5x-30 =x2-X-30: (2)解：2x+12x+3 =2x·2x+2x×3+1×2x+1×3 =4x2+6X+2x+3 13/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4x2+8x+3: (3)解：3x+43x-4 =3x2-3x×4+4×3x-42 =9x2-16: (4)解：9x+4y2 =9x2+9x·4y+9x·4y+4y7 =81x2+72Xy+16y2. 题型16多项式乘多项式与图形面积 70.C 71.【详解】(1)解：由题意得，甲长方体底面的长为a+4,乙长方体底面的长为n+2: (2)解：，两个长方体的底面的周长相等， .2a+4+a=2n+2+n, ∴.a=n-1； (3)解：乙长方体的体积大，理由如下： 甲长方体的体积为aa+4·h,乙长方体的体积为nn+2小h, a(a+4.h-n(n+2.h =n-1n-1+4h-nn+2h =(n-1(n+3h-n(n+2.h =hn+3n-n-3-n2-2n =-3h<0, ∴.甲长方体的体积小于乙长方体的体积，即乙长方体的体积大 72.【详解】(1)解：3a+2b川2a-b =6a2-3ab+4ab-2b2 =6a2+ab-2b2, ∴该长方形草坪的面积为6a+ab-2b平方米： (2)解：当a=2,b=1时，6a+ab-2b2=6×2+2×1-2×12=24+2-2=24, ∴.草坪的面积为24平方米。 73.【详解】(1)解：游戏娱乐区的面积=2a+5b5a+4b-3a =2a+5b川2a+4b 14/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4a2+8ab+10ab+20b2 =4a2+18ab+20b2m2 文化体验区的面积=3a2a+5b-3a =3a-a+5b =-3a2+15abm2」 绿化休息区的面积=3a2=9am2. (2)解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 =c4a+18ab+20b-3a2+15ab+9ac-40 =ca2+33ab+20b2+9ac-360a2 =ac+33abc+20b2c+9ac-360a2 =10ac+33abc+20b2c-360a2元 74.【详解】(1)解：4×号×2b×12a+b=4b2+8ab 2 ∴.绿化带的面积为4b2+8ab平方米. (2)解：3a+5b4a+2b-4b2+8ab =12a2+6ab+20ab+10b2-4b2-8ab =12a2+18ab+6b2 答：健身区域的面积是(12a+18ab+6b)平方米 75.【详解】(1)解：由题意可得：4a+b川a+b-2a2 =4a2+ab+4ab+b2-4a2 =5ab+b2, 答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大5ab+b平方米。 (2)当a=3,b=2时，5ab+b2=5×3×2+22=34(平方米)， 答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米。 题型17多项式乘法中的规律性问题 76.D 77.-6078 78.【详解】(1)解：a-2a2+2a+4 =a3+2a2+4a-2a-4a-8 15/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a3-8: (2x-y(4x2+2x+y2) =8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y =8x2-y: (2)解：归纳总结：新的乘法公式是a-ba+ab+b=a3-b3: (3)解：由总结的公式特征，则符合公式特征的是：A、C; (4)解：13x-2y9x2+6xy+4y2=3x3-2y3=27x3-8y3: 2m-34m2+6m+9=2m3-33=8m3-27 79.【详解】(1)①65×65=6×7×100+5×5=4225； ②a5×a5=a×(a+1)×100+5×5: (2)①145×145=14×15×100+5×5=21025： ②1235×1235=123×124×100+5×5=1525225： (3)ab×a(10-b)=a×(a+1)×100+b×(10-b), 证明：左边=ab×a10-b)=(10a+b)(10a+10-b)=100a+100a+10b-b2, 右边=a×(a+1)×100+b×(10-b)=100a+100a+10b-b2, 左边=右边， .∴.ab×a10-b)=a×(a+1)×100+b×(10-b). 80.【详解】（1)解：根据题意得： x-1x3+x4+x3+x2+x+1=x5-1; 当x=3时，3-1×35+34+33+32+3+1=3-1=728： (2)解：由(1)得 ·.5-152025+52024+52023+52022+..+52+5+1=52026-1, 505+50+52+502+…+52+5+1=535-1-52m6-1 5-1 4 5+54+50+5m++5+5+1-6=51-6. 4 55+524+52023+5202+.+53+52-506-25 4 16/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型18比较大小 81.C 82.A 83.【详解】(1)解：.：P=n+1川n+4=n2+4n+n+4=n2+5n+4, Q=n+2川n+3=n2+2n+3n+6=n+5n+6, ∴.P-Q=n2+5n+4-n2+5n+6=n2+5n+4-n2-5n-6=-2, -2<0, .P<Q. 答：P<Q. (2)解：设n=20260126, 则A=n+1川n+2,B=n+3n, .A=n2+n+2n+2=n2+3n+2,B=n+3n=n2+3n, ∴.A-B=n+3n+2-n2+3n=n2+3n+2-n2-3n=2, 2>0, ∴.A>B 答：A>B 84.【详解】(1)，P-Q=(n+1)(n+4)-(n+2)(十3) =2+5n+4-1t-5n-6 =-2<0, .P<0: (2).A-B=202401×202407-202403×202405 =(202404-3) (202404+3)-(202404-1)(202404+1) =2024042-9-2024042+1 =-8, ..A<B. 【点睛】本题考查平方差公式，多项式乘多项式以及不等式的性质，理解“作差法”的意义是解决问题的 前提，掌握平方差公式、多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键. 17/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型19新定义问题 85.-3 m2 m-3 86.【详解】解：根据题意，可得 1-2mm-2 =m2m-2-m-31-2ml =m3-2m2-m-2m2-3+6m =m3-2m2-m+2m2+3-6m =m3-7m+3 .m3-7m-6=0, ∴.m3-7m=6, m2 m-3 =6+3=9, “1-2mm-2 87.【详解】(1)解：原式=(-2)+3+4×(-2)=1-8=-7： (2)原式=ab+3ab+5ab4ab =a2b+3ab+20a3b2 88.【详解】(1)解：①3x2+2X+3x+2=6x2+2x+2,结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②-5x2y3+2Xy+5x2y3-2Xy-1=-1,-1是常数，所以多项式互为“对消多项式”： ③2xx-1+x+2x2-x+2=2x2-2x+X+2x2-x+2=4x2-2x+2,结果不是常数，所以不互为“对 消多项式”： (2)解：A+B =x-a2+-bx2-2x+b =x2-2ax+a2-bx2-2x+b =1-bx2-2a+2x+a2+b 因为多项式A=x-a与多项式B=-bx2-2x+b(a,b为常数)互为“对消多项式”， .1-b=0,2a+2=0, ∴.b=1,a=-1, 对消值为a2+b=-12+1=2. 18/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型20整式乘法混合运算 89.【详解】(1)解：3a2-a+1-2a2+2a-2 =3a2-3a+3-2a2-4a+4 =a2-7a+7: (2)解：a+1a-3+a2-a =a2-3a+a-3+2a-a =-3 90.【详解】(1)解：原式=(-4xy(-Xy)·日y 4y言扩 2 (2)解：原武-27×y4Xy-xyXy 64 4 =-2x"y-xy" 161 41 91.【详解】(1)解：-2x2y3+-x-yy=-8xy3+xy23=-7xy3. (2)解：2a-5b3a2-2ab+b2 =2a3a2-2ab+b-5b·3a2-2ab+b2 =6a3-4a2b+2ab2-15a2b-10ab2+5b3 =6a3-4a2b+2ab2-15a2b+10ab2-5b3 =6a3-19a2b+12ab2-5b3. (3)解：(x+2yy-2+2y-4xy+1 =xy-2x+2y2-4y+2y2+2y-4y-4x =4y2-3xy-2y-6x. 19/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● B组 能力进阶 1.2 2.36 3.2a=3b 4.5或-7 5.【详解】(1)解：x+15x-23x+3的一次项系数计算如下： 1×-2×3+5×1×3+3×1×-2=-6+15+-6=3, 即x+1川5x-23x+3的一次项系数为3. (2)月x+2-x+64x-2的=次项系数计舞如下： 2×-1x-2+号×4x6+-1×4×2=1+12+-8=5, 即号x+2-x+614x-2的=次项系数是5 (3)x+3川-x+a3x-2的一次项系数计算如下： 1×a×-2+3×-1×-2+3×a×3=-2a+6+9a=7a+6, 因为所得多项式巾不含一次项，所以7a+6=0,解得0=一9。 6.【详解】(1)解：由图可知，a+2b=4a+b, .b=3a, ,a_1 b3 (2)解：由题意，ab=12, 由(1)知：b=3a, 3a2=12, a2=4, ∴.图2的面积为a+2b3a+b=a+6a3a+3a=42a2=42×4=168cm2: (3)解：：阴影部分的面积是大长方形ABCD面积的， 2 :7张D类卡片的面积之和为大长方形ABCD面积的 20126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由图可知，大长方形的面积为3b2ma+2b=6mab+6b2, 专6mab+6b=7mb .3mab=4b2, 4b2_4b .∴m三 3ab 3a b=3a, .∴.m=4. 7.【详解】(1)解：依题意可得：S1=m+7m+1=m+8m+7, S2=m+4川m+2=m+6m+8, .S1-S2 =m2+8m+7-m2+6m+8 =m2+8m+7-m2-6m-8 =2m-1. S1<S2, .S1-S2<0, .2m-1<0, m (2)解：，S1-S2=2m-1,21<n≤S1-S2的整数n有且仅有4个， ∴.这四个整数解为：22,23,24,25， .25≤2m-1<26, 解得：13≤m<13.5, m为正整数， .m=13 8.【详解】解：任务一：根据由多项式乘以单项式的项式乘法到多项式乘以多项式的竖式乘法，是类比 思想， 故选：B 任务二：2x2-3x+1x-2 列竖式如下： 21/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x2-3x+1 ×x-2 -4x2+6x-2 2x3-3x2+x 2x3-7x2+7x-2 故2x2-3x+1x-2=2x3-7x2+7x-2: 任务三：2x2+px+12x+4 列竖式如下： 2x+px+12 ×x+4 8x+4px+48 2x+px2+12x 2x3+8+px2+12+4px+48 ∴.2x+px+12x+4=2x3+8+px2+12+4px+48, ,多项式2x+px+12与x+4相乘的结果中不含x的一次项， .12+4p=0, 故p=-3. C组 思维拔高 1.C 2.C 3.【详解】(1)解：依题意，P0=02+a×0+b=b,Q1=1+c×1+d=1+c+d P1=12+a×1+b=1+a+b,Q0=02+c×0+d=d .P0Q1=P1Q0 ∴.b1+c+d=d1+a+b ∴.b+bc+bd=d+ad+bd 即b+bc=d+ad, :.bc+1=da+1: (2)①证明：由(1)可得b(c+1)=d(a+1) 当a=c时， ba+1=d(a+1 .a>0,则a+1≠0 22/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b=d; ②由P1=5,得：1+a+b=5,则a+b=4 由P2=9,得4+2a+b=9,则2a+b=5 a+b=4 a=1 联立2a+b=5, 解得：b=3 由Q2=9,得4+2c+d=9 ∴.d=5-2c 代入bc+1=da+1得，3c+1=25-2c 解得：c=1 ∴.d=3 .a+b+c+d=1+3+1+3=8; ③.P2=Q2 ∴.4+2a+b=4+2c+d ∴.b-d=2c-a 设m=a-c,n=b-d,则n=-2m .(a-c)2+(b-d)2=5 m2+n2=5, 代入n=-2m得，m2+-2m2=5 ∴.m2=1 .a<c<0,即a-c<0,即m<0 .m=-1 ∴.n=-2m=2 ∴.a-c=-1,b-d=2 .c=a+1,d=b-2 代入bc+1=da+1得 ba+1+1=b-2a+1 ∴.ab+2b=ab+b-2a-2 即b=-2a-2 ∴.d=-2a-2-2=-2a-4 .c=a+1<0, .a<-1, 又，a为整数，则a≤-2 23/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b+d=-2a-2+-2a-4=-4a-6 .a≤-2 ∴.-4a-6随a的增大而减小， ∴.当a=-2时，b+d取得最小值，最小值为-4×-2-6=2 4.【详解】(1)解：设3988=a, 则x=a-1a+3=a+2a-3,y=aa-2=a-2a, .x-y=a2+2a-3-a2-2a=4a-3>0, ∴.x>y (2)根据题意设2024=a,2028=a+4,2025=a+1,2029=a+5,2026=a+2,2027=a+3, 2028=a+4, 则x=aa+4-a+1a+3 =a2+4a-a2+3a+a+3 =a2+4a-a2-3a-a-3 =-3, y=a+1川a+5-a+2a+4 =a2+5a+a+5-a2+4a+2a+8 =a2+5a+a+5-a-4a-2a-8 =-3, ..x=y. 5.【详解】(1)解：由题知，M=x+2x+9-x+4x+7 =x2+11x+18-x2+11x+28 =-10 (2)解：x+alx+d-x+blx+c =x+a+dx+ad-x2-b+cx-bc, .a=-4,d=3, ∴.上式=x2-x-12-x2-b+cx-bc, .x+ax+d-x+bx+c=M,且M为常数， ∴.-b+c=1, 整理得b+c=-1: (3)解：由题知x+n2+nx+d-x+n2+n+2x+c=14, 24126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x2+n2+n+dx+n2+nd-x2-n2+n+2+cx-n2+n+2c=14, .n2+n+d-n2-n-2-cx+n2+nd-n2+n+2c=14, .d-2-c=0,n2+nd-n2+n+2c=14, .d-c=2,n2+nd-c-2c=14, 则2n2+n-2c=14, 则n+n-c=7. 6.【详解】(1)解：①交换m和n后，-mn值不变，不是相反数，故不是反对称式. ②交换m和n后，n2-m2=-m2-n2,是相反数，故是反对称式. ③交换m和n后，n-m=m-n'(-m?=(-m,值不变，不是相反数，故不是反对称式。 ④交换m和n后，(n-m2025=[-(m-n)]2025=-(m-n}2025(因为2025是奇数)，是相反数，故是反对 称式. 故答案为②④， (2).m+kn(3m-n-5mn-n2=3m2-mn+3kmn-kn2-5mn-n2, ..(m+kn)(3m-n)-5mn-n2=3m2+(3k-6)mn-(k+1)n2 交换m和n得3n2+3k-6mn-k+1m2, 由反对称式的定义可得： [3m2+3k-6mn-k+1n2]+[3n2+3k-6mn-k+1m2]=0. 整理得：(2-km2+2-kn2+6k-2mn=0, 2-k(m2+n2-6mn)=0 由于m≠n且m,n≠0，m2+n2-6mn不一定为0， 故k-2=0, 解得k=2 (3)-2025m.2025”+m+kmlm2-mn+n2交换m和n后可得 -2025,2025m+n+kmlm2-mn+n2. 由反对称式的定义可得： -2025m.2025"+m+kmlm2-mn+n2+-2025r.2025m+n+km)mi2-mn+n2=0, 又.-2025m.2025”=-1m×2025m×2025=-1m×2025m+n, -2025.2025m=-1”×2025”×2025m=-1”×2025m+n, .-2025m.2025”+m+kmlm2-mn+n2+-2025P.2025m+n+kmm2-mn+n2 25126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[(-1"+(-1)"]2025m*+(m+kn+n+km)m2-mn+n2) =[-1m+-1]2025m*m+(k+1)川m+nlm2-mn+n2 ∴-1m+-1r=0,k+1=0 因此，当k=-1且m和n奇偶性不同时，整个代数式为反对称式. 此时km+m=(-lm+n,由于m和n奇偶性不同，m+n为奇数， 故(-1)m+n=-1. 拓展 链接中考 1.D 2.D 3.3x4y 4.-3a 5.8n2 6.8 7.【详解】解：(1)原式=2+3 =5； (2)原式=a2-a+a =a2. 8.【详解】解：x5-x)+x2+3 =5X-x2+x2+3 =5x+3, 当x=2时，原式=5×2+3=13， 26/26 16.2 整式的乘法 （单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式） 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 单项式乘单项式法则 题型02 单项式乘单项式含参问题 题型03 单项式乘单项式错解问题 题型04 单项式乘单项式的应用 题型05 单项式乘多项式法则 题型06 单项式乘多项式化简求值 题型07 单项式乘多项式中错解问题 题型08 单项式乘多项式不含某一项问题 题型09 单项式乘多项式的应用 题型10 利用单项式乘多项式求参数的值 题型11 多项式乘多项式法则 题型12 多项式乘多项式化简求值 题型13 多项式乘多项式不含某一项问题 题型14 多项式乘多项式错解问题 题型15 型多项式乘法 题型16 多项式乘多项式与图形面积 题型17 多项式乘法中的规律问题 题型18 比较大小 题型19 新定义问题 题型20 整式乘法混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 单项式乘单项式法则 1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·全国·期中）__________． 3．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：________． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 5．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 题型02 单项式乘单项式含参问题 6．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·一模）计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么________． 10．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）若，则________． 题型03 单项式乘单项式错解问题 11．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结果得32x5﹣16x4，则B+A的值为（　　） A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．x2﹣3x+1 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）小明计算一道整式乘法题：，由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 题型04 单项式乘单项式的应用 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以次的峰值计算能力和次的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单第一名．该超级计算机按持续计算能力运算可做多少次运算？ 15．（25-26六年级下·全国·课后作业）模型观念：若“三角”表示，“方框”表示，求的值． 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，一个窗户的上部是个半圆，下部是由边长相同的4个小正方形组成的正方形．请计算这个窗户的面积和窗户外框的总长． 17．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）在一边长为的正方形广场上，辟出一部分作为花坛，下面给出两种设计方案，请你分别写出花坛（图中阴影部分）面积的表达式，并计算当时面积的值． 18．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：m）． (1)现要把屋内地面（含阳台）都铺上地砖，需要多少平方的地砖？ (2)如果阳台地砖的价格是x元，房间地砖的价格是元，那么购买地砖需要多少元？ 题型05 单项式乘多项式法则 19．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 21．（2026九年级·四川·专题练习）计算：________． 22．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型06 单项式乘多项式化简求值 23．（26-27七年级上·全国·期中）先化简再求值：，其中，． 24．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 25．（26-27八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 题型07 单项式乘多项式中错解问题 26．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 请指出以上求解过程有几处错误，并写出正确的求解过程． 28．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 29．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 30．某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是． (1)求这个多项式 (2)正确的计算结果应该是多少？ 题型08 单项式乘多项式不含某一项问题 31．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x的一次项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 33．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 34．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若计算的结果中不含项，则a的值为________． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 题型09 单项式乘多项式的应用 36．（25-26七年级下·河北张家口·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 37．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 38．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 39．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，长方形的长为，宽为a． (1)用含a的代数式表示这个长方形的周长和面积（结果化为最简）； (2)当时，求这个长方形的周长和面积的值． 40．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． (1)用含，的代数式表示________； (2)若，请直接写出的值． 题型10 利用单项式乘多项式求参数的值 41．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）若、为正整数，且，则等于（     ） A．6 B．8 C．9 D．16 42．（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 44．（2025·河北廊坊·二模），则________． 45．（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 题型11 多项式乘多项式法则 46．（2026八年级上·全国·专题练习）下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 47．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算：________． 48．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 49．（26-27八年级上·云南·期中）计算： (1) (2) 50．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型12 多项式乘多项式化简求值 51．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 52．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 53．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）化简求值：，其中，． 54．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）先化简，再求值：，其中、满足． 55．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型13 多项式乘多项式不含某一项问题 56．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 57．（25-26八年级上·广东汕头·期末）已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 58．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知将展开的结果不含和项，求的算术平方根． 59．（24-25八年级上·吉林松原·期中）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值． 60．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 题型14 多项式乘多项式错解问题 61．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果． (1)求出，的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 62．（26-27八年级上·全国·课后作业）琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案中二次项系数为9．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？并完成正确的解答． 63．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 64．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 题型15 型多项式乘法 65．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 66．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）如果对于任意都成立，那么、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 67．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）计算下列各题： (1) (2) 68．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 69．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型16 多项式乘多项式与图形面积 70．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 71．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在学习了“整式的乘法“相关内容后，创新学习小组的同学进行了下面的数学研究活动．如图所示的是高度相同的两个长方体铆件甲和乙，已知甲长方体底面的长比宽多4，乙长方体底面的长比宽多2，且两个底面的周长相等（甲、乙长方体的底面宽分别为a，n，高为h）． (1)甲长方体底面的长为__________，乙长方体底面的长为__________．（分别用含a，n的代数式表示） (2)用含n的代数式表示a． (3)哪个长方体的体积大？请判断并说明理由． 72．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）一个长方形草坪，长为米，宽为米． (1)求该长方形草坪的面积； (2)当时，求草坪的面积． 73．（25-26七年级下·山西太原·期中）为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 74．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四个角处各修建一个直角边长分别为2b米、米的直角三角形区域（阴影部分）作为绿化带，其余部分规划为健身区域． (1)绿化带区域的面积是多少平方米？ (2)健身区域的面积是多少平方米？ 75．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）我国是中草药的发源地．为了让学生充分体验中草药种植的乐趣，某校规划了一块形状为长方形的种植田种植金银花，一块形状为正方形的种植田种植黄芪，其中长方形种植田的长为米，宽为米；正方形种植田的边长为米． (1)求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？（用含、的代数式表示，结果化至最简） (2)当，时，求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？ 题型17 多项式乘法中的规律性问题 76．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 77．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 78．（26-27七年级上·上海·阶段检测）探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． 79．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）项目式学习： 某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)观察算式①②的运算规律，根据规律完成计算： ①_________________________； ②若两个相同的两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，请用等式表示这两个相同两位数的积的规律：_______________． (2)兴趣小组通过计算与思考，探索得出上述的规律也适用于两个个位数字是的三位数、四位数的积．请根据规律完成计算： ①__________________________， ②__________________________， (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数：和的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，另一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积：的结果，并证明你写出的等式成立． 80．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）实践与探索 (1)根据以上规律，填空：_______． 当时，_______． (2)求的值． 题型18 比较大小 81．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段检测）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．M与N的大小由y的取值而定 82．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，，均为正数，，，那么（     ） A． B． C． D．无法确定大小 83．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 84．阅读材料解决问题：“作差法”是常见的比较数（式）大小的一种方法，即要比较代数式，的大小，只要计算出它们的差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较，的大小 ∵ ∴ 根据材料解决以下问题： (1)已知为自然数，，，比较，大小； (2)已知，，比较，大小． 题型19 新定义问题 85．对于任意有理数，规定，则当时，_______． 86．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）若规定符号的意义是：，当时，求的值． 87．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 88．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 题型20 整式乘法混合运算 89．（25-26七年级下·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 90．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 91．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) B组 能力进阶 1．若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 2．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 4．（25-26九年级下·山东·自主招生）已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 6．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形． (1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______； (2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积； (3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值． 7．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，． (1)当满足什么条件时，； (2)若满足条件的整数有且仅有4个，求正整数的值． 8．阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式中的一次项去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果：． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则_______． C组 思维拔高 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 2．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法： ①第1次作差变换后整式串所有整式的和为； ②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为； ③第3次作差变换后，一定含有整式； ④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·浙江台州·期末）设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 4．（24-25七年级下·广东茂名·期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 则，， ， ． 请利用上面的方法解答下列问题： (1)若，．试比较，的大小； (2)若，．试比较，的大小． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 6．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 拓展 链接中考 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·中考真题）计算的结果为________． 4．（2025·四川南充·中考真题）计算：________． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 6．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 7．（2025·广西·中考真题）（）计算：     （）化简： 8．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 整式的乘法 （单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式） 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 单项式乘单项式法则 题型02 单项式乘单项式含参问题 题型03 单项式乘单项式错解问题 题型04 单项式乘单项式的应用 题型05 单项式乘多项式法则 题型06 单项式乘多项式化简求值 题型07 单项式乘多项式中错解问题 题型08 单项式乘多项式不含某一项问题 题型09 单项式乘多项式的应用 题型10 利用单项式乘多项式求参数的值 题型11 多项式乘多项式法则 题型12 多项式乘多项式化简求值 题型13 多项式乘多项式不含某一项问题 题型14 多项式乘多项式错解问题 题型15 型多项式乘法 题型16 多项式乘多项式与图形面积 题型17 多项式乘法中的规律问题 题型18 比较大小 题型19 新定义问题 题型20 整式乘法混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 单项式乘单项式法则 1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 2．（26-27八年级上·全国·期中）__________． 【答案】 【分析】先将各部分化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算结果． 【详解】解：原式 ． 3．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算：________． 【答案】 【分析】先计算每个因式的积的乘方，再分别计算系数乘积和同底数幂的乘积，得到最终结果． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 5．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键． （1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； ； （3）原式； （4）原式； （5）原式（n为正整数）． ． 题型02 单项式乘单项式含参问题 6．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 7．（2026·河北石家庄·一模）计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 8．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 9．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么________． 【答案】 【分析】先根据单项式的乘法法则化简等式左边，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等，列出二元一次方程组，求解得到和的值后计算乘积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 10．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03 单项式乘单项式错解问题 11．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结果得32x5﹣16x4，则B+A的值为（　　） A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．x2﹣3x+1 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：由题意可得：﹣4x2•B＝32x5﹣16x4， B＝﹣8x3+4x2， A+B＝﹣8x3+4x2+（﹣4x2）＝﹣8x3， 故选：C． 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）小明计算一道整式乘法题：，由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m=2，n=3 (2)-14x16y11 【分析】（1）由题意得，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解方程即可； （2）将m，n的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 即， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴原式． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 题型04 单项式乘单项式的应用 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以次的峰值计算能力和次的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单第一名．该超级计算机按持续计算能力运算可做多少次运算？ 【答案】次 【分析】根据总运算次数等于每秒运算次数乘以运算时间列式，利用同底数幂的乘法法则计算，最后整理为科学记数法的标准形式即可得到结果． 【详解】解由题意得，持续计算能力为次，运算时间为， 总运算次数为： （次）， 答：该超级计算机按持续计算能力运算可做次运算． 15．（25-26六年级下·全国·课后作业）模型观念：若“三角”表示，“方框”表示，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，根据题意列出算式，是解题的关键．先根据题意得出，再根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： ． 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，一个窗户的上部是个半圆，下部是由边长相同的4个小正方形组成的正方形．请计算这个窗户的面积和窗户外框的总长． 【答案】面积为；外框的总长为 【分析】这扇窗户的面积等于半径为a的半圆的面积加上边长为的正方形的面积；窗户外框的总长等于矩形的三边长的和加上半圆的弧长． 【详解】解：这扇窗户的面积； 外框的总长． 17．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）在一边长为的正方形广场上，辟出一部分作为花坛，下面给出两种设计方案，请你分别写出花坛（图中阴影部分）面积的表达式，并计算当时面积的值． 【答案】； ； 【分析】图阴影部分的面积是正方形面积去掉半径为的圆和4个小扇形的面积，4个小扇形拼成一个半径为的圆；图阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个小直角三角形的面积． 【详解】解： 当时，． 当时，． 18．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：m）． (1)现要把屋内地面（含阳台）都铺上地砖，需要多少平方的地砖？ (2)如果阳台地砖的价格是x元，房间地砖的价格是元，那么购买地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）把房间面积和阳台面积相加即可； （2）把房间面积和阳台面积分别乘以单价相加即可． 【详解】（1）解：需要地砖：； （2）解：购买地砖需要∶（元）． 题型05 单项式乘多项式法则 19．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而算出式子的结果． 【详解】解：． 20．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先对代数式展开，得到与已知方程左边相关的形式．因为已知，所以可变形得到的值．将的值代入展开后的代数式，即可求出结果． 【详解】我们先对已知条件变形： 由 ， 移项可得 ． 再化简所求代数式： ， 把 整体代入， 得到原式 ． 21．（2026九年级·四川·专题练习）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 22．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型06 单项式乘多项式化简求值 23．（26-27七年级上·全国·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】利用单项式乘多项式的法则将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后将 、 代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵，， ∴ ， ， ， ． 24．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 25．（26-27八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据单项式乘以多项式运算法则将括号展开，合并同类项得最简结果，代入a的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 题型07 单项式乘多项式中错解问题 26．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用整式的加减运算求出这个多项式，然后运用多项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：这个多项式是， 则． 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 请指出以上求解过程有几处错误，并写出正确的求解过程． 【答案】有两处错误：①在单项式与多项式的二次项相乘时，符号出现错误，②单项式乘多项式时，漏乘了多项式中的常数项“”． 正确求解过程：原式 【分析】单项式乘多项式，用单项式去乘多项式里的每一项，再把所得的积相加． 【详解】略 28．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，单项式乘上多项式，根据算成了加上，得到的结果是，算出该多项式是，再根据正确的乘法运算进行计算化简，即可作答． 【详解】解：算成了加上，得到的结果是， ∴这个多项式：， ∴乘积为：． 29．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答； （2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ∴， 解得； （2）解：设原来的多项式为M， 依题意得，， ∴正确的计算结果为． 30．某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是． (1)求这个多项式 (2)正确的计算结果应该是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键． （1）用错误结果减去，可得出原式； （2）用计算出的原式乘得出正确结果． 【详解】（1）解：这个多项式是： ， （2）正确的计算结果为： ． 题型08 单项式乘多项式不含某一项问题 31．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x的一次项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有x的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有x的一次项， ∴． 32．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 33．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 【答案】 【详解】解： ， ∵其结果中不含项， ∴， 解得， ． 34．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若计算的结果中不含项，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解： ， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故答案为． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 题型09 单项式乘多项式的应用 36．（25-26七年级下·河北张家口·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 37．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 38．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）公园有一块长方形空地如图所示（长度单位：），阴影部分设计为草坪． (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用大长方形面积减去小长方形面积求解即可； （2）将代入（1）中的代数式，即可求值． 【详解】（1）解：草坪面积为： ； （2）解：当时，草坪面积． 39．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，长方形的长为，宽为a． (1)用含a的代数式表示这个长方形的周长和面积（结果化为最简）； (2)当时，求这个长方形的周长和面积的值． 【答案】(1)周长：；面积： (2)周长：30；面积：44 【详解】（1）解：周长； 面积． （2）解：当时，周长； 面积． 40．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． (1)用含，的代数式表示________； (2)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图中的线段的关系即可得到答案． （2）根据割补法计算的面积，进行单项式乘多项式以及多项式的加减运算，得到化简后的代数式，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，； 故答案为：； （2）解： ， ∴当时，， ∴的值为． 题型10 利用单项式乘多项式求参数的值 41．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）若、为正整数，且，则等于（     ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】先根据整式乘法法则可得，，再求出字母a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴，， 解得，. ∴． 42．（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 44．（2025·河北廊坊·二模），则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 45．（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则__________，__________． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 题型11 多项式乘多项式法则 46．（2026八年级上·全国·专题练习）下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行运算，即可判断． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 47．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 48．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 49．（26-27八年级上·云南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型12 多项式乘多项式化简求值 51．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， ∴当，时，原式． 52．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 53．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）化简求值：，其中，． 【答案】； 【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简代数式，再代入和的值求出代数式的值即可． 【详解】解： 当，时， ． 54．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】化简得，值为 【分析】根据得，求出、值，化简代入、值即可． 【详解】解：化简 ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ． 55．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 题型13 多项式乘多项式不含某一项问题 56．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】解： ． 要使的展开式中不含项，则， 解得． 57．（25-26八年级上·广东汕头·期末）已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 【答案】 【分析】先展开多项式合并同类项，根据展开式不含和项，得两项系数为，求解后，根据关于轴对称的点的坐标规律计算结果． 【详解】解： ∵ 展开式中不含和项， ∴ 项系数为，即 ，解得 ， 项系数为，即 ，将代入得 ，解得 ， ∴ 原坐标为， ∵ 点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， ∴ 所求点的坐标为． 58．（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知将展开的结果不含和项，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，再根据结果不含和项可知，含和项的系数为0，即可求出的值，进而即可得解． 【详解】解： ∵展开的结果不含和项， ， ， ∴， ∴的算术平方根． 59．（24-25八年级上·吉林松原·期中）（1）试说明代数式的值与s、t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】 （1）证明： ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2）1 【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值 . 【详解】解：（1）略 （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 60．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2） 略 题型14 多项式乘多项式错解问题 61．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果． (1)求出，的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据甲、乙的错误分别写出对应的整式乘法算式，利用多项式相等时对应项系数相等列方程，联立求解，的值； （2）将，的值代入原式计算，得到正确的整式乘法结果． 【详解】（1）解：∵甲抄错的符号， ∴甲计算的整式为， ， ∵甲的结果为， ∴①， ∵乙漏抄第二个多项式的系数，即第二个多项式变为， ∴乙计算的整式为， ， ∵乙的结果为， ∴②， ②①得：， 解得， 将代入②得， 解得， ∴； （2）解：将，代入原式， ． 62．（26-27八年级上·全国·课后作业）琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案中二次项系数为9．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？并完成正确的解答． 【答案】(1) (2)被污染的第一个因式的一次项系数为， 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则求解即可； （2）设被污染的一次项系数为，根据多项式乘多项式法则可得，进而即可求解 【详解】（1）解：原式． （2）解：设被污染的一次项系数为，则． 这个题目的正确答案中二次项系数为9， ， ， 被污染的第一个因式的一次项系数为， ． 63．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 64．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 【答案】(1)，； (2)化简；值为12； 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程组，再求a、b的值； （2）把a、b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 所以 解得 （2）解：把，代入得 当时， 原式 题型15 型多项式乘法 65．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，． 66．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）如果对于任意都成立，那么、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将等式左侧展开，根据等式对任意成立则对应项系数相等列方程求解． 【详解】解：． ∵ 等式对任意都成立， ∴ 对应项系数相等． 由常数项相等得， 解得． 由一次项系数相等得， 代入得． 67．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 68．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： (1)若，则______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，对比对应项系数得到的值； （2）先展开等式左侧得到与的值，再展开所求式子，整体代入计算得到结果． 【详解】（1）解：展开等式左侧得：， ∵，对应项系数相等， ∴； （2）展开等式左侧，得， ∵，对应项系数相等， ∴， ∴ ． 69．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型16 多项式乘多项式与图形面积 70．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 71．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在学习了“整式的乘法“相关内容后，创新学习小组的同学进行了下面的数学研究活动．如图所示的是高度相同的两个长方体铆件甲和乙，已知甲长方体底面的长比宽多4，乙长方体底面的长比宽多2，且两个底面的周长相等（甲、乙长方体的底面宽分别为a，n，高为h）． (1)甲长方体底面的长为__________，乙长方体底面的长为__________．（分别用含a，n的代数式表示） (2)用含n的代数式表示a． (3)哪个长方体的体积大？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)解：乙长方体的体积大，理由如下： 甲长方体的体积为，乙长方体的体积为， ， ∴甲长方体的体积小于乙长方体的体积，即乙长方体的体积大． 【分析】（1）根据甲长方体底面的长比宽多4，乙长方体底面的长比宽多2可得答案； （2）根据两个长方体的底面的周长相等建立等式求解即可； （3）分别求出两个长方体的体积，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，甲长方体底面的长为，乙长方体底面的长为； （2）解：∵两个长方体的底面的周长相等， ∴， ∴； （3）略 72．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）一个长方形草坪，长为米，宽为米． (1)求该长方形草坪的面积； (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)24平方米 【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）所求的式子中，计算对应的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴该长方形草坪的面积为平方米； （2）解：当时，， ∴草坪的面积为24平方米． 73．（25-26七年级下·山西太原·期中）为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 74．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四个角处各修建一个直角边长分别为2b米、米的直角三角形区域（阴影部分）作为绿化带，其余部分规划为健身区域． (1)绿化带区域的面积是多少平方米？ (2)健身区域的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了多项式乘法运算的应用和加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）计算四个三角形面积即可求解； （2）根据图形的面积之差列式即可求解． 【详解】（1）解：． ∴绿化带的面积为平方米． （2）解： 答：健身区域的面积是（）平方米． 75．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）我国是中草药的发源地．为了让学生充分体验中草药种植的乐趣，某校规划了一块形状为长方形的种植田种植金银花，一块形状为正方形的种植田种植黄芪，其中长方形种植田的长为米，宽为米；正方形种植田的边长为米． (1)求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？（用含、的代数式表示，结果化至最简） (2)当，时，求种植金银花的面积比种植黄芪的面积大多少平方米？ 【答案】(1)种植金银花的面积比种植黄芪的面积大平方米； (2)种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大平方米． （2）当，时，（平方米）， 答：种植金银花的面积比种植黄芪的面积大34平方米． 题型17 多项式乘法中的规律性问题 76．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要先观察题干给出的等式，归纳出通用规律：．令，套用规律求出的值，再减去多余的，即可算出所求式子． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， 令，得 ， ∴， 77．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角规律，展开式中第二项的系数为，将，，代入计算即可． 【详解】解：观察杨辉三角中的展开式系数规律： ∵展开式第二项系数为 1 展开式第二项系数为2 展开式第二项系数为3 展开式第二项系数为4 ∴展开式中含项的系数为 ∵在中，，，，含的项即为展开式的第二项 ∴该项系数为 ． 78．（26-27七年级上·上海·阶段检测）探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． 【答案】(1)； (2) (3)A、C (4)； 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据（1）中规律，总结公式即可； （3）观察是否符合所总结的公式特征作出选择即可； （4）根据所总结的公式计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：归纳总结：新的乘法公式是； （3）解：由总结的公式特征，则符合公式特征的是：A、 C； （4）解：； ． 79．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）项目式学习： 某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)观察算式①②的运算规律，根据规律完成计算： ①_________________________； ②若两个相同的两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，请用等式表示这两个相同两位数的积的规律：_______________． (2)兴趣小组通过计算与思考，探索得出上述的规律也适用于两个个位数字是的三位数、四位数的积．请根据规律完成计算： ①__________________________， ②__________________________， (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数：和的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，另一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积：的结果，并证明你写出的等式成立． 【答案】(1)①，，； ② (2)①，，； ②，， (3)， 证明：左边， 右边， 左边右边， ． 【分析】（1）①根据规律计算即可；②根据所给算式总结规律即可； （2）①根据规律计算即可；②根据规律计算即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）①； ②； （2）①； ②； （3）略 80．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）实践与探索 (1)根据以上规律，填空：_______． 当时，_______． (2)求的值． 【答案】(1)，728 (2) 【分析】（1）根据前几个变化规律，得到； 将时的等式恒等变形即可得出答案； （2）利用（1）得出的规律，对原式变形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 当时，； （2）解：由（1）得 ， ， ， ． 题型18 比较大小 81．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段检测）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．M与N的大小由y的取值而定 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的混合运算．利用求差法、多项式乘多项式的运算法则进行计算，根据计算结果判断即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：C． 82．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，，均为正数，，，那么（     ） A． B． C． D．无法确定大小 【答案】A 【分析】采用作差法比较与的大小，化简差后结合正数条件判断符号. 【详解】解： ， ，均为正数， ，即， . 83．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，．请你直接写出与的大小比较后的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法，整式的加减，掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将、展开并作差，根据差的符号判断大小； （2）令，再将，转化为整式运算，然后作差判断符号，得出结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ． 答：． （2）解：设， 则，， ，， ， ， ． 答：． 84．阅读材料解决问题：“作差法”是常见的比较数（式）大小的一种方法，即要比较代数式，的大小，只要计算出它们的差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较，的大小 ∵ ∴ 根据材料解决以下问题： (1)已知为自然数，，，比较，大小； (2)已知，，比较，大小． 【答案】(1)P＜Q (2)A＜B 【分析】（1）根据“作差法”计算P−Q的值，利用多项式乘多项式进行计算即可； （2）根据“作差法”计算A−B，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）∵P−Q＝（n＋1）（n＋4）−（n＋2）（n＋3） ＝n2＋5n＋4−n2−5n−6 ＝−2＜0， ∴P＜Q； （2）∵A−B＝202401×202407−202403×202405 ＝（202404−3）（202404＋3）−（202404−1）（202404＋1） ＝2024042−9−2024042＋1 ＝−8， ∴A＜B． 【点睛】本题考查平方差公式，多项式乘多项式以及不等式的性质，理解“作差法”的意义是解决问题的前提，掌握平方差公式、多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 题型19 新定义问题 85．对于任意有理数，规定，则当时，_______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则化简原式，再由已知一元二次方程得到的值，利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 代入上式得， 故的值为． 86．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）若规定符号的意义是：，当时，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答． 【详解】解：根据题意，可得 ， ， ． 87．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 88．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 题型20 整式乘法混合运算 89．（25-26七年级下·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 90．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 91．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． B组 能力进阶 1．若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 【答案】2 【分析】先化简代数式，根据的系数求出的值，再计算所求绝对值式子的值，得到最终的值． 【详解】解：设，则原代数式化为， 将代回，展开得， ∵展开式中的系数为， ∴，解得， 将代入，得， ∴所求的值为． 2．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 【答案】 【分析】先设长方形纸片长为，宽为，再结合正方形纸片周长分别求出和，进而得到，再根据长方形纸片周长与和的关系得出． 【详解】解：∵正方形纸片周长为， ∴正方形纸片边长为， 设长方形纸片长为，宽为， ∴，， 即，， ∵， ∴，即， ∵长方形纸片周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级下·山东·自主招生）已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 【答案】5或 【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解： ， ∵多项式， ∴，，，，，， ∵，，，，，均为整数， ∴或， 当时，则，结合可得，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 当时，则，结合可得，，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 综上所述，或． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 6．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，有足够多的、、三类卡片，发现利用图1中的三类卡片可以拼出一些图形． (1)将3张类卡片，10张类卡片，1张类卡片可以拼成如图2所示的长方形（无重叠无缝隙），则_______； (2)若1张类卡片的面积为，请求出图2所示的长方形的面积； (3)如图3，将张类卡片粘在一起形成类卡片．现将7张类卡片按如图4方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据长方形的对边相等，列出等量关系，进行求解即可； （2）根据（1）中的关系结合类卡片的面积，以及长方形的面积公式进行求解即可； （3）根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：由题意，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴图2的面积为； （3）解：∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴7张类卡片的面积之和为大长方形面积的， 由图可知，大长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 7．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，． (1)当满足什么条件时，； (2)若满足条件的整数有且仅有4个，求正整数的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）先分别计算出面积，然后求出，根据得出，然后解不等式即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个， ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 8．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式中的一次项去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果：． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则_______． 【答案】任务一：B；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了多项式的乘法，解题关键是：掌握多项式乘多项式的运算规则． 任务一：找到两种乘法之间的共同点，是类比思想； 任务二：根据多项式乘以多项式的竖式乘法，即可求解； 任务三：根据多项式乘以多项式的竖式乘法先计算，再根据结果中不含的一次项，即可求解． 【详解】解：任务一：根据由多项式乘以单项式的项式乘法到多项式乘以多项式的竖式乘法，是类比思想， 故选：B； 任务二： 列竖式如下： 故； 任务三： 列竖式如下： ， ， ∵多项式与相乘的结果中不含的一次项， ∴， 故． C组 思维拔高 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 2．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法： ①第1次作差变换后整式串所有整式的和为； ②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为； ③第3次作差变换后，一定含有整式； ④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式，数字类规律探究，结合给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①第1次作差变换后整式串所有整式的和为： ，故①错误； ②第2次作差变换后整式串为：，，，，， ∴第2次作差变换新增的整式的积为： ， ∵第2次作差变换新得到的整式的积不含， ∴， 解得：，故②正确； ③第3次作差变换后整式串为：，，，，，,，，， ∴第3次作差变换后，一定含有整式； ④第1次作差变换后的整式总个数为个， 第2次作差变换后的整式总个数为个， 第3次作差变换后的整式总个数为个， 第4次作差变换后的整式总个数为个， …… 第次作差变换后的整式总个数为，故④正确； 综上，正确的个数为3个． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期末）设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得 当时， ∵，则 ∴； ②； ③ 【分析】（1）分别计算，，，的值，代入条件，即可求解； （2）①，将代入第一问得到的关系式，因为，所以可以对等式进行变形推导，得到和的关系。 ②，先利用和联立方程求解的值，再利用得到的关系式，结合第一问的参数关系式，联立求解，最后计算； 对于③，先由得到的一个等式，结合第一问的关系式，推导与的关系，再代入，得出，，进而求得关于的代数式，根据随的增大而减小，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴ ∴ 即， ∴； （2）①略； ②由，得：，则 由，得，则 联立，解得： 由，得 ∴ 代入得， 解得： ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴， 代入得， ∴ ∵，即，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 代入得 ∴ 即 ∴ ∵， ∴， 又∵为整数，则 ∵ ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 4．（24-25七年级下·广东茂名·期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 则，， ， ． 请利用上面的方法解答下列问题： (1)若，．试比较，的大小； (2)若，．试比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，掌握相应的运算法则是关键． （1）设，可得，，再计算即可判断； （2）设，可得，，再计算即可判断． 【详解】（1）解：设， 则，， ， ． （2）根据题意设，，，，，，， 则 ， ， ． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到 ，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 6．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且 不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 拓展 链接中考 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，运算错误； B选项，，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 2．（2026·浙江·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 3．（2026·天津·中考真题）计算的结果为________． 【答案】 【详解】解： ． 4．（2025·四川南充·中考真题）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得， ； 故答案为 ． 6．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 7．（2025·广西·中考真题）（）计算：     （）化简： 【答案】（）；（） 【分析】（）先算乘法，再进行加法运算即可； （）先算乘法，再合并同类项即可； 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 8．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $