学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·拔高卷（湘教版，范围：选择性必修第一册第1章～第3章）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 B B D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 AD ACD AD 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1+sina 12.1-sina 13.4062 14.10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)因为=1,41+a,=2” 所以%=2-4=2-1=1.4=2-4=4-1=34，=2-4，=5 a5=24-a4=11a。=2-a= 1.3分) 「2" 又4号0，片以口写引足首项为5，公比为1的等业数列， 1/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以a号-广，同a2-(门 ①当m为正奇数时，4[r-(l门]-2+，显然a}为递增数列，则a,≥4=1： ②当u为正偶数时，a,2r-(]--刂，显然a}为递鹕数列，则a≥4，=1 n∈Ntan≥1 综上所述， 时 .(7分) 3由2得a0=,[2-（-少][2-（1]-g[2-（2°- ①当n为正奇数时， S=a+(a+4)+(a+g)+…+(a+a,)=1+2+2++2_2-」 3； 由8-a41<0,得g2+2-小-2-小0， 即g2-(2+-2-小>0， 因为2m-1>0,所以1<2+对任意的正奇数u都成立， 当m=1时，2+)有最小值1， 所以t<1. ②当n为正偶数时， =a+a)+(a+a,++(a+a,)=2+2++2_22- 由8，-04<0.得2a-2”--号（2-2列>0， 即g(2+2--（2-小>0， 因为2”-1小0，所以1<若2"+对任意的正偶数都成立。 当n=2时，君《2+有最小值2，所以<2， 2/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上，可知<1，即实数t的取值范围是 -o,1) (13分) 16.(15分) 【解析】(1)因为点A0,√)，直线AB的倾斜角为3， 所以，直线B的方程为'=v3x+ 因为直线BC的方程为'=-3(+)】 y= 3r+5) x=-2 所以，联立 y=V3x+3 ,解得y=5,即g的坐标为-2-)4分) B (2)()证明：因为 2 且C在第四象限， sin∠ADC_|ACIV6 所以，在△ADC中由正弦定理得sin∠DAC CD|2, 5 5π hDC-2sim∠ADc=sin2年-5 因为直线BC斜率为3，倾斜角6，所以 3. 132, 所以sm∠DMc=2sin∠4Dc2x 2=2 √6 6 2 又因为∠DAC为脱角，所以∠D1C-年.(8分) CAI CFI (i)因为1CE-CAHCF-CB所以CBCE, 又因为∠ECF=∠BCA是公共角，所以△FEC和△ABC为相似三角形， 因为直线AB的斜率为k=V5,直线BC的斜率为 BC=- 3,kan'knc=-1, 所以AB⊥BC,∠ABC=90°，即△ABC是直角三角形， 所以∠CEF=∠B=90°，所以△CEF是直角三角形， 3/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以EF⊥AC,即直线I⊥AC, 因为∠DAC=T 3π 4,所以直线AC的倾斜角为4， 所以，直线AC的斜率为-1，所以，直线EF的斜率为1， 又直线EF过原点，所以直线EF方程为y=x,即I的方程为y=x, y=x, 5-5v55-5w5 山直战，惠直线0联女方程-c+有到59】 因为10，V3),4C斜率为'，所以直线4C的方程为： y=-x+V3 y=x, 55 由直线1和直线AC联立方程组y=-x+V3,得到气(2’2， 所以1EFk66-52 2 因为直线4C方程为y=-+5,直线C方程为：y=- 3r+. y=-x+3 联立方程y三3x+),解得C4+4W3,4-3 E) 又因为气22，所以，CE=4W2+76 2 128+73)2(63-5）8+73)63-5 22 2 -86+13V5 4.(15分) 4/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D C 17.(15分) na,an 1G+a-,4+2- 【解析】()4=2，且Vn+1,令n=1,得4V1+1=V2 5,令m=2,得 2a+4 /6+V5 a=V2+1V3, 用数学归纳法证明4，>Ln∈N 当”=1时，4=2>1 ,命题成立： 段陵。-时a则4，骨>计-会1， ka+ag 结合auk+1>0,得a1>l,则当n=k+1时，命题也成立， 所以9>1 ,对所有neN 成立.(4分) 29>a ,理由如下 din-di-najta.-d=naita,-(ntl)ai_d-oi_a(1-d.) n+1 n+1 n+1 n+1 由0>1，故-a<0,结合”>0n+1>0,得乐-<0，即<a,因此 a,}是严格递减数 5/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 列，故4>4(8分 na+a, （3)由a=√n+1,得(n+l)a=na+a,令b=na,则ba=h,+a,6=4. 先证明：neN'a,≤2 当”=时，4=2 ，成立， 假设当”=时4≤2，则久=@≤4秋，于是-久+a≤秋+2所以当”=+1时 于是 G-s4k+2=4-2。 k+1k+1 *1马， 故 ,即当”=k+1tA1≤2 <2 时 也成立， 由数学归纳法得，neN,a,≤2 等号仅在”=1时成立)· 接着证明：n∈N6,≤2n+2 当ns1n 时， 6=42×1+2=4,不等式成立， 假设当”=k时么≤2水+2，因为8≤2，所以当n=k+1时，6=6+a≤2水+2+2=2k++2 即当n=k+1时，不等式也成立， 由数学归纳法得，neNb.≤2n+2 (等号仅在n=1,n=2。 时成立)， a≤2n+ 所以 2(等号仅在”=山”=2时成立) 再证明：n≥2时，neN,(n-l)d<2n 内ds2m+2,得当m≥2时a--”行)s0+2)-2-）-2n-2n n n 即n≥2，neN.(n-l)a<2n 6/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 un.eN.吾ae品》 2n 2 1 299 所以8m<50.(15分) 18.(17分) 【解析】(1)由题意知：c=1, 因为离心率e=C=1 -a2,则a=2,可得b2=a2-c2=3 x2,y2 所以椭圆c的标准方程为4+3 =1.(4分) +-F(-1,0 (2)()由题意可知：直线过点 ,斜率不为0，且直线与椭圆必相交， y 设直线'的方程为=mw-1.P(x,h)Q(3,） x=my-1 4+与1消去得 联立方程x2,y2 (3m2+4）y2-6my-9=0 6m -9 则1+h=3m+4,%=3m+4: 1 6m 可得5w=×1xy--为23n4 9 6Nm2+162 3m2+4 3m2+47, 整理得：18m-m-17=0,即（18m+17m2-)=0 因为18m2+17>0,则m2-1=0,解得m=±1， 7/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以直线I的方程为x=y-l或x=-y-1,即x-y+1=0或x+y+1=0:(9分) 3m2+42=-,8 (i)由（①可知：x+5=m(0y+）-2=,6m 3m2+4' 6Nm2+1 因为O为PR中点，故 SAORQ=S△ore= 3m2+4, 又因为点P关于原点对称的点为 (-x,-y) 则R0=V+x+(+⅓}= 8 12 (6m )2 2√9m2+16 + 3m2+4 (3m2+4 3m2+4, 12Wm2+1 则d=2S.0.=3m2+46Vm2+D Rg2W9m2+16V9m2+16' 3m2+4 1 d=6 =6 令 ,则，可得V9t+7 19+- =m2+1≥1m2=t-1 因为121则0<57,99+7≤16， ↓s1<s 可得169+79，即4 73,则3≤d<2' /9 t 2 岳以原点O到动直线R9的距离d的取值范围为22 (17分) 19.(17分) 2 S-2√2 【解析】(1)因为椭圆E的离心幸e= 2,当s>2时，VS 2,解得s=4; V2-s-2 当0<s<2时，√22，解得s=1.则s=4或s=1.(3分) （2)易得42,0小，D0,D,所以直线4的方程分别为=(x+2),y=x+1, 8/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=k(x+2) 联立 2+少=入，消去并整理得 1+2K)x2+4V2x+4k-21=01 因为直线1与椭网C相切，所以4=0，故22-2)+2=0， 医01.即g后. [y=k2x+1 联立 2+尸=”消去并整理得， y (1+2k)x2+4k2x+2-22=0 因为直线与椭圆G相切，所以4，=0，(1+2)2-1=0 VA 因6.65a受到-. 所以+传≥2码=5，当且仅当=k时，等号成立，此时 2. 故当元=2时，+k取得最小值，最小值为2·(（10分) （3)设P,%>0%>0).R(5,)s(,) 又题设P听的斜率必存在且-L0,5L.0),故设P听：y=x+)=+, [y=kx+k 由2+2y2=2可得+2(ac+k}=2,整理得+2k2)x2+42x+2k2-2=0, 9/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2% -2 故5 2k2-2 （x+1 2-2(x号+2x+1) 1+2k2 1+2% 2y6+x6+2x0+1 （x+1 2-6-2(6+2+-3x-4x 2+2x。+1 3+2x0, .-3x0-4 故=3+2x,放” 刊 3+2x, R-3。-4-⅓ S -3x0+4-% 故气(3+2x。’3+2x0,同理气3-2x’3-2x 因为0T=40P,故7，） 0S+0R.0T+0s.0元=9x6-16+6+μx3+2,3 9-4x2 +4%3+2x3-2x》 =9x6-16+_64听+-2_（9-2)x-16+(1-60)6 9-4x69-4x'9-4x 9-4x6 (9-24(2-26)-16+(1-64）6_（-17-24)听+2-44 9-42-2y6) 1+8y -17-24_2-4μ 11 图且当8、1即0时，o.05+0.07+o5.07为定值2号-分 10/11 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 11/11 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 2．（新情景）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ） A．10 B． C． D．8 3．（新考法）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为．则以下命题错误的是（   ） A．若，为直线上的动点，则取最小值时，的坐标为 B．到两点的“直角距离”之和为的点的集合是面积为的六边形 C．到原点的“直角距离”等于1的点的集合是一个正方形 D．圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值是1 4．（改编题）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（新文化）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新定义）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（   ） A．第四次得到的数列共项 B． C．数列是等差数列 D．对，以、、为边长不能构成一个三角形 7．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A． B．16 C． D．15 8．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 10．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（     ） A．曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 11．已知数列的各项均为整数，满足，为任意整数，且，其中，则下列说法正确的有 A．对任意整数，数列的前3项之和必为偶数 B．存在整数，使得 C．存在整数，使得数列从第2项起所有项均为正数 D．当时，且 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 13．记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 14．对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，且（）； (3)设的前n项和为，若恒成立，求实数t的取值范围． 16．（15分） 在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 17．（15分） 已知数列满足，且，，记数列的前项和为. (1)求与的值并证明，； (2)试比较与的大小关系并说明理由； (3)证明：. 18．（17分） 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 19．（17分） 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 1.【答案】B 【解析】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则， 同理得， 所以， 所以. 故选：B 2．（新情景）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 2.【答案】B 【解析】设，，，则重心即， 设， 光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点， 展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线， 即，，由共线得，解得或. 因为异于端点，所以，即. 则周长. 故选：B 3．（新考法）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为．则以下命题错误的是（   ） A．若，为直线上的动点，则取最小值时，的坐标为 B．到两点的“直角距离”之和为的点的集合是面积为的六边形 C．到原点的“直角距离”等于1的点的集合是一个正方形 D．圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值是1 3.【答案】D 【解析】对于A，设，则. 当时，；当时，； 当时，.综上可得：，取等号时， 即此时，故A正确； 对于B，设到两点的“直角距离”之和为，则由题可得. 当时，， 此时若，则； 若，则；若，则. 当时，，类似于时，关于的讨论可得： 时，；时，；时，. 由以上分析可画出方程的图形如下： 该图形为6边形，且面积为，故B正确；    对于C，设到原点的“直角距离”为1，则. 当时，；当时，； 当时，；时，. 据此可得方程对应图形如下： 该图形为边长为的正方形，故C正确；    对于D，注意到 ，当两点连线斜率为0或连线斜率不存在时取等号. 则两点间的“直角距离”不小于两点间距离. 而圆上一点到直线上一点的最短距离为， 而取最值时，对应两点斜率存在且不为，则对应两点的“直角距离”大于1， 对于其他的相关点，两点间距离均大于1，从而圆上任意一点到直线的“直角距离”大于1，D错误. 故选：D 4．（改编题）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.【答案】A 【解析】 设分别为对应抛物线的焦点， 根据已知四点共圆，则， 根据图形的对称性可知，则, 设，，因为C在第一象限端点为P， 所以点P为抛物线和的交点， 将两边平方得到，将代入 得到， 解得，将代入解得，则， ，， 则，，因为点P在以，为焦点的双曲线上，，，则离心率为. 故选：A 5．（新文化）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.【答案】A 【解析】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 故选：A 6．（新定义）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（   ） A．第四次得到的数列共项 B． C．数列是等差数列 D．对，以、、为边长不能构成一个三角形 6.【答案】D 【解析】对于A选项，第次得到的数列的所有项的项数为，则， 设第次得到的数列的所有项的项为、、、、， 然后将相邻两项的和插入这两项所形成的空位中，共个空， 故，即， 因为，则，， ， 故第四次得到的数列共项，A错； 对于B选项，设第次得到的数列的所有项的项为、、、、， 则第次得到的数列的所有项的项为、、、、、、、，且，， 根据题意可得， ， 即，B错； 对于C选项，由题意可知， 由可得，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 因为，故不是常数， 故数列不是等差数列，C错； 对于D选项，由C选项可知，则数列为单调递增数列，且， 因为， 所以，故对，以、、为边长不能构成一个三角形，D对. 故选：D 7．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A． B．16 C． D．15 7.【答案】A 【解析】已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为．    故选：A 8．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.【答案】B 【解析】对于命题①和命题②，设，可知正数数列既为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，①和②均为假命题； 对于命题③，因为，对任意，，可知存在， 使得，，则， 即，且内和数列为严格增数列，可知， 所以其伴随数列为严格增数列，命题③正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 9.【答案】AD 【解析】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 故选：AD 10．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（     ） A．曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 10.【答案】ACD 【解析】对于A，由曲线与，知，， 当时，令，得曲线内部（不含边界）的整数点为，，，，，，，，，，，，有 12 个，A 正确； 对于B，曲线中，当时，，此时曲线上的点到原点的距离为2，椭圆的长短半轴长分别为3，2，该椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2，因此曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5，B错误； 对于C，当点在半圆弧上时，； 当点之一在半圆弧上时，不妨令点在半圆弧上，则，； 当点是半椭圆顶点时，； 当点在半椭圆上（不是顶点），设直线，则直线， 设横坐标分别为，由，得， 同理得.， 令， ，因此，C正确； 对于D，点，恰为椭圆的两个焦点，而点在半椭圆上， 则，当点不共线时， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，当点共线时，，D正确. 故选：ABC 11．已知数列的各项均为整数，满足，为任意整数，且，其中，则下列说法正确的有 A．对任意整数，数列的前3项之和必为偶数 B．存在整数，使得 C．存在整数，使得数列从第2项起所有项均为正数 D．当时，且 11.【答案】AD 【解析】∵数列各项为整数，，， ，则： 选项A：，为偶数，故， ， ∴， ①若，，，是偶数； ② 若，，，为偶数。 对任意整数，前3项之和必为偶数，A正确； 选项B：设， 时，， 由得： ， 若：，， ∴，， ：矛盾； ：，非整数，舍去， 若：，偶时，无解；奇时，， 代入：， ， ：矛盾； ：，非整数，舍去， 不存在整数使得，B错误； 选项C：∵命题要求：从第2项起所有项均为正数，即，则 ① 若：本身就是负数，直接不满足条件； ② 若： ，出现负数； ③ 若： 当：， 当：， 综上，无论取何整数，都无法满足从第2项起所有项均为正数，C错误. 选项D：当，，， ， ① 为奇数：， ，即， 为奇数，，代入化简得， 取，， ，； 奇数，. ② 为偶数：，， ， 偶数，， 取，， ，； 偶数，， ， ∴， 综上，时，且，D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 12.【答案】 【解析】由题知，， 设为双曲线的左焦点，左顶点，， 则 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 整理得或（负值舍去）， 所以， 所以． 13．记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 13.【答案】4062 【解析】由，则， 设，则，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以， 可得，，，，， 累加可得：， 则，， 显然满足上式，则. 依题意，， 设， 当时，，即，所以， 因此当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 当时，. 综上所述，数列的前2026项和. 14．对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 14.【答案】10 【解析】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分） 15．（13分） 已知数列满足，． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，且（）； (3)设的前n项和为，若恒成立，求实数t的取值范围． 15．（13分） 【解析】（1）因为，， 所以，，， ，． （2）因为，，所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. ①当n为正奇数时，，显然为递增数列，则； ②当n为正偶数时，，显然为递增数列，则. 综上所述，时． （3）由（2）得， ①当n为正奇数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正奇数n都成立， 当时，有最小值1， 所以． ②当n为正偶数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正偶数n都成立， 当时，有最小值，所以， 综上，可知，即实数t的取值范围是． 16．（15分） 在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 16．（15分） 【解析】（1）因为点，直线AB的倾斜角为， 所以，直线AB的方程为， 因为直线BC的方程为， 所以，联立，解得，即的坐标为． （2）（i）证明：因为且在第四象限， 所以，在中由正弦定理得， 因为直线斜率为，倾斜角，所以，， 所以， 又因为为锐角，所以． （ii）因为，所以， 又因为是公共角，所以和为相似三角形， 因为直线AB的斜率为，直线BC的斜率为，， 所以，，即是直角三角形， 所以，所以是直角三角形， 所以，即直线， 因为，所以直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，所以，直线的斜率为， 又直线过原点，所以直线方程为，即的方程为， 由直线和直线BC联立方程组得到， 因为，斜率为，所以直线的方程为：， 由直线和直线AC联立方程组得到， 所以， 因为直线方程为，直线方程为：， 联立方程，解得 又因为，所以， 所以 17．（15分） 已知数列满足，且，，记数列的前项和为. (1)求与的值并证明，； (2)试比较与的大小关系并说明理由； (3)证明：. 17．（15分） 【解析】(1)，且，令，得，令，得， 用数学归纳法证明， 当时，，命题成立； 假设当时，则时，， 结合，得，则当时，命题也成立， 所以，对所有成立. (2)，理由如下. ， 由(1)知，故，结合，得，即，因此是严格递减数列，故. (3)由，得，令，则， 先证明：，. 当时，，成立， 假设当时，则，于是所以当时， 故，即当时也成立， 由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）. 接着证明：，. 当时，，，不等式成立， 假设当时，因为，所以当时， 即当时，不等式也成立， 由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）， 所以（等号仅在时成立）. 再证明：时，，. 由，得当时， 即，，. 所以，， ， 所以. 18．（17分） 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）由题意知：， 因为离心率，则，可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）（i）由题意可知：直线过点，斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去得， 则，， 可得， 整理得：，即， 因为，则，解得， 所以直线的方程为或，即或； （ii）由（i）可知：， 因为为中点，故， 又因为点关于原点对称的点为， 则， 则， 令，则，可得， 因为，则，， 可得，即，则， 所以原点到动直线的距离的取值范围为． 19．（17分） 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 【解析】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，故， 因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）设，， 又题设的斜率必存在且，故设， 由可得，整理得， 故 ， 故，故， 故，同理. 因为，故， 故 ， 当且仅当即时，为定值. / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第3章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 2．（新情景）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ） A．10 B． C． D．8 3．（新考法）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为．则以下命题错误的是（   ） A．若，为直线上的动点，则取最小值时，的坐标为 B．到两点的“直角距离”之和为的点的集合是面积为的六边形 C．到原点的“直角距离”等于1的点的集合是一个正方形 D．圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值是1 4．（改编题）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（新文化）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新定义）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列、进行构造，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则（   ） A．第四次得到的数列共项 B． C．数列是等差数列 D．对，以、、为边长不能构成一个三角形 7．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A． B．16 C． D．15 8．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 10．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一．某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线．其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（），则下列说法正确的是（     ） A．曲线内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点，在曲线上，且，则面积的最大值为3 D．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 11．已知数列的各项均为整数，满足，为任意整数，且，其中，则下列说法正确的有 A．对任意整数，数列的前3项之和必为偶数 B．存在整数，使得 C．存在整数，使得数列从第2项起所有项均为正数 D．当时，且 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 13．记表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2026项和为_________. 14．对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分） 已知数列满足，． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，且（）； (3)设的前n项和为，若恒成立，求实数t的取值范围． 16．（15分） 在平面直角坐标系中，点，直线AB的倾斜角为，直线与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第四象限，满足， （i）证明：； （ii）过原点的直线分别与线段交于两点，且，求三角形的面积． 17．（15分） 已知数列满足，且，，记数列的前项和为. (1)求与的值并证明，； (2)试比较与的大小关系并说明理由； (3)证明：. 18．（17分） 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 19．（17分） 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）