2027年高考数学一轮复习检测卷（全国二卷03）

2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷03） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若样本数据的极差为，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．1或7 【答案】D 【详解】因为样本数据的极差为，又，当时，，解得， 若时，，解得，所以的值为或. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数除法运算求解. 【详解】. 3．集合的子集的个数为（ ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知集合，有个元素，则有个子集. 4．“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求命题“对任意，”成立时的取值范围，再判断两个命题之间的推出关系． 【详解】当时，对任意，由，有 所以“对任意，”成立． 反之，若对任意，，取，得，即．因此“对任意，”等价于． 由一定有，但例如时上述不等式也恒成立，而，所以“”是“对任意，”的充分不必要条件，A 正确． 5．将函数的图象上所有点的横坐标平移个单位，纵坐标保持不变，得到偶函数的图象，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出函数，再利用正余弦函数的图象性质求解. 【详解】函数， 依题意，，由函数为偶函数， 得，解得， 所以的最小值为，此时. 6．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 7．定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】先求出（），再利用裂项相消法求出，从而可得，故可求参数的最小值. 【详解】由题设有，故， 当时，， 故当时，有，所以， 而，故，故（） 所以， 故， 故对，总有恒成立，且当时，， 故，故，故. 故实数的最小值为. 8．若向量与的夹角为，，为随机变量，且，设，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开向量数量积，推导出，再由题意确定的所有可能取值及对应概率，从而计算数学期望. 【详解】，因为与的夹角为，， 所以，， 所以， ， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， ​ 当时，，， ， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（    ） A． B．是数列中的项 C． D．，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】由已知结合等比数列的通项公式求出，然后结合等比数列与等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】正项等比数列的公比为，，且， 则， 即，即或舍，A正确； 因为，则，， 令，则，是数列的第项，B正确； ，C错误； 因为，，则，所以，，成等差数列，D正确． 10．函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出函数的定义域，判断出函数为偶函数，故只需研究函数在上的图象即可，分、及，结合导数判断函数的趋势，并找到对应的选项即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数， 当时，, 当时，，此时函数位于轴下方； 且， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，当时，， 又因为函数为偶函数，所以当时，函数也位于轴下方， 此时函数的图象形如D; 当时，, 易知此时的图象形如A选项； 当时，因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增， 且， 此时函数的图象形如C. 综上，函数的图象在上不可能像选项B那样单调递增，故B不满足. 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可得 的周长为 ，从而判断A；由三角形内切圆半径与三角形周长和面积的关系可得内切圆半径的最大值，判断B；结合椭圆的定义及三角不等式求得的最大值，判断C；设直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，求得，判断D. 【详解】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，.若()，则实数______. 【答案】/ 【详解】已知，，所以， 因为且，所以， 整理得， 解得． 13．曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先求出切点坐标，再求出切线的斜率，即得解. 【详解】因为，所以， 当时，，， 所以曲线的切线方程为，解得. 14．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，点、在线段、上移动，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】建立空间坐标系，利用两点距离公式即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 所以PQ的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ， 则不等式，可化为， 可得，解得， 故关于的不等式的解集为. （2）由（1）知，， 当时，， 因为方程在上有两个不相等的实数根， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 所以函数与在上有2个交点，如图， 由图可知，，故实数的取值范围为. 16．（15分） 已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得， 设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得， 又知，， 所以 ， 由到直线l的距离为， 所以， 即，得， 解得或，经检验均满足， 所以的值为或 17．（15分） 在四棱锥中，，底面是直角梯形，，．已知，，．点为的中点， (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)略 (2)2 【详解】（1）因为，点为的中点，所以， 在直角梯形中，连接CO，因为，．所以是矩形， 所以，在中，，，所以． 在和中，，所以 ， 所以，即， 又，平面，所以平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，. 设平面的法向量为，，. 由，取，得. 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，则， 解得. 18．（17分） 已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的单调区间； (3)是否存在，，使得点关于原点的对称点在曲线上，若存在，求出符合题意的点的个数．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为． (3)符合题意的点有且只有一个． 【详解】（1） 由题意，，．解得． （2）由（1）知，， 记，则， 当变化时，，变化如下表， 0 极大值 当时，，，则， 当时，， 由上表，当时，，当时，， ，， 当时，，当时，， 的单调增区间为，单调减区间为． （3）存在一个点满足题意． 点关于原点的对称点在曲线上，等价于， 令，，则， 由（2），当时，，， 则， 则在上单调递减， ， ， 在内存在唯一零点， 即符合题意的点有且只有一个． 19．（17分） 北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 2 3 4 (2) (3)是，常数为 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为． （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览银滩又到涠洲岛游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ， 因此， 所以． （3）要得到总分为，有两种情况： 前面总分是，再来1个得1分的游客，概率为， 前面总分是，再来1个得2分的游客，概率为， 因此，即， 又，， 故，即， 因此可得， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数． 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷03） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若样本数据的极差为，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．1或7 2．（    ） A． B． C． D． 3．集合的子集的个数为（ ） A．64 B．16 C．6 D．4 4．“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．将函数的图象上所有点的横坐标平移个单位，纵坐标保持不变，得到偶函数的图象，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 7．定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 8．若向量与的夹角为，，为随机变量，且，设，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（    ） A． B．是数列中的项 C． D．，，成等差数列 10．函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，.若()，则实数______. 13．曲线在点处的切线方程为______． 14．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，点、在线段、上移动，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 16．（15分） 已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 17．（15分） 在四棱锥中，，底面是直角梯形，，．已知，，．点为的中点， (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长． 18．（17分） 已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的单调区间； (3)是否存在，，使得点关于原点的对称点在曲线上，若存在，求出符合题意的点的个数．若不存在，说明理由． 19．（17分） 北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷03） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A D C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． / 13． 14． / 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由..................1分 ，..................3分 则不等式，可化为，..................4分 可得，解得，..................5分 故关于的不等式的解集为...................6分 （2）由（1）知，， 当时，，..................8分 因为方程在上有两个不相等的实数根， 所以方程在上有两个不相等的实数根，..................10分 所以函数与在上有2个交点，如图，..................11分 由图可知，，故实数的取值范围为...................13分 16．（15分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有，..................4分 由两点间距离公式，解得，..................6分 所以抛物线C的方程为...................7分 （2）把代入方程，可得，..................8分 设，， 联立方程组，消去y可得，.................9分 由，解得， 又知，，..................10分 所以 ， 由到直线l的距离为，..................12分 所以，..................13分 即，得， 解得或，经检验均满足，..................14分 所以的值为或..................15分 17．（15分） 【答案】(1)略 (2)2 【详解】（1）因为，点为的中点，所以，..................1分 在直角梯形中，连接CO，因为，．所以是矩形，..................2分 所以，在中，，，所以．..................3分 在和中，，所以 ，..................5分 所以，即，..................6分 又，平面，所以平面；..................7分 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，..................8分 设，则，，，...................9分 设平面的法向量为，，...................10分 由，取，得...................12分 易知平面的一个法向量为，..................13分 设二面角的大小为，则，..................14分 解得...................15分 18．（17分） 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为． (3)符合题意的点有且只有一个． 【详解】（1）..................1分 由题意，，．解得．..................4分 （2）由（1）知，，..................5分 记，则，..................6分 当变化时，，变化如下表， 0 极大值 当时，，，则，..................7分 当时，， 由上表，当时，，当时，，..................8分 ，，.................9分 当时，，当时，，..................10分 的单调增区间为，单调减区间为．..................11分 （3）存在一个点满足题意．..................12分 点关于原点的对称点在曲线上，等价于，..................13分 令，，则，..................14分 由（2），当时，，， 则， 则在上单调递减，..................15分 ， ，..................16分 在内存在唯一零点， 即符合题意的点有且只有一个．..................17分 19．（17分） 【答案】(1) 2 3 4 (2) (3)是，常数为 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为，..................1分 则，，..................2分 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为．..................4分 （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览银滩又到涠洲岛游玩， 于是，令数列的前项和为，..................5分 则，..................6分 于是，..................7分 两式相减得 ，..................8分 因此，..................9分 所以．..................10分 （3）要得到总分为，有两种情况： 前面总分是，再来1个得1分的游客，概率为，..................11分 前面总分是，再来1个得2分的游客，概率为，..................12分 因此，即，..................13分 又，， 故，即，..................14分 因此可得， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，..................15分 故，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，..................16分 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．..................17分 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $