第1章 第5课时 问题解决策略：反思（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂教学课件（北师大版·新教材）

宝典训练 配套教学课件 新课标 深圳天骄文化传播有限公司 1 第一章　勾股定理 第5课时　问题解决策略：反思 2 目录 CONTENTS B 能力提升 A 基础巩固 C 拓展应用 3 基 础 巩 固 A 4 第一章　勾股定理 5 第一章　勾股定理 6 第一章　勾股定理 7 第一章　勾股定理 8 第一章　勾股定理 9 25 cm 第一章　勾股定理 10 第一章　勾股定理 11 10 第一章　勾股定理 12 第一章　勾股定理 13 第一章　勾股定理 14 第一章　勾股定理 15 第一章　勾股定理 16 第一章　勾股定理 17 第一章　勾股定理 18 第一章　勾股定理 19 第一章　勾股定理 20 第一章　勾股定理 21 第一章　勾股定理 22 第一章　勾股定理 23 ☞类型1　选择最佳地址 1．如图，铁路上A，B两点相距17 km，C，D两点为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12 km，CB＝5 km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等。 (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求C，D两个村庄之间的直线 距离(结果保留根号)。 解：(1)设AE＝x km，则BE＝(17－x)km。 在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2＝AD2＋AE2。 在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2＝BC2＋BE2。 ∵C，D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2， ∴AD2＋AE2＝BC2＋BE2，∴122＋x2＝52＋(17－x)2，解得x＝5，∴AE＝5 km。 答：E站应建在距A点5 km处。 (2)由(1)可得AE＝5 km，BE＝17－5＝12(km)，∴AE＝BC，AD＝BE， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BEC(SAS)，∴∠AED＝∠BCE， ∵∠BEC＋∠BCE＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠CED＝90°。 在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝ eq \r(AE2＋AD2)＝ eq \r(52＋122)＝13(km)，∴CE＝DE＝13 km。 在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝ eq \r(DE2＋CE2)＝ eq \r(132＋132)＝13 eq \r(2)(km)。 答：CD两个村庄之间的直线距离为13 eq \r(2) km。 ☞类型2　立体图形中的最短路径 2．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20 cm，3 cm，2 cm，A和B是一个台阶两个相对的端点。老师让同学们探究：如图1，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到B点的最短路程是多少？ 【探究】 (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20 cm、宽为15 cm的长方形，连接AB，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点B的最短路程AB的长为__________。 【应用】 (2)如图3是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求蚂蚁爬行的最短距离。 解：(2)将圆柱体展开，由题意得AB＝ eq \r(82＋152)＝17 cm， 故蚂蚁爬行的最短距离为17 cm。 【拓展】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是____cm。(杯壁厚度不计) ☞类型3　平面图形中的最短路径 3．如图，一个牧童在小河的南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km、北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 解：如答图，做出点A关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度。 由题意知：A′D＝4＋4＋7＝15 km，BD＝8 km，∠D＝90°。 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B＝ eq \r(A′D2＋BD2)＝17 km， 故他要完成这件事情所走的最短路程是17 km。 4.【综合与实践】 【问题情景】 (1)如图1，点C为线段BD上一动点。分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC。已知AB＝6，DE＝2，BD＝10。设CD＝x，用含x的代数式表示AC＋CE的长。 解：(1)∵BD＝10，CD＝x，∴BC＝BD－CD＝10－x。 ∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°。 在Rt△ABC中，∵AB＝6， ∴由勾股定理，得AC＝ eq \r(BC2＋AB2)＝ eq \r((10－x)2＋36)。 在Rt△EDC中，∵DE＝2， ∴由勾股定理，得CE＝ eq \r(CD2＋DE2)＝ eq \r(x2＋4)， ∴AC＋CE＝ eq \r((10－x)2＋36)＋ eq \r(x2＋4)。 【数学思考】 (2)如图2，在某河道l一侧有A，B两家工厂，它们到河道的距离AD，BC分别是4 km和6 km，两工厂之间的距离AB是6 km。为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P，且使得抽水点P到A，B两家工厂的距离之和最短。求PA＋PB的最小值。 【深入探究】 (3)请结合上述思路，求代数式 eq \r(x2＋4)＋ eq \r((9－x)2＋100)(0≤x≤9)的最小值。 (2)如答图1，作点A关于河道l的对称点A′，过点A′作A′E⊥BC交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥BC于点F，连接A′P，A′B，则易得四边形ADCF，四边形DA′EC和四边形AA′EF都是长方形，且AD＝A′D，PA′＝PA， ∴PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B， ∴PA＋PB的最小值为A′B的长。 ∵AD＝4 km，BC＝6 km，AB＝6 km， ∴EC＝A′D＝AD＝FC＝4 km， ∴BE＝BC＋CE＝10 km，BF＝BC－FC＝2 km。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝ eq \r(AB2－BF2)＝ eq \r(62－22)＝4 eq \r(2)(km)，∴A′E＝AF＝4 eq \r(2) km。 在Rt△A′BE中，由勾股定理，得A′B＝ eq \r(A′E2＋BE2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)))\s\up12(2)＋102)＝2 eq \r(33)(km)， ∴PA＋PB的最小值为2 eq \r(33) km。 (3)构造图形如答图2所示，其中点C为线段BD上一点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC， 其中AB＝10，DE＝2，BD＝9，CD＝x，BC＝9－x，CE＝ eq \r(CD2＋DE2) ＝ eq \r(x2＋4)， AC＝ eq \r(BC2＋AB2)＝ eq \r((9－x)2＋100)。 连接AE。 ∵AC＋CE≥AE， ∴代数式 eq \r(x2＋4)＋ eq \r((9－x)2＋100)(0≤x≤9)的最小值为AE的长，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F， 易知EF＝BD＝9，BF＝DE＝2，∴AF＝AB＋BF＝12。 在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE＝ eq \r(AF2＋EF2)＝ eq \r(122＋92)＝15， ∴代数式 eq \r(x2＋4)＋ eq \r((9－x)2＋100)(0≤x≤9)的最小值为15。 $