5.1.2等式的性质（教学设计）数学新教材人教版七年级上册七上教学设计

5.1.2等式的性质 年级 七年级 学科 数学 课型 新授课 教材 人教版七年级上册 教学目标 1.理解并掌握等式的两条基本性质，能正确运用等式的性质进行等式变形； 2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程，并能检验方程的解； 3.经历由具体数字归纳等式性质的过程，培养抽象概括能力。 教学重点 等式性质1、2及其在等式变形和解简单一元一次方程中的应用。 教学难点 等式性质2中“除数不为0”的约束； 从具体数字归纳并用符号语言表达性质； 解方程时规范说明变形依据并检验。 教材分析 本节是初中数学七年级上册第五章《一元一次方程》第一节《方程》第2课时《等式的性质》。核心知识点：等式的两个基本事实、等式性质1和性质2、利用等式性质进行等式变形、解简单一元一次方程并检验。 本课位于“一元一次方程”起始阶段，是学生由方程概念走向方程求解的关键桥梁。教材以天平平衡为直观模型，先给出等式对称性、传递性两个基本事实，再通过具体数字运算归纳“等式两边同加同减同一个数或式子，结果仍相等”“等式两边同乘同一个数，或同除以同一个不为0的数，结果仍相等”，并用符号语言表达。其逻辑主线是“直观感知—具体验证—归纳概括—符号表达—应用解方程”，体现由特殊到一般、由算术到代数的思维提升。等式性质是等式等价变形的依据，也是后续解一元一次方程、列方程解决实际问题的基础。教学重点应落在两条性质的理解与规范运用，以及用性质将简单方程逐步化为并检验。 学情分析 七年级学生已学习方程、一元一次方程概念及整式加减，能识别“含有未知数的等式”，对天平平衡有生活直觉，因此由具体数字归纳等式性质较易。已有整式运算知识可支持同加同减、同乘同除的变形，但学生易把“等式性质”与“解方程步骤”割裂，出现只变一边、乘除不同数、除以0、符号处理错误等问题。由具体例子抽象为符号语言、说明每步依据是认知难点；列方程建模虽非本课重点，但可为后续应用奠基。教学难点确定为：等式性质2中除数不为0的理解，等式变形的依据辨析与规范表达，以及将方程逐步化为并检验。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾，明确目标】 【师生活动】 教师提问“方程与一元一次方程的共同之处和不同之处是什么？” 学生口答，教师板书归纳。 【旧知复习】 在前面的课程中，我们学习了方程以及一元一次方程，你还记得二者的共同之处以及不同之处吗？ 共同之处：①都是含有未知数的等式； ②都可以通过移项、化简等方法求解未知数（后续学习）。 不同之处： 方程：只要是含有未知数的等式就叫方程，未知数的个数、未知数的次数没有限制； 一元一次方程：属于特殊的方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，未知数不能在分母位置。 【创设情境，引入新课】 【师生活动】 教师演示天平：左右两盘各放一个砝码，天平平衡。提问“平衡说明了什么？” 学生答“左右两边重量相等”。教师在天平两边同时减掉砝码，天平仍然平衡；同时增加，天平仍然平衡。 学生归纳“左右两边重量仍然相等”。 教师追问：“其实等式就像天平一样，那它到底有什么性质呢？今天我们就来研究等式的性质。” 激活已有方程与一元一次方程知识，明确本课学习方向，为用等式性质解方程作铺垫。用天平直观类比等式，激发学习兴趣，明确“等式性质”的学习方向。 探究点1 等式的两个基本事实 【问题引入】 等式有两个基本事实，这是研究等式性质的基础。 【师生活动】 教师举例“”，学生交换说“”； 教师提问“若，，能得什么？”学生答“”。 【新知导出】 基本事实1（对称性）：如果，那么。如，那么。 基本事实2（传递性）：如果，，那么。如，，那么。 【例题巩固】 若等式成立，则下列等式不一定成立的是（ C ） A. ； B. ； C. ； D. 。 通过简单数字和字母例子认识等式基本事实，为学习等式性质奠基。 探究点2 等式的性质1 【问题引入】 在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个数，结果仍相等。引入负数后，这些性质还成立吗？ 【师生活动】 教师板书，学生分别两边加、减验证； 教师引导归纳文字和符号语言；学生口述注意事项。 【详细过程】 ，两边加，得，即，成立； 两边减，得，即，成立。 【归纳总结】 等式的性质1：文字描述：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 符号语言：如果，那么。 注意事项：两边必须同时进行相同的运算（加或减）； 加（或减）的必须是同一个数或同一个式子；可以是正数、负数，也可以是式子。 【例题巩固】 教材例题1 根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果，那么； （2）如果，那么； 解：观察等式左右两边变化，匹配性质1，确定两边同时加或减同一个式子。 （1）右边由变为，需两边加，得； （2）两边减，得。 借助负数例子突破“引入负数后性质仍成立”的难点，通过填空和辨析强调“同时、同一个”及除数不为0。 探究点3 等式的性质2 【问题引入】 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，结果还相等吗？ 【师生活动】 教师出示，学生分别两边乘、除以验证； 教师引导归纳性质2； 学生讨论“为什么除数不能为0”“乘0可以吗”。 【详细过程】 ，两边乘，得；两边除以，得。 【归纳总结】 等式的性质2： 文字描述：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 符号语言：如果，那么；如果，，那么。 注意事项：乘同一个数时，任何数都可以（包括0）；除以同一个数时，除数不能为0——因为0不能作除数；两边必须同时进行相同的运算（乘或除）。 【例题巩固】 教材例题1 根据等式的性质填空，并说明依据： （3）如果，那么； （4）如果，那么。 解：观察左右两边变化，匹配性质2，确定两边同时乘或除以何数。 （3）由到，两边乘，得； （4）由到，两边除以，得。 通过乘除运算和0的限制，突破“除数不为0”的理解难点，培养严谨性。 探究点4 利用等式的性质解简单一元一次方程 【问题引入】 如何利用等式性质把转化为的形式？ 【师生活动】 教师示范（1），学生仿做（2）（3），板演并代入检验； 教师归纳解方程一般步骤。 【例题巩固】教材例题2 利用等式的性质解下列方程： （1）；（2）；（3）。 分析：要使方程转化为（常数）的形式，需要去掉方程左边的，利用等式的性质1，方程两边减就得出的值。类似地，利用等式的性质，可以将另外两个方程转化为的形式。 解：（1）方程两边减，得，于是。 （2）方程两边除以，得，于是。 （3）方程两边加，得，化简得。方程两边乘，得。 解方程的一般步骤注意事项： 第一步：利用等式的性质1，将方程两边同时加（或减）同一个数（或式子），使方程逐步转化为（）的形式。 第二步：利用等式的性质2，将方程两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），使未知数的系数化为1，即（）。解出未知数的值后，代入原方程检验，看这个值能否使方程左右两边相等。 【变式】利用等式的性质解下列简单方程： （1）；（2）。 解：（1）两边加，；检验：右边。 （2）两边除以，；检验：右边。 通过示范、仿做和检验，形成用等式性质解简单一元一次方程的一般步骤，落实“能解简单方程并检验”的目标。 课堂小结 板书设计 5.1.2等式的性质 一、等式的基本事实 对称性：若 ，则 。 传递性：若 ，则 。 二、等式的性质1 若 ，则 。 关键词：两边同时、加（减）同一个数或式子。 三、等式的性质2 若 ，则 。 若 ，则 。 关键词：乘同数；除以非零数。 四、利用等式性质解方程 步骤：性质1变形 → 性质2系数化为1 → 检验。 例：； ； 。 易错提醒：同时进行；同数（式）；除数不能为0；解完要检验。 随堂练习 【巩固训练1 等式的性质】 把方程变形为用含有的式子表示，得。 解：， ， 。 【变式1-1】利用等式的性质，下列变形不正确的是（ C ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则。 解：A项，，两边同时减2，得，变形正确，不符合题意； B项，，两边同时除以6，得，即，变形正确，不符合题意； C项，，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，变形错误，符合题意； D项，，两边同时加7，得，变形正确，不符合题意。 【变式1-2】下列等式变形中，正确的是（ B ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则。 解：A项，若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B项，，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C项，若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D项，若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到。 【巩固训练2 利用等式的性质解方程】 利用等式的性质解方程： （1）； （2）。 解：（1）方程两边减3，得； 方程两边除以2，得。 （2）方程两边加1，得； 方程两边乘2，得。 【变式2-1】求未知数的值，并检验。 （1）； （2）； （3）。 解：（1）， ， ， 。 检验：把代入原方程，左边，右边，左边=右边，所以是方程的解。 （2）， ， ， 。 检验：把代入原方程，左边，右边，左边=右边，所以是方程的解。 （3）， ， ， 。 检验：把代入原方程，左边，右边，左边=右边，所以是方程的解。 教学反思 本节课概念理解目标通过天平情境、具体数字归纳和例题辨析基本达成，学生能说出等式性质1、2及符号表达。性质2中“除以同一个不为0的数”是学习难点，借助 的变式辨析，部分学生已能关注 的特殊情况，但独立说明理由时仍不够严谨。利用等式性质解方程时，多数学生能按“先加减、后乘除”转化，但书写依据和检验习惯不均衡，个别学生将系数化为1与移项混淆。改进方向：增加“同时、同数、除数非零”的对比练习；安排小组互查方程变形依据；增加板演与错例分析，强化检验步骤。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $