第十五章 轴对称【最短路径（将军饮马）+ 尺规作图与折叠 专题讲义】-2026-2027学年人教版八年级数学上册

轴对称【最短路径（将军饮马）+ 尺规作图与折叠 专题讲义】2026~2027学年人教版八年级上册数学 课标要点 1. 理解轴对称的基本性质，能识别轴对称图形，会确定其对称轴。 2. 掌握线段垂直平分线与角平分线的性质，能作已知图形关于某条直线的对称图形。 3. 能运用轴对称解决最短路径问题，体会「作对称、化折为直」的转化思想。 4. 理解折叠（翻折）的本质是轴对称变换，会运用折叠前后图形的全等关系解决问题。 5. 掌握尺规作图的基本方法，会作对称轴、对称点与轴对称图形，并能说明作图依据。 6. 经历操作、作图与推理的过程，发展几何直观、空间观念与逻辑推理能力。 学习重难点 重点：① 轴对称的性质与「作对称、化折为直」的转化方法；② 将军饮马模型的三种基本类型（基础模型、造桥选址、角内定点周长最小）；③ 尺规作图的基本操作（作对称轴、作对称点、作轴对称图形）；④ 折叠前后对应边相等、对应角相等及各角度、线段长度的计算。 难点：① 在复杂图形中准确确定定点与动点、选对对称轴；② 造桥选址问题中利用平移把折线「拉直」；③ 折叠问题中挖掘隐藏的等量边角，并借助方程思想与分类讨论解决问题。 模块一　最短路径（将军饮马） 知识点　将军饮马核心原理 将军饮马问题是轴对称最值问题中最经典的模型：借助轴对称把折线转化为直线，再依据「两点之间线段最短」求出线段和的最小值。核心口诀：作对称，化折为直。解决最短路径问题的通用思想，就是把「折」着走的路，通过轴对称或平移「拉直」，使所求的最短值落在一条线段上。 基础模型：定点 A，B 在直线 l 的同侧，在 l 上求一点 P，使 PA+PB 最小。作法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于点 P，此时 PA+PB 最小，最小值为线段 A'B 的长。 拓展模型①——造桥选址：A，B 两村被一条河隔开，河的两岸 l1∥l2，河宽为定值 d，要在河上造一座垂直于河岸的桥 MN（M 在 l1 上，N 在 l2 上），使 AM+MN+NB 最小。作法：把点 A 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽 d 得到 A'，连接 A'B 交 l2 于点 N，过 N 作 l1 的垂线，垂足为 M，则在此处造桥路径最短。 拓展模型②——角内定点周长最小：P 是 ∠AOB 内部一定点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，求 △PMN 周长的最小值。作法：作点 P 关于 OA 的对称点 P1、关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2，分别交 OA，OB 于点 M，N，此时 △PMN 的周长最小，最小值等于线段 P1P2 的长。 【特别提醒】① 先分清定点与动点：对称点只能作在定点上（定点是「以直线为轴的对称」的对象），动点在直线上，不要给动点作对称点；② 对称点要作在直线的另一侧，作错位置会使连线与直线交不到动点应处的范围；③ 只有当两定点在直线同侧时才需要作对称点，两定点在直线异侧时直接连线段即可；④ 角内定点求周长最小要作两个对称点，缺一不可。 随学随练 〔基础〕 1．直线 l 的同侧有两个定点 A，B，点 P 在 l 上移动。下列作法中，能使 PA+PB 最小的是（　　） A．连接 AB 交 l 于点 P　　B．作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于点 P C．作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'A 交 l 于点 P　　D．作线段 AB 的垂直平分线交 l 于点 P 【答案】B 两定点在直线同侧，需要作对称点把同侧转化为异侧； 作 A 关于 l 的对称点 A'，则 PA=PA'，PA+PB=PA'+PB； 当 A'，P，B 三点共线时和最小，故连 A'B 交 l 于 P，选 B． 2．点 A(2,3)，B(5,-1)，P 是 x 轴上一动点，则 PA+PB 的最小值是 ______． 【答案】5 点 A 在 x 轴上方、点 B 在 x 轴下方，两点在 x 轴异侧，直接连接 AB 与 x 轴交于点 P； 所以 PA+PB 的最小值就是 AB 的长， AB=√((5-2)2+(-1-3)2)=√(9+16)=5． 3．如图，∠AOB=50°，P 为角内一点，点 M 在射线 OA 上，点 N 在射线 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______． 【答案】80° 作 P 关于 OA 的对称点 P1、关于 OB 的对称点 P2，连 P1P2 交 OA 于 M、交 OB 于 N； 由对称，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=2∠AOB=100°； 在等腰 △OP1P2 中，∠OP1M=∠P2P1O=(180-100)÷2=40°； 又 △OMP≌△OMP1，△ONP≌△ONP2，得 ∠MPO=∠OP1M=40°，∠OPN=40°； 所以 ∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°． 4．如图，直线 l 是一条河岸，A，B 是 l 同侧的两个定点。 （1）在 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）写出你作图的依据． 【答案】（1）见解析；（2）两点之间线段最短 （1）作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B，与 l 交点即为点 P（作图痕迹：作对称点的弧与连线）； （2）因为 PA=PA'，所以 PA+PB=PA'+PB；当 A'，P，B 三点共线时，PA'+PB 取最小值 A'B；依据是两点之间线段最短． 5．在平面直角坐标系中，已知 A(1,3)，B(4,1)，点 P 是 x 轴上的动点。 （1）求 PA+PB 的最小值； （2）当 PA+PB 取最小值时，求点 P 的坐标． 【答案】（1）5；（2）P(13/4,0) （1）作 A 关于 x 轴的对称点 A'(1,-3)，连 A'B，则 PA+PB=PA'+PB≥A'B； 所以最小值 =A'B=√((4-1)2+(1+3)2)=√(9+16)=5； （2）直线 A'B 过 A'(1,-3)，B(4,1)，斜率 k=(1+3)/(4-1)=4/3； 令 y=-3+4/3(x-1)=0，得 x-1=9/4，x=13/4，故 P(13/4,0)． 知识点　通用解题思路归纳 解决最短路径问题的通用套路：第一步，找出定点与动点，确定动点所在的直线（即对称轴所在直线）；第二步，对定点作关于该直线的对称点，把「同侧」转化为「异侧」；第三步，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求动点，所连线段的长即为最小值。辅助线的通用做法：过定点作对称点，连接对称点和另一定点，与动点所在直线相交，辅助线一律用虚线。 【特别提醒】①「求线段和最小」与「求周长最小」做法不同：线段和最小一般只作一个对称点、连一条线段；周长最小往往要作两个（或更多）对称点，把「周长」化成一条展开的折线。② 注意题目问的是「最小值」还是「点的位置」，两者都要能答；③ 若题目要求作图，务必保留对称点、连线的作图痕迹。 随学随练 〔基础-中档〕 1．如图，在等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AD=6，点 P 是 AD 上一动点，点 E 是 AB 的中点，则 PB+PE 的最小值是 ______． 【答案】6 等边三角形中 AD 是 BC 的高，也是对称轴，BC=2×AD/√3=12/√3=4√3； 作点 E 关于 AD 的对称点 E'，由对称 PE=PE'，PB+PE=PB+PE'； 又 E' 在 AC 上且为 AC 中点，B，P，E' 三点共线时取最小； 取坐标 B(-2√3,0)，E'(√3,3)，BE'=√((3√3)2+32)=√(27+9)=6． 2．如图，∠AOB=60°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=2，点 M，N 分别在射线 OA，OB 上，当 △PMN 的周长最小时，该最小周长是 ______． 【答案】2√3 作 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2，则 △PMN 周长最小值为 P1P2； OP1=OP2=OP=2，∠P1OP2=2∠AOB=120°； P1P2=2·OP1·√3/2=2×2×√3/2=2√3． 3．如图，∠AOB=40°，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数为（　　） A．100°　　B．110° C．120°　　D．140° 【答案】A 由角内定点周长最小的结论：∠MPN=180°-2∠AOB； 所以 ∠MPN=180°-2×40°=100°，选 A． 4．如图，A，B 两村在一条河的南岸（同侧），河岸为直线 l。现要在 l 上建一个水泵站 P，使 P 到 A，B 两村的管线总长最短。已知 A 到 l 的距离为 3 km，B 到 l 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 4 km。 （1）画出水泵站 P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求 PA+PB 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）4√2 km （1）作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于点 P，P 即为水泵站位置； （2）以 l 为 x 轴建系：A(0,3)，B(4,1)，则 A'(0,-3)； PA+PB=PA'+PB≥A'B=√((4-0)2+(1+3)2)=√(16+16)=4√2，最小值为 4√2 km． 5．如图，∠AOB=30°，P 为 ∠AOB 内一定点，OP=5，在 OA 上求点 M、在 OB 上求点 N，使 △PMN 的周长最小。 （1）作出点 M，N 的位置（保留作图痕迹）； （2）求 △PMN 周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）5 （1）作 P 关于 OA 的对称点 P1、关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2 分别交 OA，OB 于 M，N； （2）△PMN 周长最小值 =P1P2； OP1=OP2=OP=5，∠P1OP2=2∠AOB=60°，△OP1P2 为等边三角形， 所以 P1P2=OP1=5，最小周长为 5． 活学活用 〔中档偏难〕 1．如图，A，B 两镇之间有一条笔直的河流，河的两岸 l1∥l2，河宽为 1 km。A 到 l1 的距离为 2 km，B 到 l2 的距离为 2 km，A，B 沿河岸方向相距 3 km。现要在河上建一座垂直于河岸的桥 MN（M 在 l1 上，N 在 l2 上），使 A→M→N→B 的路程最短。 （1）确定桥 MN 的位置（保留作图痕迹）； （2）求最短路程 AM+MN+NB． 【答案】（1）见解析；（2）6 km （1）把点 A 沿垂直河岸方向平移一个河宽 1 km 得 A'，连接 A'B 交 l2 于 N，过 N 作 l1 的垂线，垂足为 M，MN 即为所求的桥； （2）以 l1 为 x 轴：A(0,2)，A'(0,1)，B(3,-3)； AM+MN+NB=A'B+MN=√(32+42)+1=5+1=6（km）． 2．如图，A，B 两地在直线 l 的同侧，且 A 到 l 的距离大于 B 到 l 的距离，AB=7 km。点 P 在直线 l 上移动。 （1）求 |PA-PB| 的最大值； （2）当 |PA-PB| 取最大值时，说明点 P 的位置． 【答案】（1）7 km；（2）点 P 是直线 AB 与 l 的交点 （1）对任意点 P，由三角形不等式 |PA-PB|≤AB； （2）当且仅当 A，B，P 三点共线（且 B 在 A，P 之间）时取等号； 因为 A 到 l 的距离大于 B 到 l 的距离，直线 AB 与 l 的交点在 B 的外侧，故延长 AB 交 l 于点 P，此时 |PA-PB|=AB=7 km． 3．如图，A，B 分别是 ∠MON 的边 OM，ON 上的定点，点 P 在 ON 上、点 Q 在 OM 上，求作点 P，Q，使 AP+PQ+QB 最短。 （1）作出点 P，Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）说明你的作图依据． 【答案】（1）见解析；（2）两点之间线段最短 （1）作点 A 关于 ON 的对称点 A'，作点 B 关于 OM 的对称点 B'，连接 A'B'，分别交 ON 于点 P、交 OM 于点 Q； （2）由对称 AP=A'P，BQ=B'Q，所以 AP+PQ+QB=A'P+PQ+QB'； 当 A'，P，Q，B' 四点共线时和最小，即连 A'B' 与两边的交点，依据是两点之间线段最短． 题型1　经典将军饮马·单动点线段和最小 【解题贴士】辅助线做法：过定点作关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点。切入点：把两条线段接到同一条直线上，对称点与另一定点的连线与动点所在直线的交点即所求动点。易错坑：① 两点同侧才作对称点、异侧直接连；② 对称点作错一侧会使连线交不到动点所在范围；③ 最小值是「对称点到另一定点」的距离，不是对称点到原定点的距离。 ▌例1如图，在等边三角形 ABC 中，边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上的动点，E 是 AC 上一点且 AE=2。当 EF+CF 取最小值时，∠ECF= ______． 【答案】30° 等边三角形中 AD 是对称轴，作点 C 关于 AD 的对称点 C'，则 C' 在 AB 上，CF=C'F； 所以 EF+CF=EF+C'F≥EC'，当 E，F，C' 共线时取最小； 取坐标 A(0,2√3)，B(-2,0)，C(2,0)，E(1,√3)，C'(-2,0)； 此时 ∠ECF=30°． ▌例2如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，求 CE+EF 的最小值． 【答案】24/5 作点 C 关于 AD 的对称点 C'；因为 AD 平分 ∠CAB，所以 C' 落在射线 AB 上，且 AC'=AC=6； CE+EF=C'E+EF≥C'F，当 C'，E，F 共线且 C'F⊥AC 时最小； 以 A 为原点、AC 为 y 轴：C(0,0)，B(8,0)，A(0,6)，AB 单位方向为 (0.8,-0.6)， C'=A+6×(0.8,-0.6)=(4.8,2.4)，C' 到 AC（y 轴）的距离为 4.8=24/5． ▌对点练1-1如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 AB 上一点且 AE=1，P 是 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值是 ______． 【答案】√17 正方形中 AC 是对称轴，B，D 关于 AC 对称，即 PB=PD； 所以 PB+PE=PD+PE≥DE，当 D，P，E 共线时最小； 取 A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，E(1,0)，DE=√(12+42)=√17． ▌对点练1-2如图，直线 l 的同侧有 A，B 两点，A 到 l 的距离为 2，B 到 l 的距离为 6，A，B 沿 l 的方向相距 6。点 P 在 l 上，求 PA+PB 的最小值． 【答案】10 作 A 关于 l 的对称点 A'，则 PA=PA'，PA+PB=PA'+PB≥A'B； 以 l 为 x 轴：A(0,2)，B(6,6)，A'(0,-2)； PA+PB≥A'B=√(62+(6+2)2)=√(36+64)=10． 题型2　造桥选址·两定两动最短路径 【解题贴士】辅助线做法：把某一岸的定点沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用「平移法」把造桥问题转化为将军饮马问题。切入点：先平移、再连线段找交点、最后平移回去还原桥的位置；路程 = 平移后的连线长 + 各段桥长。易错坑：① 桥必须垂直于河岸，平移方向要沿垂直河岸方向；② 平移的是定点而不是动点；③ 有两条河时要把相应河宽逐段平移叠加；④ 算路程时别忘了加上桥本身的长度。 ▌例1如图，A，B 两村被一条河隔开，河的两岸 l1∥l2，河宽为 2 km，A 到 l1 的距离为 3 km，B 到 l2 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 3 km。要在河上造一座垂直于河岸的桥 MN，使 AM+MN+NB 最小。 （1）确定桥 MN 的位置（保留作图痕迹）； （2）求最短路程． 【答案】（1）见解析；（2）7 km （1）把 A 沿垂直河岸方向平移一个河宽 2 km 得 A'，连 A'B 交 l2 于 N，过 N 作 l1 的垂线，垂足为 M； （2）以 l1 为 x 轴：A(0,3)，B(3,-3)，A'(0,1)； AM+MN+NB=A'B+MN=√(32+42)+2=5+2=7（km）． ▌例2如图，A，B 两村之间隔着两条互相平行的小河，两河宽分别为 2 km 和 3 km，A 到第一条河近岸 l1 的距离为 1 km，B 到第二条河远岸 l4 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 8 km。要在两条河上各造一座垂直于河岸的桥，使 A 到 B 的路程最短。 （1）确定两座桥的位置（保留作图痕迹）； （2）求最短路程． 【答案】（1）见解析；（2）15 km （1）把 A 沿垂直河岸方向平移两河宽之和 5 km 得 A'，连 A'B 交 l4 于 N2，过 N2 作 l3 的垂线得桥 M2N2；再把 A 平移一个河宽 2 km 得 A1，连 A1M2 交 l2 于 N1，过 N1 作 l1 的垂线得桥 M1N1； （2）最短路程 = A'B+（两桥长之和）=10+5=15； 其中取系：A(0,1)，A'(0,-4)，B(8,-10)，A'B=√(82+62)=10，故最短路程为 15 km． ▌对点练2-1如图，A，B 两村被一条河隔开，河的两岸平行，河宽为 4 km。A 到所在一侧河岸的距离为 1 km，B 到其所在一侧河岸的距离为 2 km，A，B 沿河岸方向相距 4 km。在河上造一座垂直于河岸的桥，使 A 到 B 的路程最短，最短路程是 ______ km． 【答案】9 把 A 沿垂直河岸方向平移一个河宽 4 km 得 A'； 以近岸为 x 轴：A(0,1)，A'(0,-3)，B(4,-6)； 最短路程 =A'B+4=√(42+32)+4=5+4=9（km）． ▌对点练2-2如图，A，B 两村被一条河隔开（河岸 l1∥l2，河宽为 d），要在河上造一座垂直于河岸的桥 MN，使 A 到 B 的路程最短。 （1）作出桥 MN 的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）说明作图的依据． 【答案】（1）见解析；（2）两点之间线段最短 （1）把点 A 沿垂直河岸方向平移一个河宽 d 得点 A'，连接 A'B 交 l2 于点 N，过 N 作 l1 的垂线，垂足为 M，线段 MN 即为所求的桥； （2）因为 AM=A'N，MN 为定值，所以 AM+MN+NB=A'N+NB+MN≥A'B+MN，当 A'，N，B 共线时取最小，依据是两点之间线段最短． 题型3　角内定点·三角形周长最小 【解题贴士】辅助线做法：作角内定点关于角两边的两条对称点。切入点：把「三角形周长」中的两条边分别翻到角的另一边，使周长化成一条线段（两对称点的连线）。易错坑：① 两个对称点都要作；② 连线后要分别与角的两边相交，方向别弄反；③ 最小值等于两对称点连线段长，通常放在等腰三角形（顶角 = 2∠AOB）中用勾股或三角函数来算。 ▌例1如图，∠AOB=α，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______（用含 α 的式子表示）． 【答案】180°-2α 作 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2，则 OP1=OP2=OP，∠P1OP2=2α； 在等腰 △OP1P2 中，底角 ∠OP1M=90°-α； 由对称 ∠MPO=∠OP1M=90°-α，同理 ∠OPN=90°-α； 所以 ∠MPN=∠MPO+∠OPN=2(90°-α)=180°-2α． ▌例2如图，∠AOB=60°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=4，点 M，N 分别在射线 OA，OB 上，求 △PMN 周长的最小值． 【答案】4√3 作 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2，△PMN 周长最小值 =P1P2； OP1=OP2=OP=4，∠P1OP2=2∠AOB=120°； P1P2=2·OP1×√3/2=2×4×√3/2=4√3． ▌对点练3-1如图，∠AOB=45°，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______． 【答案】90° 由角内定点周长最小结论 ∠MPN=180°-2∠AOB； 所以 ∠MPN=180°-2×45°=90°． ▌对点练3-2如图，∠AOB=30°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=6，在 OA、OB 上分别求点 M，N，使 △PMN 的周长最小。 （1）作出点 M，N（保留作图痕迹）； （2）求 △PMN 周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）6 （1）作 P 关于 OA、OB 的对称点 P1，P2，连 P1P2 分别交 OA，OB 于 M，N； （2）周长最小值 =P1P2；OP1=OP2=OP=6，∠P1OP2=2×30°=60°，△OP1P2 为等边三角形， 所以 P1P2=6，最小周长为 6． 模块二　轴对称尺规作图与折叠专题 知识点　轴对称相关尺规作图 尺规作图是指只用无刻度的直尺和圆规，且必须保留作图痕迹的作图方法。轴对称相关的尺规作图主要有三类：作对称轴、作点关于直线的对称点、作轴对称图形。 作对称轴：连接一对对应点，作这条线段的垂直平分线，即为对称轴。作点关于直线的对称点：过该点作直线的垂线，在垂线与直线交点（垂足）的另一侧截取与原点到垂足距离相等的线段，端点即为对称点。作轴对称图形：分别作出图形的各个关键点（如三角形的三个顶点）关于直线的对称点，再按原图形的顺序顺次连接。 【特别提醒】尺规作图常见丢分点：① 不保留作图痕迹（弧、交点、连线都要清晰地留下）；② 关键点不标字母，无法判分；③ 用直尺随手画线代替尺规作图；④ 作轴对称图形时漏作某个顶点；⑤ 要求「保留作图痕迹，不写作法」时，弧和交点也必须画全，不能省。 随学随练 〔基础〕 1．用尺规作图作线段 AB 的垂直平分线，其依据是「到线段两端点距离 ______ 的点，在线段的垂直平分线上」． 【答案】相等 作垂直平分线时，分别以 A，B 为圆心、大于 1/2AB 的同样长为半径画弧，两弧交点 P 满足 PA=PB； 依据是：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 2．如图，已知点 A 和直线 l，求作点 A 关于直线 l 的对称点 A'（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 以 A 为圆心、适当长为半径画弧，交直线 l 于 M，N 两点； 分别以 M，N 为圆心、大于 1/2MN 的长为半径画弧，两弧交于点 A'（在 l 的另一侧）； 点 A' 即为所求（作图痕迹保留弧与交点）． 3．如图，已知 △ABC 和直线 l，求作 △ABC 关于直线 l 对称的 △A'B'C'（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 分别作出顶点 A，B，C 关于直线 l 的对称点 A'，B'，C'（法同第 2 题）； 连接 A'B'，B'C'，C'A'，则 △A'B'C' 即为所求． 4．如图，△ABC 与 △DEF 关于某条直线对称，求作这条对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 连接一对对应点，如 A 与 D； 作线段 AD 的垂直平分线，该直线即为 △ABC 与 △DEF 的对称轴． 5．关于尺规作图，下列说法正确的是（　　） A．可以用刻度尺度量长度来作图　　B．作图时要保留作图痕迹 C．作图完成后不需要写结论　　D．画图痕迹可以擦掉 【答案】B 尺规作图只允许用无刻度的直尺和圆规，A 错误； 作图必须保留作图痕迹以便判分，B 正确、D 错误；作图完成后一般要写出结论，C 错误． 知识点　折叠专题核心性质 折叠（翻折）的本质是轴对称变换。核心性质：① 折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等；② 折痕所在的直线就是对称轴，它垂直平分每一对对应点所连的线段；③ 折叠后与原边不重合的部分常出现等腰三角形或直角三角形。题型归类：按图形分有三角形折叠和矩形（长方形）折叠；按目标分有求角度、求线段长度，后者常需结合方程思想，并注意分类讨论。 【特别提醒】挖掘隐藏的等量边角：① 折叠前后全等，第一时间找出对应边、对应角相等；② 折痕垂直平分对应点连线，可用来确定对称关系；③ 若折叠后某条对应边与原边共线（如落在同一直线上），往往能凑出等腰三角形或直角；④ 求线段长度时把所求量设为 x，用「对应边相等 + 勾股定理」列方程；⑤ 对应点位置不确定时，要按不同情况分类讨论。 随学随练 〔基础-中档〕 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上的点 A' 处，折痕为 CD，则 ∠A'DB= ______°． 【答案】10 折叠后 CA'=CA，∠CA'D=∠A=50°，且 A' 在 CB 上； ∠B=90°-50°=40°，由 ∠CA'D=∠A'DB+∠B， 得 ∠A'DB=50°-40°=10°． 2．如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。若 ∠BDC=62°，则 ∠DFE 的度数为（　　） A．31°　　B．28° C．62°　　D．56° 【答案】D AD∥BC，∠ADB=∠DBC=90°-62°=28°； 折叠后 ∠DBE=∠DBC=28°，在 △FDB 中 ∠DFB=180°-28°-28°=124°； ∠DFE 与 ∠DFB 互补，∠DFE=180°-124°=56°，选 D． 3．如图，将 △ABC 折叠，使点 A 与边 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，点 N 在 AB 上。若 AB=9，BC=6，则 △DNB 的周长是 ______． 【答案】12 D 是 BC 中点，所以 BD=1/2BC=3； 点 N 在折痕上，所以 NA=ND； △DNB 的周长 =ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=9+3=12． 4．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 DF，点 D 在 BC 上。已知 CD=1，∠B=30°，则 BD 的长为（　　） A．1　　B．2 C．3　　D．2.5 【答案】B 折叠后 DE=DC=1，∠DEB=∠DCB=90°； 在 Rt△DBE 中，∠B=30°，BD=2DE=2，选 B． 5．如图，把长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 B' 处，AB' 交 CD 于点 E。 判断 △ACE 的形状，并说明理由． 【答案】△ACE 是等腰三角形（AE=CE） 在长方形中 AB∥DC，所以 ∠BAC=∠ACD； 折叠后 ∠CAB'=∠BAC，所以 ∠CAB'=∠ACD，即 ∠CAE=∠ACE； 所以 AE=CE，△ACE 是等腰三角形． 活学活用 〔中档偏难〕 1．如图，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 A' 处。若 ∠A=40°，则 ∠1+∠2= ______°（∠1，∠2 分别为 A'D，A'E 与原边所成的角）． 【答案】80 在 △A'DE 中，∠A'=∠A=40°，∠A'DE+∠A'ED=140°； 由折叠 ∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED； ∠1+∠2=(180°-2∠ADE)+(180°-2∠AED)=360°-2(140°)=80°． 2．如图，把长方形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C，D 分别落在点 C'，D' 处。若 ∠EFB=65°，则 ∠AED'= ______°． 【答案】50 AD∥BC，所以 ∠DEF=∠EFB=65°； 折叠后 ∠D'EF=∠DEF=65°； ∠AED'=180°-65°-65°=50°． 3．如图，在 △ABC 中，∠B=30°，∠C=40°。 （1）尺规作图：① 作边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D；② 连接 AD，作 ∠CAD 的平分线交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求 ∠DAE 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）40° （2）∠BAC=180°-30°-40°=110°； D 在 AB 的垂直平分线上，所以 DA=DB，∠DAB=∠B=30°； 所以 ∠CAD=∠BAC-∠DAB=110°-30°=80°； AE 平分 ∠CAD，所以 ∠DAE=1/2×80°=40°． 题型1　尺规作图辨析与实操作图 【解题贴士】辅助线做法：作对称轴＝作对应点连线的垂直平分线；作对称点＝过点作垂线并在另一侧截取等距。切入点：先找对应点或关键点，再用「垂直平分线」「对称点」的基本作图完成。易错坑：① 不做垂直平分线而凭感觉画对称轴；② 作对称点时只在同侧取点；③ 作图痕迹不全（弧、交点、标注字母缺一）；④ 辨析题要看弧的圆心和半径是否对应所求图形。 ▌例1下面是四位同学所作的 △ABC 关于直线 l 的对称图形，其中正确的是（　　） 【答案】A 作轴对称图形要求对应点的连线被对称轴 l 垂直平分； 观察各图，只有 A 中 A，A' 的连线被 l 垂直平分且其余对应点同样满足，选 A． ▌例2已知 ∠α（锐角）和线段 a，用直尺和圆规作 Rt△ABC，使 ∠C=90°，∠A=∠α，斜边 AB=a（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 作射线 AM，在 AM 上作 ∠MAN=∠α； 在射线 AN 上截取 AB=a；过点 B 作 AM 的垂线，垂足为 C； 则 Rt△ABC 即为所求（∠C=90°，∠A=∠α，斜边 AB=a）． ▌对点练1-1如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=120°。利用无刻度的直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线 DE，分别交 AB，BC 于点 D，E（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 分别以 A，B 为圆心、大于 1/2AB 的同样长为半径画弧，两弧交于两点； 过这两点作直线，交 AB 于 D、交 BC 于 E，直线 DE 即为所求（保留弧与交点）． ▌对点练1-2如图，在 4×4 的正方形网格中（小方格边长为 1），点 A，B 都是格点，仅用一把无刻度的直尺作出线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 利用网格找 AB 的中点 O（取格点构成矩形，其对角线交点即为 AB 中点）； 在网格中过 O 作与 AB 垂直的直线（利用与 AB 垂直的格点连线）； 所画直线即为线段 AB 的垂直平分线． 题型2　折叠求角度计算 【解题贴士】辅助线做法：折叠问题无需额外辅助线，关键是标出对应角。切入点：先在折痕处把「对应角相等」标注出来，再利用平行线内错角、三角形内角和 180°、平角 180° 逐步推出目标角。易错坑：① 混淆「折叠前的角」和「折叠后的对应角」；② 忘记折痕两边对称的两个角相等；③ 在四边形（矩形）折叠中，先找平行线带来的内错角、同旁内角关系。 ▌例1如图，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 A' 处。若 ∠A=45°，则 ∠1+∠2= ______°． 【答案】90 ∠A'=∠A=45°，在 △A'DE 中 ∠A'DE+∠A'ED=135°； 由折叠 ∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED； ∠1+∠2=360°-2(135°)=90°． ▌例2如图，把长方形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C，D 分别落在点 C'，D' 处。若 ∠EFB=70°，则 ∠AED'= ______°． 【答案】40 AD∥BC，∠DEF=∠EFB=70°； 折叠后 ∠D'EF=∠DEF=70°； ∠AED'=180°-70°-70°=40°． ▌对点练2-1如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=65°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上的点 A' 处，折痕为 CD，则 ∠A'DB= ______°． 【答案】40 折叠后 CA'=CA，∠CA'D=∠A=65°； ∠B=90°-65°=25°，由 ∠CA'D=∠A'DB+∠B， 得 ∠A'DB=65°-25°=40°． ▌对点练2-2如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。若 ∠BDC=58°，则 ∠DFE= ______°． 【答案】64 AD∥BC，∠ADB=∠DBC=90°-58°=32°； 折叠后 ∠DBE=32°，在 △FDB 中 ∠DFB=180°-32°-32°=116°； ∠DFE=180°-116°=64°． 题型3　折叠求线段长度（矩形、三角形折叠） 【解题贴士】辅助线做法：把折痕当成对称轴，连接对应点或把折叠产生的等边标出。切入点：利用「折叠后对应边相等」把一条边转化到已知边上，再用勾股定理；涉及未知长度时设 x 列方程。易错坑：① 用错对应边（折叠前后哪条边等于哪条边）；② 列方程时漏用直角；③ 在矩形折叠中，注意落点是否在边上，必要时分类讨论。 ▌例1如图，将 △ABC 折叠，使点 A 与边 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，点 N 在 AB 上。若 AB=12，BC=4，则 △DNB 的周长是 ______． 【答案】14 D 是 BC 中点，BD=1/2BC=2； 点 N 在折痕上，NA=ND； 周长 =ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=12+2=14． ▌例2如图，把长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F。已知 AB=8，BC=4，求 AE 的长． 【答案】5 折叠后 A 与 C 重合，所以 EA=EC，设 AE=x，则 BE=8-x； 在 Rt△EBC 中，EC2=EB2+BC2，即 x2=(8-x)2+42； 展开 x2=64-16x+x2+16，得 16x=80，x=5，即 AE=5． ▌对点练3-1如图，折叠直角三角形纸片的直角，使顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 DF，点 D 在 BC 上。已知 CD=2，∠B=30°，则 BD= ______． 【答案】4 折叠后 DE=DC=2，∠DEB=90°； 在 Rt△DBE 中，∠B=30°，BD=2DE=4． ▌对点练3-2如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，AD=8，将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。求 DF 的长． 【答案】25/4 由折叠 ∠EBD=∠CBD；又 AD∥BC，∠ADB=∠CBD， 所以 ∠EBD=∠ADB，DF=BF，设 DF=x，则 BF=x，AF=8-x； 在 Rt△ABF 中，AB2+AF2=BF2，即 62+(8-x)2=x2； 解得 16x=100，x=25/4，即 DF=25/4． 题型4　折叠综合（方程思想、分类讨论） 【解题贴士】辅助线做法：折叠综合通常把折痕当对称轴，配合勾股定理列方程；若落点位置不明确，要按「落在边上／落在延长线上／落在内部」等分类。切入点：先用对应边角相等化简，再设未知量列方程；分类时把每一种情况都画出来分别求解。易错坑：① 只解出一种情况而漏掉其他情况；② 方程化简时符号算错；③ 把「以某边为底」当成「以某边为腰」，导致条件用错。 ▌例1如图，把长方形 ABCD 沿过点 A 的直线 AE 折叠，使点 B 落在边 CD 上的点 B' 处。已知 AB=10，AD=6，则 B'C= ______． 【答案】2 折叠后 AB'=AB=10； 在 Rt△ADB' 中，DB'=√(AB'2-AD2)=√(100-36)=8； 又 DC=AB=10，所以 B'C=10-8=2． ▌例2如图，在 △ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC，点 D 是边 BC 上一点（不与 B，C 重合），将 △ABD 沿 AD 翻折得到 △AB'D，连接 B'C。当 △DB'C 是以 DB' 为底边的等腰三角形时，求 ∠BAD 的度数． 【答案】20°或 80° AB=AC，∠BAC=120°，所以 ∠B=∠C=30°； 折叠后 AB'=AB=AC，所以 △AB'C 是等腰三角形； 设 ∠BAD=x，则 ∠B'AD=x，∠B'AC=120°-2x； 在 △AB'C 中 ∠AB'C=∠ACB'=1/2(180°-(120°-2x))=30°+x； 由 △DB'C 以 DB' 为底得 DC=CB'，结合 BD=DB' 与 AB=AC 解得 x=20° 或 x=80°． ▌对点练4-1如图，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 A' 处。若 ∠A=55°，则 ∠1+∠2= ______°． 【答案】110 折叠中落点在四边形内部时满足 ∠1+∠2=2∠A； 所以 ∠1+∠2=2×55°=110°． ▌对点练4-2如图，将长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F。已知 AB=8，BC=4。 （1）求证 AE=AF； （2）求折痕 EF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2√5 （1）折叠后 AF=CF；AB∥CD，∠AEF=∠EFC；又折叠使 ∠AFE=∠CFE， 所以 ∠AEF=∠AFE，AE=AF； （2）由（1）AE=AF=CF，设 AE=AF=CF=x，则 DF=8-x； 在 Rt△ADF 中 AF2=AD2+DF2，即 x2=16+(8-x)2，解得 x=5， 过 F 作 FH⊥AB 于 H，则 FH=BC=4，EH=5-3=2，EF=√(22+42)=2√5． 基础通关 1．在平面直角坐标系中，点 A(1,2)，B(4,-1)，点 P 是 x 轴上的动点，则 PA+PB 的最小值是（　　） A．3√2　　B．√34 C．5　　D．2√5 【答案】A 点 A 在 x 轴上方、B 在 x 轴下方，两点在 x 轴的异侧，直接连接 AB 与 x 轴即可； PA+PB≥AB=√((4-1)2+(-1-2)2)=√(9+9)=3√2，选 A． 2．如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。若 ∠BDC=68°，则 ∠DFE 的度数为（　　） A．44°　　B．68° C．22°　　D．136° 【答案】A AD∥BC，∠ADB=∠DBC=90°-68°=22°； 折叠后 ∠DBE=22°，∠DFB=180°-22°-22°=136°； ∠DFE=180°-136°=44°，选 A． 3．直线 l 的同侧有 A，B 两点，A 到 l 的距离为 1，B 到 l 的距离为 3，A，B 沿 l 的方向相距 3。点 P 在 l 上，则 PA+PB 的最小值是 ______． 【答案】5 作 A 关于 l 的对称点 A'，则 PA+PB=PA'+PB≥A'B； 以 l 为 x 轴：A'(0,-1)，B(3,3)，A'B=√(9+16)=5． 4．如图，把长方形 ABCD 沿过点 A 的直线 AE 折叠，使点 B 落在边 CD 上的点 B' 处。已知 AB=10，AD=6，则 B'C= ______． 【答案】2 折叠后 AB'=AB=10； 在 Rt△ADB' 中，DB'=√(AB'2-AD2)=√(100-36)=8； B'C=DC-DB'=10-8=2． 5．关于尺规作图，下列说法错误的是（　　） A．只用无刻度的直尺和圆规作图　　B．作图时要保留作图痕迹 C．可以先用刻度尺量出线段长度再作图　　D．作图完成后要写出结论 【答案】C 尺规作图只允许使用无刻度的直尺和圆规，不能借助刻度度量长度，故 C 错误． 6．如图，A，B 两村被一条河隔开，河的两岸 l1∥l2，河宽为 3 km，A 到 l1 的距离为 2 km，B 到 l2 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 4 km。在河上造一座垂直于河岸的桥，使 A 到 B 的路程最短，最短路程是 ______ km． 【答案】8 把 A 沿垂直河岸方向平移一个河宽 3 km 得 A'； 以 l1 为 x 轴：A(0,2)，A'(0,-1)，B(4,-4)； 最短路程 =A'B+3=√(42+32)+3=5+3=8（km）． 7．在平面直角坐标系中，已知 A(2,4)，B(6,2)，点 P 是 x 轴上的动点。 （1）求 PA+PB 的最小值； （2）求 PA+PB 取最小值时点 P 的坐标． 【答案】（1）2√13；（2）P(14/3,0) （1）作 A 关于 x 轴的对称点 A'(2,-4)，连 A'B，则 PA+PB≥A'B； A'B=√((6-2)2+(2+4)2)=√(16+36)=2√13； （2）直线 A'B 过 (2,-4)，(6,2)，斜率 k=(2+4)/(6-2)=3/2； 令 y=-4+3/2(x-2)=0，得 x-2=8/3，x=14/3，故 P(14/3,0)． 8．如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=8，将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。求 DF 的长． 【答案】5 由折叠 ∠EBD=∠CBD；又 AD∥BC，∠ADB=∠CBD， 所以 ∠EBD=∠ADB，DF=BF，设 DF=x，则 BF=x，AF=8-x； 在 Rt△ABF 中，AB2+AF2=BF2，即 42+(8-x)2=x2； 解得 16x=80，x=5，即 DF=5． 9．如图，∠AOB=35°，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______°． 【答案】110 由角内定点周长最小的结论知 ∠MPN=180°-2∠AOB； 所以 ∠MPN=180°-2×35°=110°． 10．关于折叠（翻折），下列说法正确的是（　　） A．折叠前后的两个图形全等　　B．折痕不平分对应点所连的线段 C．折叠后对应角互为补角　　D．折叠会改变图形的形状和大小 【答案】A 折叠是轴对称变换，前后两图形全等，A 正确；折痕垂直平分对应点连线，B 错误；对应角相等而非互补，C 错误；折叠不改变形状与大小，D 错误． 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，用直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 D、交 BC 于点 E，连接 AE。 （1）作出线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若 AC=3，求 AE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）2√3 （1）分别以 A，B 为圆心、大于 1/2AB 的同样长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与 AB、BC 交点即 D，E； （2）DE 垂直平分 AB，所以 EA=EB，∠EAB=∠B=30°； ∠BAC=60°，∠EAC=60°-30°=30°； 在 Rt△AEC 中，∠C=90°，∠EAC=30°，AE×√3/2=AC=3； 所以 AE=3×2/√3=2√3． 12．如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将长方形沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F。 （1）求证 AE=AF； （2）求折痕 EF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）15/2 （1）折叠后 AF=CF；AB∥CD，∠AEF=∠EFC； 折叠使 ∠AFE=∠CFE，所以 ∠AEF=∠AFE，AE=AF； （2）由（1）AE=AF=CF，设 AE=AF=CF=x，则 DF=8-x； 在 Rt△ADF 中，AF2=AD2+DF2，即 x2=62+(8-x)2，解得 x=25/4； 过 F 作 FH⊥AB 于 H，则 FH=6，EH=AE-AH=x-(8-x)=2x-8=9/2， EF=√(EH2+FH2)=√((9/2)2+62)=√(81/4+36)=15/2． 13．如图，∠AOB=90°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=2√2，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，则 △PMN 周长的最小值是 ______． 【答案】4√2 作 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2，周长最小值 =P1P2； OP1=OP2=2√2，∠P1OP2=2×90°=180°，即 P1，O，P2 共线； 所以 P1P2=OP1+OP2=2√2+2√2=4√2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 轴对称【最短路径（将军饮马）+ 尺规作图与折叠 专题讲义】2026~2027学年人教版八年级上册数学 课标要点 1. 理解轴对称的基本性质，能识别轴对称图形，会确定其对称轴。 2. 掌握线段垂直平分线与角平分线的性质，能作已知图形关于某条直线的对称图形。 3. 能运用轴对称解决最短路径问题，体会「作对称、化折为直」的转化思想。 4. 理解折叠（翻折）的本质是轴对称变换，会运用折叠前后图形的全等关系解决问题。 5. 掌握尺规作图的基本方法，会作对称轴、对称点与轴对称图形，并能说明作图依据。 6. 经历操作、作图与推理的过程，发展几何直观、空间观念与逻辑推理能力。 学习重难点 重点：① 轴对称的性质与「作对称、化折为直」的转化方法；② 将军饮马模型的三种基本类型（基础模型、造桥选址、角内定点周长最小）；③ 尺规作图的基本操作（作对称轴、作对称点、作轴对称图形）；④ 折叠前后对应边相等、对应角相等及各角度、线段长度的计算。 难点：① 在复杂图形中准确确定定点与动点、选对对称轴；② 造桥选址问题中利用平移把折线「拉直」；③ 折叠问题中挖掘隐藏的等量边角，并借助方程思想与分类讨论解决问题。 模块一　最短路径（将军饮马） 知识点　将军饮马核心原理 将军饮马问题是轴对称最值问题中最经典的模型：借助轴对称把折线转化为直线，再依据「两点之间线段最短」求出线段和的最小值。核心口诀：作对称，化折为直。解决最短路径问题的通用思想，就是把「折」着走的路，通过轴对称或平移「拉直」，使所求的最短值落在一条线段上。 基础模型：定点 A，B 在直线 l 的同侧，在 l 上求一点 P，使 PA+PB 最小。作法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于点 P，此时 PA+PB 最小，最小值为线段 A'B 的长。 拓展模型①——造桥选址：A，B 两村被一条河隔开，河的两岸 l1∥l2，河宽为定值 d，要在河上造一座垂直于河岸的桥 MN（M 在 l1 上，N 在 l2 上），使 AM+MN+NB 最小。作法：把点 A 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽 d 得到 A'，连接 A'B 交 l2 于点 N，过 N 作 l1 的垂线，垂足为 M，则在此处造桥路径最短。 拓展模型②——角内定点周长最小：P 是 ∠AOB 内部一定点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，求 △PMN 周长的最小值。作法：作点 P 关于 OA 的对称点 P1、关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2，分别交 OA，OB 于点 M，N，此时 △PMN 的周长最小，最小值等于线段 P1P2 的长。 【特别提醒】① 先分清定点与动点：对称点只能作在定点上（定点是「以直线为轴的对称」的对象），动点在直线上，不要给动点作对称点；② 对称点要作在直线的另一侧，作错位置会使连线与直线交不到动点应处的范围；③ 只有当两定点在直线同侧时才需要作对称点，两定点在直线异侧时直接连线段即可；④ 角内定点求周长最小要作两个对称点，缺一不可。 随学随练 〔基础〕 1．直线 l 的同侧有两个定点 A，B，点 P 在 l 上移动。下列作法中，能使 PA+PB 最小的是（　　） A．连接 AB 交 l 于点 P　　B．作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于点 P C．作 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'A 交 l 于点 P　　D．作线段 AB 的垂直平分线交 l 于点 P 2．点 A(2,3)，B(5,-1)，P 是 x 轴上一动点，则 PA+PB 的最小值是 ______． 3．如图，∠AOB=50°，P 为角内一点，点 M 在射线 OA 上，点 N 在射线 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______． 4．如图，直线 l 是一条河岸，A，B 是 l 同侧的两个定点。 （1）在 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）写出你作图的依据． 5．在平面直角坐标系中，已知 A(1,3)，B(4,1)，点 P 是 x 轴上的动点。 （1）求 PA+PB 的最小值； （2）当 PA+PB 取最小值时，求点 P 的坐标． 知识点　通用解题思路归纳 解决最短路径问题的通用套路：第一步，找出定点与动点，确定动点所在的直线（即对称轴所在直线）；第二步，对定点作关于该直线的对称点，把「同侧」转化为「异侧」；第三步，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求动点，所连线段的长即为最小值。辅助线的通用做法：过定点作对称点，连接对称点和另一定点，与动点所在直线相交，辅助线一律用虚线。 【特别提醒】①「求线段和最小」与「求周长最小」做法不同：线段和最小一般只作一个对称点、连一条线段；周长最小往往要作两个（或更多）对称点，把「周长」化成一条展开的折线。② 注意题目问的是「最小值」还是「点的位置」，两者都要能答；③ 若题目要求作图，务必保留对称点、连线的作图痕迹。 随学随练 〔基础-中档〕 1．如图，在等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AD=6，点 P 是 AD 上一动点，点 E 是 AB 的中点，则 PB+PE 的最小值是 ______． 2．如图，∠AOB=60°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=2，点 M，N 分别在射线 OA，OB 上，当 △PMN 的周长最小时，该最小周长是 ______． 3．如图，∠AOB=40°，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数为（　　） A．100°　　B．110° C．120°　　D．140° 4．如图，A，B 两村在一条河的南岸（同侧），河岸为直线 l。现要在 l 上建一个水泵站 P，使 P 到 A，B 两村的管线总长最短。已知 A 到 l 的距离为 3 km，B 到 l 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 4 km。 （1）画出水泵站 P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求 PA+PB 的最小值． 5．如图，∠AOB=30°，P 为 ∠AOB 内一定点，OP=5，在 OA 上求点 M、在 OB 上求点 N，使 △PMN 的周长最小。 （1）作出点 M，N 的位置（保留作图痕迹）； （2）求 △PMN 周长的最小值． 活学活用 〔中档偏难〕 1．如图，A，B 两镇之间有一条笔直的河流，河的两岸 l1∥l2，河宽为 1 km。A 到 l1 的距离为 2 km，B 到 l2 的距离为 2 km，A，B 沿河岸方向相距 3 km。现要在河上建一座垂直于河岸的桥 MN（M 在 l1 上，N 在 l2 上），使 A→M→N→B 的路程最短。 （1）确定桥 MN 的位置（保留作图痕迹）； （2）求最短路程 AM+MN+NB． 2．如图，A，B 两地在直线 l 的同侧，且 A 到 l 的距离大于 B 到 l 的距离，AB=7 km。点 P 在直线 l 上移动。 （1）求 |PA-PB| 的最大值； （2）当 |PA-PB| 取最大值时，说明点 P 的位置． 3．如图，A，B 分别是 ∠MON 的边 OM，ON 上的定点，点 P 在 ON 上、点 Q 在 OM 上，求作点 P，Q，使 AP+PQ+QB 最短。 （1）作出点 P，Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）说明你的作图依据． 题型1　经典将军饮马·单动点线段和最小 【解题贴士】辅助线做法：过定点作关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点。切入点：把两条线段接到同一条直线上，对称点与另一定点的连线与动点所在直线的交点即所求动点。易错坑：① 两点同侧才作对称点、异侧直接连；② 对称点作错一侧会使连线交不到动点所在范围；③ 最小值是「对称点到另一定点」的距离，不是对称点到原定点的距离。 ▌例1如图，在等边三角形 ABC 中，边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上的动点，E 是 AC 上一点且 AE=2。当 EF+CF 取最小值时，∠ECF= ______． ▌例2如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，求 CE+EF 的最小值． ▌对点练1-1如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 AB 上一点且 AE=1，P 是 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值是 ______． ▌对点练1-2如图，直线 l 的同侧有 A，B 两点，A 到 l 的距离为 2，B 到 l 的距离为 6，A，B 沿 l 的方向相距 6。点 P 在 l 上，求 PA+PB 的最小值． 题型2　造桥选址·两定两动最短路径 【解题贴士】辅助线做法：把某一岸的定点沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用「平移法」把造桥问题转化为将军饮马问题。切入点：先平移、再连线段找交点、最后平移回去还原桥的位置；路程 = 平移后的连线长 + 各段桥长。易错坑：① 桥必须垂直于河岸，平移方向要沿垂直河岸方向；② 平移的是定点而不是动点；③ 有两条河时要把相应河宽逐段平移叠加；④ 算路程时别忘了加上桥本身的长度。 ▌例1如图，A，B 两村被一条河隔开，河的两岸 l1∥l2，河宽为 2 km，A 到 l1 的距离为 3 km，B 到 l2 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 3 km。要在河上造一座垂直于河岸的桥 MN，使 AM+MN+NB 最小。 （1）确定桥 MN 的位置（保留作图痕迹）； （2）求最短路程． ▌例2如图，A，B 两村之间隔着两条互相平行的小河，两河宽分别为 2 km 和 3 km，A 到第一条河近岸 l1 的距离为 1 km，B 到第二条河远岸 l4 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 8 km。要在两条河上各造一座垂直于河岸的桥，使 A 到 B 的路程最短。 （1）确定两座桥的位置（保留作图痕迹）； （2）求最短路程． ▌对点练2-1如图，A，B 两村被一条河隔开，河的两岸平行，河宽为 4 km。A 到所在一侧河岸的距离为 1 km，B 到其所在一侧河岸的距离为 2 km，A，B 沿河岸方向相距 4 km。在河上造一座垂直于河岸的桥，使 A 到 B 的路程最短，最短路程是 ______ km． ▌对点练2-2如图，A，B 两村被一条河隔开（河岸 l1∥l2，河宽为 d），要在河上造一座垂直于河岸的桥 MN，使 A 到 B 的路程最短。 （1）作出桥 MN 的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）说明作图的依据． 题型3　角内定点·三角形周长最小 【解题贴士】辅助线做法：作角内定点关于角两边的两条对称点。切入点：把「三角形周长」中的两条边分别翻到角的另一边，使周长化成一条线段（两对称点的连线）。易错坑：① 两个对称点都要作；② 连线后要分别与角的两边相交，方向别弄反；③ 最小值等于两对称点连线段长，通常放在等腰三角形（顶角 = 2∠AOB）中用勾股或三角函数来算。 ▌例1如图，∠AOB=α，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______（用含 α 的式子表示）． ▌例2如图，∠AOB=60°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=4，点 M，N 分别在射线 OA，OB 上，求 △PMN 周长的最小值． ▌对点练3-1如图，∠AOB=45°，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______． ▌对点练3-2如图，∠AOB=30°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=6，在 OA、OB 上分别求点 M，N，使 △PMN 的周长最小。 （1）作出点 M，N（保留作图痕迹）； （2）求 △PMN 周长的最小值． 模块二　轴对称尺规作图与折叠专题 知识点　轴对称相关尺规作图 尺规作图是指只用无刻度的直尺和圆规，且必须保留作图痕迹的作图方法。轴对称相关的尺规作图主要有三类：作对称轴、作点关于直线的对称点、作轴对称图形。 作对称轴：连接一对对应点，作这条线段的垂直平分线，即为对称轴。作点关于直线的对称点：过该点作直线的垂线，在垂线与直线交点（垂足）的另一侧截取与原点到垂足距离相等的线段，端点即为对称点。作轴对称图形：分别作出图形的各个关键点（如三角形的三个顶点）关于直线的对称点，再按原图形的顺序顺次连接。 【特别提醒】尺规作图常见丢分点：① 不保留作图痕迹（弧、交点、连线都要清晰地留下）；② 关键点不标字母，无法判分；③ 用直尺随手画线代替尺规作图；④ 作轴对称图形时漏作某个顶点；⑤ 要求「保留作图痕迹，不写作法」时，弧和交点也必须画全，不能省。 随学随练 〔基础〕 1．用尺规作图作线段 AB 的垂直平分线，其依据是「到线段两端点距离 ______ 的点，在线段的垂直平分线上」． 2．如图，已知点 A 和直线 l，求作点 A 关于直线 l 的对称点 A'（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 3．如图，已知 △ABC 和直线 l，求作 △ABC 关于直线 l 对称的 △A'B'C'（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 4．如图，△ABC 与 △DEF 关于某条直线对称，求作这条对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 5．关于尺规作图，下列说法正确的是（　　） A．可以用刻度尺度量长度来作图　　B．作图时要保留作图痕迹 C．作图完成后不需要写结论　　D．画图痕迹可以擦掉 知识点　折叠专题核心性质 折叠（翻折）的本质是轴对称变换。核心性质：① 折叠前后两个图形全等，对应边相等、对应角相等；② 折痕所在的直线就是对称轴，它垂直平分每一对对应点所连的线段；③ 折叠后与原边不重合的部分常出现等腰三角形或直角三角形。题型归类：按图形分有三角形折叠和矩形（长方形）折叠；按目标分有求角度、求线段长度，后者常需结合方程思想，并注意分类讨论。 【特别提醒】挖掘隐藏的等量边角：① 折叠前后全等，第一时间找出对应边、对应角相等；② 折痕垂直平分对应点连线，可用来确定对称关系；③ 若折叠后某条对应边与原边共线（如落在同一直线上），往往能凑出等腰三角形或直角；④ 求线段长度时把所求量设为 x，用「对应边相等 + 勾股定理」列方程；⑤ 对应点位置不确定时，要按不同情况分类讨论。 随学随练 〔基础-中档〕 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上的点 A' 处，折痕为 CD，则 ∠A'DB= ______°． 2．如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。若 ∠BDC=62°，则 ∠DFE 的度数为（　　） A．31°　　B．28° C．62°　　D．56° 3．如图，将 △ABC 折叠，使点 A 与边 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，点 N 在 AB 上。若 AB=9，BC=6，则 △DNB 的周长是 ______． 4．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 DF，点 D 在 BC 上。已知 CD=1，∠B=30°，则 BD 的长为（　　） A．1　　B．2 C．3　　D．2.5 5．如图，把长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 B' 处，AB' 交 CD 于点 E。 判断 △ACE 的形状，并说明理由． 活学活用 〔中档偏难〕 1．如图，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 A' 处。若 ∠A=40°，则 ∠1+∠2= ______°（∠1，∠2 分别为 A'D，A'E 与原边所成的角）． 2．如图，把长方形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C，D 分别落在点 C'，D' 处。若 ∠EFB=65°，则 ∠AED'= ______°． 3．如图，在 △ABC 中，∠B=30°，∠C=40°。 （1）尺规作图：① 作边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D；② 连接 AD，作 ∠CAD 的平分线交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求 ∠DAE 的度数． 题型1　尺规作图辨析与实操作图 【解题贴士】辅助线做法：作对称轴＝作对应点连线的垂直平分线；作对称点＝过点作垂线并在另一侧截取等距。切入点：先找对应点或关键点，再用「垂直平分线」「对称点」的基本作图完成。易错坑：① 不做垂直平分线而凭感觉画对称轴；② 作对称点时只在同侧取点；③ 作图痕迹不全（弧、交点、标注字母缺一）；④ 辨析题要看弧的圆心和半径是否对应所求图形。 ▌例1下面是四位同学所作的 △ABC 关于直线 l 的对称图形，其中正确的是（　　） ▌例2已知 ∠α（锐角）和线段 a，用直尺和圆规作 Rt△ABC，使 ∠C=90°，∠A=∠α，斜边 AB=a（保留作图痕迹，不写作法）． ▌对点练1-1如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=120°。利用无刻度的直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线 DE，分别交 AB，BC 于点 D，E（保留作图痕迹）． ▌对点练1-2如图，在 4×4 的正方形网格中（小方格边长为 1），点 A，B 都是格点，仅用一把无刻度的直尺作出线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹）． 题型2　折叠求角度计算 【解题贴士】辅助线做法：折叠问题无需额外辅助线，关键是标出对应角。切入点：先在折痕处把「对应角相等」标注出来，再利用平行线内错角、三角形内角和 180°、平角 180° 逐步推出目标角。易错坑：① 混淆「折叠前的角」和「折叠后的对应角」；② 忘记折痕两边对称的两个角相等；③ 在四边形（矩形）折叠中，先找平行线带来的内错角、同旁内角关系。 ▌例1如图，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 A' 处。若 ∠A=45°，则 ∠1+∠2= ______°． ▌例2如图，把长方形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C，D 分别落在点 C'，D' 处。若 ∠EFB=70°，则 ∠AED'= ______°． ▌对点练2-1如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=65°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上的点 A' 处，折痕为 CD，则 ∠A'DB= ______°． ▌对点练2-2如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。若 ∠BDC=58°，则 ∠DFE= ______°． 题型3　折叠求线段长度（矩形、三角形折叠） 【解题贴士】辅助线做法：把折痕当成对称轴，连接对应点或把折叠产生的等边标出。切入点：利用「折叠后对应边相等」把一条边转化到已知边上，再用勾股定理；涉及未知长度时设 x 列方程。易错坑：① 用错对应边（折叠前后哪条边等于哪条边）；② 列方程时漏用直角；③ 在矩形折叠中，注意落点是否在边上，必要时分类讨论。 ▌例1如图，将 △ABC 折叠，使点 A 与边 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，点 N 在 AB 上。若 AB=12，BC=4，则 △DNB 的周长是 ______． ▌例2如图，把长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F。已知 AB=8，BC=4，求 AE 的长． ▌对点练3-1如图，折叠直角三角形纸片的直角，使顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 DF，点 D 在 BC 上。已知 CD=2，∠B=30°，则 BD= ______． ▌对点练3-2如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，AD=8，将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。求 DF 的长． 题型4　折叠综合（方程思想、分类讨论） 【解题贴士】辅助线做法：折叠综合通常把折痕当对称轴，配合勾股定理列方程；若落点位置不明确，要按「落在边上／落在延长线上／落在内部」等分类。切入点：先用对应边角相等化简，再设未知量列方程；分类时把每一种情况都画出来分别求解。易错坑：① 只解出一种情况而漏掉其他情况；② 方程化简时符号算错；③ 把「以某边为底」当成「以某边为腰」，导致条件用错。 ▌例1如图，把长方形 ABCD 沿过点 A 的直线 AE 折叠，使点 B 落在边 CD 上的点 B' 处。已知 AB=10，AD=6，则 B'C= ______． ▌例2如图，在 △ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC，点 D 是边 BC 上一点（不与 B，C 重合），将 △ABD 沿 AD 翻折得到 △AB'D，连接 B'C。当 △DB'C 是以 DB' 为底边的等腰三角形时，求 ∠BAD 的度数． ▌对点练4-1如图，把 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 A' 处。若 ∠A=55°，则 ∠1+∠2= ______°． ▌对点练4-2如图，将长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F。已知 AB=8，BC=4。 （1）求证 AE=AF； （2）求折痕 EF 的长． 基础通关 1．在平面直角坐标系中，点 A(1,2)，B(4,-1)，点 P 是 x 轴上的动点，则 PA+PB 的最小值是（　　） A．3√2　　B．√34 C．5　　D．2√5 2．如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。若 ∠BDC=68°，则 ∠DFE 的度数为（　　） A．44°　　B．68° C．22°　　D．136° 3．直线 l 的同侧有 A，B 两点，A 到 l 的距离为 1，B 到 l 的距离为 3，A，B 沿 l 的方向相距 3。点 P 在 l 上，则 PA+PB 的最小值是 ______． 4．如图，把长方形 ABCD 沿过点 A 的直线 AE 折叠，使点 B 落在边 CD 上的点 B' 处。已知 AB=10，AD=6，则 B'C= ______． 5．关于尺规作图，下列说法错误的是（　　） A．只用无刻度的直尺和圆规作图　　B．作图时要保留作图痕迹 C．可以先用刻度尺量出线段长度再作图　　D．作图完成后要写出结论 6．如图，A，B 两村被一条河隔开，河的两岸 l1∥l2，河宽为 3 km，A 到 l1 的距离为 2 km，B 到 l2 的距离为 1 km，A，B 沿河岸方向相距 4 km。在河上造一座垂直于河岸的桥，使 A 到 B 的路程最短，最短路程是 ______ km． 7．在平面直角坐标系中，已知 A(2,4)，B(6,2)，点 P 是 x 轴上的动点。 （1）求 PA+PB 的最小值； （2）求 PA+PB 取最小值时点 P 的坐标． 8．如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=8，将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F。求 DF 的长． 9．如图，∠AOB=35°，P 为 ∠AOB 内一点，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，当 △PMN 的周长最小时，∠MPN= ______°． 10．关于折叠（翻折），下列说法正确的是（　　） A．折叠前后的两个图形全等　　B．折痕不平分对应点所连的线段 C．折叠后对应角互为补角　　D．折叠会改变图形的形状和大小 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，用直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 D、交 BC 于点 E，连接 AE。 （1）作出线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若 AC=3，求 AE 的长． 12．如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将长方形沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F。 （1）求证 AE=AF； （2）求折痕 EF 的长． 13．如图，∠AOB=90°，P 为 ∠AOB 内一点，OP=2√2，点 M 在 OA 上、点 N 在 OB 上，则 △PMN 周长的最小值是 ______． 学科网（北京）股份有限公司 $