精品解析：河南郑州市第二高级中学2026-2027学年高三上学期10月份供题数学试题

高三数学10月份供题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是模长均为1的平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A. 13 B. 17 C. 15 D. 19 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，每道题有两个及以上的正确答案，错选多选不得分，少选得部分分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，，则 B. 相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X服从正态分布 ，且，则 11. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 13. 已知球的体积与表面积相等，点，，，，均在球的表面上.四边形为正方形，且.若与平面所成角的正切值为，则正方形的面积为___________. 14. 已知函数，正数，满足，则的最小值为_______ 四、解答题（77分） 15. 已知数列 满足 ，. （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 16. 如图1，梯形中，AB和CD是梯形的高，，，，将和沿AB和CD折起，使和重合于点P，如图2. （1）求证：平面； （2）M是BC上的动点，连接AM，PM，作于H，连接CH. ①若M是BC中点，求平面AHC与平面PAD夹角的余弦值； ②当CH最短时，求BM的长. 17. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）估计该小区用户月用电量的中位数； （3）用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于相互独立，从该小区随机抽取10户居民用户，表示月用电量小于的户数，求． 18. 已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设，，求的值. 19. 将函数图象向左平移个单位长度得到图象． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学10月份供题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意得：，解得， 所以函数的定义域为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程求出集合B的全部元素，再利用交集的运算法则计算求解． 【详解】，则，解得，即， ． 3. 已知，是模长均为1的平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，即，可得. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A. 13 B. 17 C. 15 D. 19 【答案】B 【解析】 【详解】由得. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率 所以切线方程为，即. 6. 如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，， 所以为平面的一个法向量， 因为平面的法向量为， 设二面角的大小为，为锐角， 则． 7. 已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知，为偶函数，并且当时，，还可看出，即可选出选项. 【详解】由图象得函数的定义域为，且图象关于轴对称，即为偶函数， 当时，. 在选项BC中，当时，，故排除BC， 在选项D中，，排除D，故只有选项A满足图象. 二、多选题（每题6分，共18分，每道题有两个及以上的正确答案，错选多选不得分，少选得部分分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】. 对于A，，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，因虚数不能比较大小，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，，则 B. 相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X服从正态分布 ，且，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B正确； 对于C，在线性回归分析中，若值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入曲线中证明关于原点对称判断A，先求出部分整点，再判断不存在其他整点求解B，结合给定条件并利用放缩法得到，再设出曲线上的点到原点的距离，解不等式得到判断C，先找到特殊交点，再转化为方程有解问题，建立不等式判断D即可. 【详解】对于A，把代入中， 得到 故，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确. 对于B，令，得到， 解得或，即曲线经过，，， 由图可得，令，得到， 解得，而， 故，故， 令，得到， 解得，而， 故，得到， 而，故， 得到，故， 则曲线只能经过3个整点，故B错误， 对于C，由题意得，， 故，而，得到， 故，即， 设曲线上任意一点到坐标原点的距离为， 由两点间距离公式得， 而，解得，即， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3，故C正确， 对于D，由题意得直线与曲线一定有公共点， 联立方程组，得到， 若直线与曲线只有一个交点，则方程除外无解， 而，，则即可， 解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 【答案】62 【解析】 【详解】∵ 等比数列公比， ∴ ，解得. ∵ ， ∴ . ∴ . 13. 已知球的体积与表面积相等，点，，，，均在球的表面上.四边形为正方形，且.若与平面所成角的正切值为，则正方形的面积为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】先根据已知条件求出球的半径，然后分析几何结构，建立参数关系，然后利用外接球性质列方程求解，最后即可求出正方形的面积. 【详解】设球的半径为，因为球的体积与表面积相等， 所以，解得. 设正方形的中心为，由可知， 平面，球心在直线上. 设正方形的边长为，则正方形对角线长为，因此. 与平面所成角为，由题意. 在中，，代入，得. 点在球表面，故，在中，. 由勾股定理得：，代入对应值. 化简得. 由于，所以. 所以正方形的面积为. 14. 已知函数，正数，满足，则的最小值为_______ 【答案】9 【解析】 【详解】，定义域为， ，故是奇函数， ，所以在单调递增， 由，得 ， 因为单调递增，所以，即， 由题意得，，， ，当且仅当，即时取等号， ，解得，满足， 故，即最小值为. 四、解答题（77分） 15. 已知数列 满足 ，. （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前项和. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由(1)得：， 所以， 所以. 16. 如图1，梯形中，AB和CD是梯形的高，，，，将和沿AB和CD折起，使和重合于点P，如图2. （1）求证：平面； （2）M是BC上的动点，连接AM，PM，作于H，连接CH. ①若M是BC中点，求平面AHC与平面PAD夹角的余弦值； ②当CH最短时，求BM的长. 【答案】（1）由折叠性质可知,，且原梯形中，故折叠后； 是梯形的高，因此为矩形，得，且, 在中，，由勾股定理逆定理得, 又，且平面，根据线面垂直判定定理，可得平面; （2）①;②当最短时，. 【解析】 【分析】（1）由折叠性质直接得到，用勾股定理逆定理证明，由线面垂直判定定理，通过两条相交直线证得结论；（2）①建立空间直角坐标系，利用垂直条件求出垂足的坐标，分别确定两个平面的法向量，用空间向量夹角公式计算二面角的余弦值； ②设为参数，用表示点坐标，将长度转化为关于的函数，通过求导找函数最小值点，得到的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 由是中点，得， 设，则，，， 由得，即，因此， 平面的一个法向量是， 设平面的法向量为，由、，得，令，解得， 设平面AHC与平面PAD夹角为，则， 所以若M是BC中点，平面AHC与平面PAD夹角的余弦值是； ②设（），则，设，则， 由得，解得，因此， ，则可化简为， 令，，令，即，解得正根， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以为极小值点即最小值点，故当最短时，. 17. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）估计该小区用户月用电量的中位数； （3）用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于相互独立，从该小区随机抽取10户居民用户，表示月用电量小于的户数，求． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程，求解参数值即可. （2）判断出样本数据的中位数落在哪个区间内，进而根据中位数的求解方法列式，即可求得答案. （3）先根据用电量小于的频率估计概率，确定随机变量服从二项分布，并利用二项分布的数学期望公式进行求解. 【小问1详解】 由图可得组距为，根据频率和为， 得， 解得． 【小问2详解】 由图可得第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 因为前两组的累计频率为， 前三组的累计频率为， 所以中位数位于第三组内， 设中位数为，则， 解得． 【小问3详解】 用电量小于的频率为， 所以用频率估计概率，从该小区随机抽取户居民用户， 其用电量小于的概率， 从该小区抽取户居民用户，设表示用电量小于的户数， 则服从二项分布， 则． 18. 已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． 19. 将函数图象向左平移个单位长度得到图象． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值； （3）设，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：令，因为，所以，， 则， 所以等价于. 令，，则， 因为当时，单调递减，单调递减， 所以当时，单调递减. 又，， 所以，使得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，， 所以， 所以当时，，即. 故当时，. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合基本初等函数的导数及简单复合函数的导数求解即可. （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）令，将转化为，构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系证明即可. 【小问1详解】 由题意知. 则. 又， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得. 【小问2详解】 令，即，所以， 所以或，. 又，所以或或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，在处取得最大值， 为. 故函数在上的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $