专题03 全等辅助线与角平分线（期中复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

八年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题03 全等辅助线与角平分线 人教八上 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 本专题是期中区分度板块，题型以填空压轴、几何证明大题为主。 考点围绕角平分线性质与判定、倍长中线、截长补短、作平行线构造全等、多次全等综合证明。 中档题侧重角平分线距离转化；压轴大题以辅助线构造全等、线段和差证明为主。 难度偏高，易错集中在角平分线性质遗漏垂直条件、辅助线叙述不规范、线段和差证明找不到构造思路、多次全等不会转化前序结论。 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 牢记角平分线性质与判定；熟记倍长中线、截长补短辅助线的构造方法。 理解 理解角平分线性质使用的前提条件（垂直）；理解倍长中线构造全等实现线段转移的原理；理解截长补短用来证明线段和差的思路。 应用 能添加辅助线，运用角平分线性质解决计算证明；会用倍长中线转化线段；利用截长补短证明线段和差关系，完成期中几何大题。 6 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 角平分线性质与判定 考点二 倍长中线构造全等 考点三 截长补短证明线段和差 核心要点精讲 1.性质：角平分线上一点，到角两边的距离相等。 2.判定：在角内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。 ⚠️避坑指南 使用角平分线性质，必须满足垂直条件，缺少垂直不能直接用距离相等。 考点一 角平分线性质与判定 A O B C P F ∟ E ∟ ∵ 点P是∠AOB的平分线OC上的一点， 且PE⊥OA，PF⊥OB ∴ PE=PF 角平分线是到角两边距离相等的点的集合 10 核心要点精讲 遇到中点/中线，延长中线至等长，构造全等三角形，实现线段转移。 考点二 倍长中线构造全等 “倍长中线”是指 加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明） 口诀记忆 见中点，想倍长；延长一倍构全等； 八字模型 SAS；边角转移好计算。 11 核心要点精讲 用于证明线段和、差关系： 长线段截取一段等于短线段（截长）； 短线段向外延长补齐（补短）。 📌概念辨析 倍长中线：核心转移线段；截长补短：核心证明线段和差。 考点三 截长补短证明线段和差 证明一条线段等于另外两条线段之和（），或一条线段等于两条线段之差（）。 思路本质：截长补短法，搭配全等三角形、等腰三角形性质。 口诀记忆 长上面截，短外面补，构造全等 12 PART 05 重难题型突破 题型一 角平分线性质、判定及角平分线双垂辅助线 题型二 倍长中线构造全等 题型三 截长补短证明线段和差关系 题型四 手拉手构造全等 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 题型六 多次全等综合证明大题 重难题型突破 典例1 （25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，． (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)若，，求的面积． 题型一 角平分线性质、判定及角平分线双垂辅助线 (1)如图所示，的平分线即为所求： H ∟ （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 💡破题要诀 1.角平分线性质:角平分线上的点，到角两边的距离相等 2.角平分线判定:角内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上3.使用角平分线性质，必须具备垂直条件 4.角平分线常规辅助线:向角的两边作垂线，构造全等直角三角形。 14 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S_(△ABC)=16.8，DE=2.8，AC=5，则AB的长是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型一 角平分线性质、判定及角平分线双垂辅助线 解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． B 15 重难题型突破 题型一 角平分线性质、判定及角平分线双垂辅助线 迁移应用 2．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，揭阳古城里有一块由三条路围成的三角形绿地，规划在绿地里面修建一个亭子，使亭子中心到三条路的距离相等，则亭子应该建在（    ） A．在边两条高的交点处 B．在边两条中线的交点处 C．在边两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 D 解：由三角形的内角平分线的性质， 这个亭子应修建在三条角平分线的交点处， 即在和两条角平分线的交点处． 16 重难题型突破 题型一 角平分线性质、判定及角平分线双垂辅助线 迁移应用3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，，连接，．若是边上一动点，则长的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D．6 解：∵，， ∴， ， ∴， 由垂线段最短得，时最小，  此时，． B P ∟ 17 重难题型突破 典例2 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 题型二 倍长中线构造全等 18 重难题型突破 典例2 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是____ _． 题型二 倍长中线构造全等 解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， （2）∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 19 重难题型突破 典例2 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 题型二 倍长中线构造全等 （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使， 连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 20 💡破题要诀 1.题目出现中点、中线，优先考虑倍长中线。 2.辅助线做法:延长中线至一倍长度，构造 SAS 全等三角形。 3.作用:转移线段、转移角度，把分散条件集中到同一个三角形 重难题型突破 典例2 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 题型二 倍长中线构造全等 （4）．理由如下：延长至G， 使，连接，则， ∵点D为的中点，∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴，∴． 21 重难题型突破 迁移应用1．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 题型二 倍长中线构造全等 (1)解： 是中线，． 在和中， ∵， ． (2)解：延长到，使， 连接．为中点， ． 在和中， ∵， ． ，． ，． 22 重难题型突破 迁移应用1．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 题型二 倍长中线构造全等 ，， ． ． 又 ， ． 在和中， ， ． ． ， ． 23 重难题型突破 题型二 倍长中线构造全等 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 24 重难题型突破 题型二 倍长中线构造全等 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 解：（1）如图①，延长到点，使，连接，  是的中点，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 25 重难题型突破 题型二 倍长中线构造全等 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. （2）证明：如图，延长到点， 使，连接， 由（1）可得， ， 平分， ，； 26 重难题型突破 题型二 倍长中线构造全等 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）【方法呈现】 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. （3）解：如图③，延长，交于点， ，， 在和中， ∵， ， ， 是的平分线， ， ，， ，． 27 重难题型突破 典例3 （24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 题型三 截长补短证明线段和差关系 （1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； 28 💡破题要诀 1.适用场景:求证一条线段等于另外两条线段之和(a = b+ c) 2.截长:在长线段上截取一段等于短线段，再证剩余线段相等, 3.补短:延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证总长等于长线段。 4.核心思路:构造全等三角形完成线段转化。 重难题型突破 典例3 （24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点 (2)求证：． 题型三 截长补短证明线段和差关系 F (2)证明：在上截取，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵， ∴ ，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵平分，∴， 在和中 ∵，     ∴ ， ∴， ∵，∴． 29 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． 题型三 截长补短证明线段和差关系 (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 30 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． 题型三 截长补短证明线段和差关系 (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (1)解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 31 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西延安·期末） 题型三 截长补短证明线段和差关系 (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)解：，理由：如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 32 重难题型突破 题型三 截长补短证明线段和差关系 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】  (1)如图①，在中，平分，交于点，且 求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 33 重难题型突破 题型三 截长补短证明线段和差关系 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】  (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (1)证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分，， 在和中， ∵ ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 34 重难题型突破 题型三 截长补短证明线段和差关系 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵ ， ，， ． 35 重难题型突破 题型三 截长补短证明线段和差关系 3．（24-25八年级上·北京·期中）请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠（即），使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，即作的平分线，交于E，在边上截，连结，则可通过证明全等得到： ① ． 再由外角可以得到： ② ，∴． 这样，我们证明了，在一个三角形中，大边所对的角也较大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化，利用这样的想法，请解决以下问题： 已知：如图2，中，，平分，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 36 重难题型突破 题型三 截长补短证明线段和差关系 3．（24-25八年级上·北京·期中）请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠（即），使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，即作的平分线，交于E，在边上截，连结，则可通过证明全等得到： ① ． 再由外角可以得到： ② ，∴． 解：∵平分，∴， 又∵，， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， ∴①为，②为； 37 重难题型突破 题型三 截长补短证明线段和差关系 3．（24-25八年级上·北京·期中）请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 已知：如图2，中，，平分，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 解：，理由如下： 在上取点F，使， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 38 重难题型突破 典例4 （25-26七年级下·安徽宿州·期末） 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由 题型四 手拉手构造全等 (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． 39 重难题型突破 典例4 （25-26七年级下·安徽宿州·期末） 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由 题型四 手拉手构造全等 (1)解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ∵， ， ． 40 重难题型突破 典例4 （25-26七年级下·安徽宿州·期末） 综合与探究 在和中，，，． 题型四 手拉手构造全等 (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． （2）解：由（1）知 ， ， 在和中，，， ， ， ， ． 41 重难题型突破 典例4 （25-26七年级下·安徽宿州·期末） 综合与探究 在和中，，，． 题型四 手拉手构造全等 (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． (3)， 证明：由（1）知， ，， 分别为，的中点， ，， ， 在和中， ∵， ， ，， ， 即， ， 即， ． 42 重难题型突破 典例4 （25-26七年级下·安徽宿州·期末） 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 (1)如图，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由 题型四 手拉手构造全等 (2)【模型应用】 如图，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图，，，分别为，的中点，连接，，，判断与的关系并说明理由． 💡破题要诀 1.两个等腰三角形共顶点，顶角相等，可构成手拉手全等。 2.拉手线段相等，对应夹角相等，常结合SAS证明全等。 3.常用于等边三角形、等腰直角三角形的旋转全等问题 43 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 题型四 手拉手构造全等 解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 44 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 题型四 手拉手构造全等 （2）同（1）可得， ， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 45 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 题型四 手拉手构造全等 解：（3），．理由如下：同（1）可得，， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 46 重难题型突破 题型四 手拉手构造全等 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． (1)证明：， ， 在和中， ， ， ． 47 重难题型突破 题型四 手拉手构造全等 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． （2）解：∵， ， 在中，， = ， 在中， ； 48 重难题型突破 题型四 手拉手构造全等 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． (3)为等边三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ∵ ， ， 又， ， ， ∴为等边三角形． 49 重难题型突破 题型四 手拉手构造全等 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则___________；（直接用含的代数式写出结果） (3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数． (1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； （2）解： ∵， ∴， ∵ ，， ∴； 50 重难题型突破 题型四 手拉手构造全等 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则___________；（直接用含的代数式写出结果） (3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数． （3）解：连接，由（1）可得：， ∴，， ∵G、H分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 51 重难题型突破 典例5 （23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． (1)证明：在上截取，使得， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，， ∵，∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； 52 重难题型突破 典例5 （23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 53 重难题型突破 典例5 （23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 💡破题要诀 1.题干同时出现角平分线与线段和差结论，优先考虑截长补短。 2.角平分线可提供一组等角，为全等提供角条件。 3.辅助线作出后，分步证明两组三角形全等。 54 重难题型突破 迁移应用 1．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 （1）解：如图，将沿折叠， 则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得： ，，， ，， ， ， ， ； 55 重难题型突破 迁移应用 1．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 （2） 证明：如图，在上截取，连接， 平分，， 在和中， ∵， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 56 重难题型突破 迁移应用 1．（24-25八年级上·湖北随州·期中） （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ∵， , ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 18 57 重难题型突破 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 迁移应用 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中） 【问题引入】（1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】（2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】（3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 解：（1） 中，， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 1 3 58 重难题型突破 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 迁移应用 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中） 【问题引入】（1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】（2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】（3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 1 3 59 重难题型突破 题型五 角平分线 + 截长补短综合大题 迁移应用 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中） 【问题引入】（1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】（2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】（3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 解： （3）如图， 在上截取，连接，  ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 1 3 60 重难题型突破 题型六 多次全等综合证明大题 典例6 （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，、在坐标轴上，其中、，满足，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点． (1)如图1，若，求出点、点的坐标． (2)如图2，交轴负半轴于点，连接，， 交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，直接写出与的关系． （1）解：∵， ， ∴， 解得：， ∵、，∴、； 61 重难题型突破 题型六 多次全等综合证明大题 典例6 （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，、在坐标轴上，其中、，满足，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点． (1)如图1，若，求出点、点的坐标． (2)如图2，交轴负半轴于点，连接，， 交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，直接写出与的关系． (2)证明：∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； 62 重难题型突破 题型六 多次全等综合证明大题 典例6 （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，、在坐标轴上，其中、，满足，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点． (3)在（2）的条件下，直接写出与的关系． （3）解：如图，分别过点A，F作轴， 轴，垂足分别为点M，N，则 ， ∴ ， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，同理 ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，∴． 63 重难题型突破 题型六 多次全等综合证明大题 典例6 （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，、在坐标轴上，其中、，满足，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点． (1)如图1，若，求出点、点的坐标． (2)如图2，交轴负半轴于点，连接，， 交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，直接写出与的关系． 💡破题要诀 1.采用逆向思维，从最终求证结论倒推需要证明的全等 2.第一组全等得到的边角相等结论，可以作为第二组全等的已知条件。 3.每一步推导都写明依据，不跳关键步骤。 64 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． 题型六 多次全等综合证明大题 (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） (1)解：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 65 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． 题型六 多次全等综合证明大题 (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） （2）解：根据题意，连接， ∵，∴，， ∵ ∴ ． 66 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 解：过点作， 此时取得最小值， ，， ， ，平分， ， 的最小值为， 68 2．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（ ） A．这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B．这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C．这个三角形任意两条高线的交点处 D．这个三角形任意两条中线的交点处 基础固本练 解：度假村到三条公路的距离相等，且三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等， 度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处， A 69 基础固本练 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为（    ） A．14 B．21 C．24 D．42 解：∵平分， ，，， ∴， ∵ ， B 70 基础固本练 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)直接写出的长 ． (1)证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分， 且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 8 71 基础固本练 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且．  (1)求证：． (2)若．求的值． (1)证明： 平分， ，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1）得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 72 综合进阶练 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 73 综合进阶练 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________ ； （1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴； 74 综合进阶练 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 75 综合进阶练 1．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴ ， ∴，∴， 设， ∴， ∵，∴， ∴， 在和中， ∵， ∴，∴． 76 综合进阶练 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究：（2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． （1）证明：， ， ， 在和中， ∵ ； 77 综合进阶练 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． 延伸探究：（2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． （2）①证明：由（1）， ∴，BD， ， ， ∵ ， ； 78 综合进阶练 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． 延伸探究：（2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 如图，在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ． ． 79 综合进阶练 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）【综合与实践】 【教材再现】问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小．请你完成问题1的解答过程． 【拓展探究】问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．根据以上思路，完成问题2的解答过程． 【类比迁移】问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 80 综合进阶练 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）【综合与实践】 【教材再现】问题1：如图1，，相交于点，比较与的大小．请你完成问题1的解答过程． 解：∵，相交于点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】问题2：如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别过点作射线的垂线，垂足分别为点，连接．求的度数． 解：在线段上截取，连接， ∵，∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴的度数为． 81 综合进阶练 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）【综合与实践】 【类比迁移】问题3：如图4，在问题2的基础上，当运动到的中点时，试探究线段和线段的数量关系，并证明． 解： ， 证明：在线段上截取， 连接，由问题2可知 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 82 $