上海市南洋模范中学2026-2027学年高三上学期10月阶段诊断与反馈数学试卷

2026学年第一学期南模中学高三年级阶段诊断与反馈 数学学科 （本次考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，4’*6+5’*6=54’） 1．底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为___________． 2．若，的值为___________． 3．不等式的解集是___________． 4．某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则___________． 5．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，，，则堑堵的外接球的体积是___________． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则___________． 7．已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________． 8．的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为___________． 9．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是___________． 10．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆上不同于A、的一点，直线、的倾斜角分别为、，则___________． 11．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为（，2，…，12），其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则________________． 12．激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为 如果，则的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，4’*2+5’*2=18’） 13．“”是“为第一或第三象限角”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A．至少有1个白球和2个都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和2个都是红球 15．设，，是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题： ①方程不可能有两个实数根； ②方程有实数解的充要条件是； ③方程有唯一的实数解； ④方程没有实数解，其中真命题个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知四棱锥的底面为矩形，平面，点为侧棱（不含端点的线段）上动点，则点在平面上的射影在（ ） A．棱上 B．内部 C．外部 D．不确定 三、简答题（本大题共有5题，14’*3+18’*2=78’） 17．在中，为钝角，． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 18．如图所示正四棱台，其中，． （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积． 19．为检验一批电子元件的寿命，从这批元件中抽取一批元件同时做寿命值试验． （1）若随机抽取了10个元件，得到各个元件寿命数据如下，求这10个元件寿命的均值与方差； 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 （2）记这批元件的总体寿命为，随机变量服从均值为的指数分布，且的概率密度函数为，X取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数．现抽取10个元件，让所有元件同时开始工作，10个单位时间后停止试验，得到失效元件寿命数据为5.3、6.0、6.7．假设每个元件的寿命相互独立． （ⅰ）只考虑未失效的7个元件，记7个元件的寿命均超过10个单位时间的概率为，求； （ⅱ）记，求的极大值点． 20．设复数（x，）与复平面上点对应．设复数满足条件、动点的轨迹为椭圆．椭圆的短轴端点分别为A，B（如图）．直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足，且． （1）求椭圆的方程； （2）证明直线与轴的交点N的位置与无关，并求出点N的坐标； （3）若面积是面积的5倍，求的值． 21．已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质． （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质． 学科网（北京）股份有限公司 $