精品解析：江苏省常州高级中学2026-2027学年高一年级上学期十月份数学学科单元巩固与提升训练

江苏省常州高级中学 高一年级十月份数学学科单元巩固与提升训练 命题人：高一数学备课组 2026.10 说明：1．请将答案填写在答卷上． 2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由全称命题的否定， 命题“”的否定为“”. 2. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系的定义及性质逐个判断即可. 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以，A错误， 因为，所以，B错误， 因为，所以，C正确， 因为，所以，D错， 故选：C. 3. 某班级共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】首先设全班同学组成集合，喜欢篮球运动的组成集合，喜欢乒乓球运动的组成集合，由题知：集合有人，集合有人，集合的补集有人，再利用集合运算求解即可. 【详解】设全班同学组成集合，喜欢篮球运动的组成集合，喜欢乒乓球运动的组成集合， 由题知：集合有人，集合有人，集合的补集有人， 所以有人，有人， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人. 4. 下列选项中是集合中的元素的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用选项回代验证，求出k是相同的整数即可. 【详解】集合， 对于A，当，时，，，k不相同，不满足题意.对于B，当，时，，，k不相同，不满足题意.对于C，当，时，，，k不相同，不满足题意.对于D，当，时，，，k相同，满足题意. 故选：D 【点睛】本题考查描述法表示集合，属于基础题. 5. 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先展开代数式，利用已知化简，再用基本不等式求最小值，验证等号可取，得到原式最小值. 【详解】因为且， 所以， 当且仅当时取等号，结合可知，此时. 所以的最小值为. 7. 若实数，且，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到为方程的两个不相等的根，再利用根系关系求解即可. 【详解】因为若实数，且，， 所以为方程的两个不相等的根. 所以，. 所以 . 故选：A 8. 已知的三边长为a，b，c，则方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个相异实根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有，应用因式分解转化乘积形式，结合三角形三边关系判断判别式符号，即可得答案. 【详解】由 ， 由两边之和大于第三边知：，，，且， 所以，故方程无实根. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，可通过性质推导、作差法、特殊值法逐个判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，不等式两边除以一个正数，不等式方向不变，正确； 对于B，，所以，正确； 对于C，若，，则，正确； 对于D，若，则，错误. 10. 下面命题为真命题的是（ ） A. 设，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“为单元素集”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用取特殊值以及不等式性质，可得答案； 对于B，利用函数与方程的关系，根据二次函数的性质，可得答案； 对于C，根据不等式的倒数性质，可得答案； 对于D，根据二次方程的解法，以及二次项系数的讨论，可得答案. 【详解】对于A，当，时，；由，则且.故“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，令，则且开口向上，当时，函数必然存在一正一负两个零点，故二次方程有一正根一负根； 当函数存在一正一负两个零点，不妨设，则，由函数图象开口向上，则，故B正确； 对于C，当时，成立；当时，.由，则，故“”是“”的必要不充分条件，则C错误； 对于D，当时，方程为，，解得，即，满足充分性，但当时，方程为，解得，不满足必要性，故D正确. 故选：ABD. 11. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设，若对任意，都有成立，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. 15 D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意，排除、；当，时，作出两函数的图象，数形结合可得，结合即可得解. 【详解】若时，当时，，此时恒成立，即， 不存在这样的实数； 当时，，此时即对任意恒成立， 不存在这样的实数； 所以，， 当，时，函数是减函数，与x轴的交点为， 函数与x轴的交点为， 在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示： 数形结合可得，若满足题意，则即， 又，，，所以或或， 所以或或 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确理解题意，结合二次函数、一次函数的性质分类讨论，转化条件为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 因式分解___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用十字相乘法写出两个因式的乘积形式. 【详解】. 故答案为： 13. 满足条件的集合的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合包含的关系分析集合的元素的情况，从而将问题转化为求集合的非空子集的个数，由此得解. 【详解】因为， 所以集合必含有元素，且至少含有元素中的一个， 则集合的个数与集合的非空子集的个数一样， 所以集合的个数为. 故答案为：. 14. 已知集合，．若，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由非空及为非空区间确定的初步范围，再根据交集区间长度不小于1，进而分情况讨论端点位置，最后综合得解. 【详解】由，得，即. 因为为非空闭区间，所以， 即且，解得且.结合，得. 此时. 因为，所以，故. 由，即，分两种情况讨论： ①当，即时，， 则，解得，所以. ②当，即 时，，则， 解得，所以. 综上，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合和集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 ， 等价于 ，即 ， 等价于，即 或，则或 ， 所以； 【小问2详解】 或 ，或， 则 16. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 17. 已知实数，，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两式相乘整理得，结合基本不等式运算求解；（2）根据题意结合，运算求解. 【小问1详解】 ∵，当且仅当，即时等号成立 ∴，即的最小值为 【小问2详解】 ∵，即，当且仅当等号成立 ∴，即的最大值 18. 近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业内电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是（，k为常数）.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与安装后该企业15年内共消耗的电费之和. （1）求k的值，并建立F关于x的函数关系式； （2）当x何值时，F取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）； ； （2）当 （平方米）时，F的最小值是57.5（万元）. 【解析】 【分析】（1）将代入 即可算出k，F就是C与安装费用之和； （2）运用基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 将代入C表达式得： ，即 ， F与x的函数关系式为：， ； 【小问2详解】 由（1）： ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以当 时，F取最小值，最小值是57.5. 19. 已知不等式的解集为. （1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）由已知结合二次函数性质及二次不等式的恒成立可求； （2）结合含参二次不等式的求法对进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，原不等式等价于恒成立， 且的解集为，故方程的2个根为2，3， 故由韦达定理，所以， 所以恒成立， 可得恒成立，所以，解得， 则，即，故， 所以，因为不等式有且仅有9个整数解，故，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 1、当时，由（1）得时，， 故，即：， ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为. 2、当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 由韦达定理：，所以，则恒成立，即恒成立，所以， 解得，又， 该不等式解集为， 3、当时，，则无解. 4、当时，，则. 综上：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 高一年级十月份数学学科单元巩固与提升训练 命题人：高一数学备课组 2026.10 说明：1．请将答案填写在答卷上． 2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班级共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 18 4. 下列选项中是集合中的元素的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7. 若实数，且，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. -2 8. 已知的三边长为a，b，c，则方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个相异实根 D. 不能确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下面命题为真命题的是（ ） A. 设，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“为单元素集”的充分不必要条件 11. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设，若对任意，都有成立，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. 15 D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 因式分解___________. 13. 满足条件的集合的个数为______. 14. 已知集合，．若，且，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合和集合． （1）求； （2）求． 16. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 已知实数，，. （1）求的最小值； （2）求的最大值. 18. 近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业内电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是（，k为常数）.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与安装后该企业15年内共消耗的电费之和. （1）求k的值，并建立F关于x的函数关系式； （2）当x何值时，F取得最小值？最小值是多少万元？ 19. 已知不等式的解集为. （1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $