精品解析：湖南长沙市宁乡市第一高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026年高一年级10月阶段性检测数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 而集合，所以. 3. 下列各组函数中是相等函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相等函数的定义，判断函数定义域和对应关系，即可判断. 【详解】解:选项中， 的定义域为：；的定义域为：， 所以两函数的定义域不同，则不是相等函数； 选项中，的定义域为：；定义域为：， 所以两函数的定义域不同，则不是相等函数； 选项中两函数的对应关系不同，所以不是相等函数； 故错误， 故选：B. 【点睛】本题考查相等函数的定义：两个函数相等，要求定义域和化到最简后的对应关系都要相等，两者缺一不可. 4. 若，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，，则，A错； 对于B选项，取，，，则，B错； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，，则，D对. 故选：D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由“1”的代换，转化为基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号，结合可得此时. 所以的最小值为. 6. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次函数的单调性得出的取值范围，然后将得到的的取值范围和条件进行集合范围的比对，根据充分条件、必要条件的判定逻辑判断二者的推出关系. 【详解】该函数是开口向上的二次函数，配方得，对称轴为直线， 开口向上的二次函数，单调递增区间为，要让完全包含在递增区间内， 只需对称轴不在区间内部，即. 充分性：若，取反例，此时对称轴，函数在上单调递减， 不满足在上整体单调递增，因此“”无法推出结论，充分性不成立； 必要性：若函数在上单调递增，必有，显然，因此结论可以推出“”，必要性成立. 因此“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 7. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 8. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将所有非空子集的元素乘积之和看作 展开式中除常数项 外各项之和，直接计算即可． 【详解】由乘法分配律， 展开后，每一项都对应集合 的一个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择 表示该元素不被选入． 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为 其中常数项 对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 10. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过基本不等式、代数变形、特殊值验证等方法逐一判断各选项是否恒成立.   【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确.  选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确.  选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误.  选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_______________ 【答案】且 【解析】 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域为且. 13. 已知，若，则实数的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段求解不等式即可. 【详解】函数，由，得或. 解得或，所以实数的取值范围是. 14. 设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】或或 【解析】 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为 ，且，              则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得，                               所以所求实数的范围是. 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围； （2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案. 【小问1详解】 命题为真命题：对任意实数都有恒成立， 当时，恒成立，当时，则，即，解得， 综上的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则，解得或， 若真假，则，则， 若假真，则，则或， 综上，或或. 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得（舍去）或， 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 已知二次函数． （1）若，，求函数的值域： （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，确定的解析式，通过配方法求得值域. （2）分，和三种情况解不等式，然后根据解集中有3个整数列出关于的不等式，求解的范围即可. （3）将不等式恒成立问题转化成在上恒成立问题，然后利用换元法求得的最大值即可. 【小问1详解】 ，， ，，即函数的值域为. 【小问2详解】 ， ①当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数， 则，得. ②时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数， 则，解得. ③时，的解集为，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ，恒成立，整理可得 对恒成立， 又， 可得对恒成立. 令，则， ， ，当且仅当，即时等号成立， . 即，故实数的取值范围是. 19. 已知集合， （1）证明：； （2）证明：任何奇数都是中的元素； （3）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （4）试求中第2026个正整数． 【答案】（1）， （2）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． （3），，且，同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是4的倍数． 一定是偶数，但不是4的倍数，所以数字不是集合中的元素 （4）2701 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的4个整数中必有两个奇数和一个4的倍数，由（2）知这4个数中有3个是集合的元素． 因为，所以中第2026个正整数是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一年级10月阶段性检测数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中是相等函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 若，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 6. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 8. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 10. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_______________ 13. 已知，若，则实数的取值范围是_______________ 14. 设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 16. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根. （1）若命题为真，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 18. 已知二次函数． （1）若，，求函数的值域： （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 19. 已知集合， （1）证明：； （2）证明：任何奇数都是中的元素； （3）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （4）试求中第2026个正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $