精品解析：江苏淮安市淮州中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

单元练习一（数学学科） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若某直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为直线的斜率，故当时，倾斜角；当时，，倾斜角，故选C 考点：直线的斜率与倾斜角的关系 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将方程配方，整理得， 要使方程表示圆需满足，解得，因此实数的取值范围为． 3. 直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线一般式平行的充要条件求出时的所有取值，再判断“”与“”的充分、必要性关系. 【详解】，，两直线平行，得，整理得，解得或； 当时，，，由，得两直线平行，符合要求； 当时，，即，由，得两直线平行，符合要求； 因此等价于或； 当时，可推出，充分性成立； 当时，可取，不一定为，必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 5. 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以为圆心，以为半径，为公园入口，道路为东西方向，道路经过点且向正北方向延伸，，，现计划从处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知新路和圆相切时距离最短，建系求得过点的直线方程，可得和的交点，即可得解. 【详解】 以为原点建立如图直角坐标系，可得点坐标为， 如若要新路的长度最短，则新路和圆线切， 设过点的直线方程为， 根据圆心到直线的距离等于半径可得：， 根据图可得，所以， 所以，所以和的交点为，所以， 根据勾股定理可得：. 故选：A. 6. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 7. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，依题意可得，即可得到动点的轨迹方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【详解】圆，则圆心为，半径， 因为，在中，， 所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径， 又直线上存在点， 所以直线与有交点，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：D． 8. 若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，结合题意分析可知，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 则，即，解得， 所以半径的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 10. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是直线与直线垂直的充分不必要条件 B. “”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件 C. 若一条直线沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件，求出的值即可判断选项A；根据两直线平行的充要条件且，求出的值即可判断选项B；先讨论直线斜率是否存在，再根据平移的性质，列出等量关系即可求出斜率，从而判断选项C；由直线过原点即可知直线在两坐标轴上的截距相等，即可判断选项D. 【详解】对于A，直线即与直线垂直的充要条件为，即， 所以是的充分不必要条件，选项A正确； 对于B，直线即与直线平行的充要条件为， 解得，所以， 因此“”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件，选项B正确； 对于C，当斜率不存在时，设直线方程为，显然该直线沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度后， 回不到原来的位置，所以斜率存在，设直线方程为，则沿x轴向左平移1个单位长度为， 再沿y轴向下平移3个单位长度得，由题可知，所以，选项C错误； 对于D，当直线过原点时，直线方程为，显然该直线在两坐标轴上的截距相等，选项D错误. 11. 已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C. 若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D. 直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用切线长公式，转化为求原点到直线上动点距离的最小值；B选项先求圆心到直线距离，结合圆半径，判断圆上到直线距离等于定值的点的个数；C选项利用最大角模型，结合三角函数建立不等式，求解点A横坐标范围；D选项利用切点弦方程（两圆公共弦），将含参直线整理为过定点形式，求出直线所过定点． 【详解】选项A：由切线长公式得， 因点A是直线l上的一个动点，则当时，最小，即最小值为， 此时，的最小值为，A正确； 选项B：因到直线的距离为，圆半径为2，圆上点到的最小距离为， 则圆上仅有1个点（过作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于，B错误； 选项C：设，要存在使，则切线与的夹角， 又是锐角，在中，，得， 即，解得，即横坐标取值范围是，C正确； 选项D：因，则切点弦的方程为，即， 令，解得，即直线过定点，D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据点在直线上，利用两点式求得的方程，再把的方程和的方程联立方程组，求得第三个顶点的坐标 【详解】由题意可知：关于直线的对称点在直线上， 设对称点为， 则由，解得， 所以直线BC的斜率为, 所以直线（即）的方程为，即：． 解方程组，求得点的坐标为． 故答案为：. 13. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断曲线表示的曲线，再利用数形结合表示直线与曲线有两个交点时，参数的取值范围. 【详解】由可得，整理可得，其中， 所以曲线表示圆的下半圆， 如图所示．当直线与曲线相切时， 由图可知，，且有，解得． 当直线过点时，则有． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆：，动点P在直线l：上（），过P分别作圆O，圆的切线，切点分别为A，B，若满足的点P有且只有一个，则实数b的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长可得，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，进而可知圆与直线l相切，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆O：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径； 因为，则，则， 即，可得， 设，则，整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 又因为点P在直线l：上（），且点P有且只有一个， 则圆与直线l相切，则，解得或（舍去）， 所以实数b的值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点，的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； （3）求平行四边形的面积． 【答案】（1） ， （2） 和 （3） 【解析】 【分析】（1）先联立两条已知边的方程求顶点，再由对角线中点性质求； （2）利用对边平行得到另两边斜率，代入点坐标求直线方程； （3）计算一组对边的长度及对应平行线间的距离，二者相乘得平行四边形面积. 【小问1详解】 联立与所在直线的方程得  ，两式相加得，解得，代入得，即， 因为是平行四边形对角线的中点，设， 由中点坐标公式得， ，解得，即. 【小问2详解】 平行四边形对边互相平行，故，， 直线的斜率，故，又过点， 由点斜式得的方程为  ，整理为一般式得， 直线的斜率，故，又过点， 由点斜式得的方程为 ， 整理为一般式得. 【小问3详解】 联立与的方程得  ，解得，即， 由两点间距离公式得  ， 与为一组平行对边，的方程为，的方程为， 由两平行线间距离公式，得对应高为 ， 故平行四边形的面积 . 16. （1）已知两直线：，：．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线l的方程为．直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当的面积最小时，求直线l方程的一般式和的周长． 【答案】（1）；（2）直线的一般式为，的周长为 【解析】 【分析】（1）先联立方程求出交点坐标，再根据直线垂直设出直线方程，代入点的坐标即可求出直线方程；（2）由已知方程易判断直线过定点，根据题意设截距式方程，利用基本不等式即可求出面积的最小值，从而求出直线方程，再利用勾股定理求出斜边即可求出三角形周长. 【详解】（1）由题可知，联立方程得，解得，则直线与的交点坐标为， 又直线与垂直，设直线方程为，代入点得， 则，所以过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程为； （2）由可得， 令，解得，所以直线l过定点， 设直线的截距式为，又经过定点，则，所以， 因为，两边同时平方，化简整理得，当且仅当，即时取等号， 此时取最小值24，所以，则直线l方程为，即， 设，，则斜边，所以的周长为. 17. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为. （1）圆的方程； （2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 【答案】（1）； （2）∵是直线上一点.设 ∵为圆的切线，∴，即过、、三点的圆是以为直径的圆 设圆上任一点，则 ∵， ∴ 即 故解得或 因此经过、、三点的圆必过定点和. 【解析】 【分析】（1）由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求； （2）由已知设出点坐标，再由已知可知过，，三点的圆是以为直径的圆，设圆上任意一点，则，整理可得圆系方程，联立即可求得经过，，三点的圆所过定点的坐标． 【详解】（1）设圆心，则圆心到直线的距离 由题意可得，即，解得或（舍） 所以圆的方程为 （2）略 【点睛】本题考查利用弦长求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系过定的问题，同时考查了计算能力，是中档题． 18. 已知的圆心为，点在圆外，以为直径作， 与相交于、两点． （1）试确定直线，与的位置关系； （2）若，试问点在什么曲线上运动？ （3）若，，求直线的方程． 【答案】（1）与圆相切，与圆相切 （2）在以为圆心半径为5的圆上 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆的几何性质及切线判定定理，即可证明； （2）利用勾股定理求出，即可得到的轨迹； （3）先求出两圆的公共弦，把，代入即可. 【小问1详解】 是圆的直径，， 又是圆的半径， 根据圆的切线判定定理，可得与圆相切， 同理也相切； 【小问2详解】 在中，， ， ，， ， 由此可得在以为圆心半径为5的圆上； 【小问3详解】 ，，则圆的直径式， 与两圆联立得到公共弦所在直线方程， ，代入，可得直线的方程：． 19. 已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点． （1）求点M的轨迹方程； （2）当点M的轨迹上存在点Q，使，求实数m的取值范围； （3）当时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且．求证：直线AB恒过定点．（其中，分别为直线PA与直线PB的斜率）． 【答案】（1） （2） （3） 证明：时，P（1，0）， ∵，设，则， 则直线PA：，PB：， 联立，得， 则，得，． ∴．同理可得． 则． ∴直线AB的方程为． 方法一：当时，直线方程为，当时，直线方程为． 联立，解得，．∴直线AB恒过定点． 方法二：直线AB方程即为，即， ∴直线AB恒过定点． 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解，即找到点E与点M的关系，再带回圆C中； （2）将角度问题转化成直线的斜率问题，进而转化成直线与圆位置关系的问题，利用点到直线距离求解； （3）联立直线PA与圆，因为直线与圆一侧交点是已知的，所以可以用斜率表达另外一个交点，再通过，得到直线PB的交点，利用两点式化简，得到定点. 【小问1详解】 设M（x，y），，则①， 又因为M是EF的中点，所以，则， 代入①式整理得， 即点M的轨迹方程为圆O：． 【小问2详解】 由（1）知点M的轨迹方程为圆O：， 由题意，圆O上存在点Q，使， 等价于直线或与圆O有交点， 由对称性可知点O到直线与距离相等， ∴点O到直线的距离小于等于半径1，即，解得， 又，故实数m的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元练习一（数学学科） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若某直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 5. 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以为圆心，以为半径，为公园入口，道路为东西方向，道路经过点且向正北方向延伸，，，现计划从处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是直线与直线垂直的充分不必要条件 B. “”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件 C. 若一条直线沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 11. 已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C. 若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D. 直线过定点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标______． 13. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆：，动点P在直线l：上（），过P分别作圆O，圆的切线，切点分别为A，B，若满足的点P有且只有一个，则实数b的值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点，的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； （3）求平行四边形的面积． 16. （1）已知两直线：，：．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线l的方程为．直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当的面积最小时，求直线l方程的一般式和的周长． 17. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为. （1）圆的方程； （2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 18. 已知的圆心为，点在圆外，以为直径作， 与相交于、两点． （1）试确定直线，与的位置关系； （2）若，试问点在什么曲线上运动？ （3）若，，求直线的方程． 19. 已知点E是圆C：上的动点，点，M是线段EF的中点，P（m，0）（）是x轴上的一个动点． （1）求点M的轨迹方程； （2）当点M的轨迹上存在点Q，使，求实数m的取值范围； （3）当时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且．求证：直线AB恒过定点．（其中，分别为直线PA与直线PB的斜率）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $