北京首都师范大学附属中学2026-2027学年高一第一学期学科挑战赛数学试题

首都师大附中2026—2027学年第一学期学科挑战赛 高一数学 第一部分（选择题 共60分） 一、选择题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A．， B．， C． D．， 4．设，，则（ ） A． B． C． D． 5．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 6．若“，”是假命题，则的取值范围为（ ） A． B C． D． 7．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数对任意，且时，有，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间内进出路口，，的机动车辆如图所示，图中，，分别表示该时段单位时间内通过路段，，的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ） A． B． C． D． 10．定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题共5小题，每小题6分，共30分． 11．已知函数对任意实数，都满足，且，则__________． 12．在函数中，若，则的值是__________． 13．若实数，且，满足，，则__________． 14．不等式的解集为__________． 15．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，给出下列四个结论： ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题15分） 已知集合，，． （Ⅰ）若，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 17．（本小题15分） 解关于的不等式． 18．（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）求，的值： （Ⅱ）判断函数的单调性并证明： （Ⅲ）若对任意的恒成立，求的取值范围． 19．（本小题15分） 若有限集满足： ①且； ②对，均有： ③对，，若，则，，中至少有一个属于，称集合具有性质．（记为集合中的元素个数） （Ⅰ）分别判断集合和是否具有性质（直接写出结论）； （Ⅱ）判断是否存在具有性质的集合满足？并说明理由： （Ⅲ）若集合具有性质，求的所有可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $