第26章《二次函数》期中复习讲义——考点总览 2026-2027学年人教版九年级上册数学

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 26 章｜二次函数——期中复习考点总览 ——人教版九年级上册《二次函数》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·二次函数·概念·图象性质·顶点式与平移·配方·最值·Δ 与交点·利润最值 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 6 · 拔高 6 ★☆☆～★★★★ 阶梯递进 限时 40 分钟 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 26 章《二次函数》期中复习考点总览，共 18 题，全部选自 2025、2026 年考试真题（期中、期末、质检、一模、单元测试等网络试卷原题），每题题干均注明时间与出处；题面、答案与详解已逐题核对。 全卷按题型分层编排：选择题 9 道、填空题 5 道、解答题 4 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（4 选＋1 填＋1 解）、拔高组（2 选＋2 填＋2 解），每组均含选择、填空、解答三种题型，覆盖全章 7 大考点。 全卷限时 40 分钟完成：例题组约 12 分钟、变式组约 13 分钟、拔高组约 15 分钟；也可分三课时使用——例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力的学生冲刺。 本章是期中卷的函数主战场：概念判定与图象性质稳定出现在选择填空，顶点式平移与配方是中档题常客，区间最值与利润最值是压轴板块——先定系数、再辨图象性质、最后定最值，是全章答题的主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 本考点与人教版九上第 26 章考点总结对齐（★☆～★★★★），七条主线：一概念——定义与 a≠0；二图象与性质——开口、对称轴、顶点、对称性；三顶点式与平移——左加右减、上加下减；四一般式与配方；五最值——区间最值与实际最值；六与一元二次方程的关系——Δ 定交点数；七实际应用——增长率、利润最值与检验。 PART 01 全章知识主线与考点总览（7 大考点） 考点范围：二次函数（概念与 a≠0——定义、判定、含参分类；y＝a的图象与性质——开口、对称轴、顶点、对称性；顶点式与平移——左加右减上加下减；一般式与配方——对称轴、顶点、比较函数值；最值——区间最值、动轴最值、实际最值；与一元二次方程的关系——Δ 定交点数；实际应用——增长率列式、利润最值与检验）。 一、二次函数的概念与最基础图象——定义、判定与 a≠0 ◆ 二次函数的定义：形如 y＝a＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。判断时先化简再核对——分式函数、化简后二次项系数为 0 的函数都不是；含参数的题由 a≠0 定参数范围，a＝0 时退化为一次函数，要分类讨论。 ◆ y＝a的图象与性质：a＞0 开口向上、a＜0 开口向下，|a| 越大开口越小；对称轴是 y 轴，顶点是原点；图象关于 y 轴对称——点 (m,n) 在图象上，则 (-m,n) 也在图象上；a＞0 时顶点是最低点，函数有最小值。 二、顶点式、平移与一般式——图象变换与配方 ◆ 顶点式 y＝a＋k 与平移：顶点 (h,k)、对称轴为直线 x＝h；抛物线平移口诀『左加右减、上加下减』——向左平移 m 个单位，x 加 m；向上平移 n 个单位，k 加 n；平移前后形状不变（a 相同），只改变 h 与 k。 ◆ 一般式与配方：y＝a＋bx＋c 配方得 y＝a＋，对称轴为直线 x＝－；比较函数值大小：先看开口方向，再把各点折到对称轴同侧，按到对称轴的距离定大小——开口向上时离轴越近值越小，开口向下时离轴越近值越大。 三、最值、与一元二次方程的关系及实际应用——区间定最值、Δ 联动与建模 ◆ Δ 与交点：令 y＝0 得一元二次方程 a＋bx＋c＝0，Δ＞0 时抛物线与 x 轴有两个交点，Δ＝0 时只有一个，Δ＜0 时没有；抛物线与直线的公共点由两解析式联立消元后用 Δ 判断；『只有一个公共点』要分二次（Δ＝0）与退化一次两种情形讨论。 二次函数考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 考点 1 概念 y＝a＋bx＋c（a≠0）· 最高次数 2 判定、含参定 a 的范围 化简后二次项系数为 0 考点 2 图象性质 开口定 a · 对称轴 y 轴 · 顶点原点 性质判断、对称性运用 开口方向与 |a| 大小混谈 考点 3 顶点式与平移 y＝a＋k 顶点 (h,k) 读顶点、平移定 h 与 k 平移方向与符号写反 考点 4 一般式配方 对称轴 x＝－ · 配方归顶点式 配方、比大小、求解析式 配方漏提 a、比大小不折同侧 考点 5 最值 轴内比顶点端点 · 轴外端点定最值 区间最值、动轴最值、利润最值 顶点不在范围内仍代顶点 考点 6 与一元二次方程 Δ＞0 两交点 · Δ＝0 一个 · Δ＜0 无 判交点数、联立求交点 漏分一次函数退化情形 考点 7 实际应用 增长率列式 · 利润＝(售价－成本)×销量 建模、配方求最值 忘自变量范围与实际检验 ◆ 二次函数的最值：a＞0 时有最小值、a＜0 时有最大值，最值在顶点处取得；给定区间 m≤x≤n 时先看对称轴在不在区间内——轴在区间内，比顶点值与两端点值；轴在区间外，按增减性取两端点值；含参数的『动轴定最值』按轴与区间的位置分类讨论；实际问题的最值必须检验自变量取值范围与实际意义。 四、跨考点综合——图象、方程与实际应用联动 ◆ 分类讨论的两种必分情形：含参数 a 的函数——a≠0 是二次函数、a＝0 退化为一次函数；实际应用最值——顶点横坐标不在自变量范围内时，改按增减性取端点值。 ◆ 求解析式的三条路径：已知顶点（或对称轴）设顶点式 y＝a＋k；已知与 x 轴两交点设交点式 y＝a(x－)(x－)；已知三点设一般式 y＝a＋bx＋c——按条件选式，代入定参。 ◆ 函数与方程联动的三种状态：Δ＞0 抛物线与 x 轴交于两点；Δ＝0 只有一个公共点（顶点恰在 x 轴上）；Δ＜0 无公共点——既可由图象位置反推 Δ，也可由 Δ＝0 反求参数。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 二次函数是人教版九上第 26 章的核心内容，也是期中卷的函数主战场：概念判定与图象性质稳定出现在选择填空，顶点式平移与配方是中档题常客，最值、Δ 与交点、利润最值是压轴板块。 概念与最基础图象是全章地基：二次函数的判定看『a≠0 与最高次数 2』两条件；y＝a的开口、对称轴、顶点是读一切抛物线的起点——含参数的题先保证 a≠0，这一隐含条件贯穿全章。 顶点式、平移与一般式是图象性质的主战场：顶点式直接读顶点与对称轴，平移口诀『左加右减、上加下减』管变换，一般式配方或对称轴公式化归顶点式——比较函数值大小靠『对称轴＋开口方向』两步定序。 最值、Δ 联动与实际应用是区分度来源：区间最值按『对称轴在区间内、外』分两类比较顶点与端点；Δ 定抛物线与 x 轴交点数；利润＝(售价－成本)×销量建模后配方求最值——自变量范围与实际意义检验必须写进卷面。 答题方法（三步法） 第一步·定系数：概念题先化简成 y＝a＋bx＋c，确认 a≠0、最高次数 2；求解析式按条件选式——三点设一般式，顶点＋一点设顶点式，与 x 轴两交点设 y＝a(x－)(x－)，代入条件解方程（组）定系数。 第二步·用性质：顶点式读顶点 (h,k)、对称轴 x＝h；一般式配方化顶点式，对称轴 x＝－；比较函数值先看开口、再看点到对称轴的距离；平移按『左加右减（x）、上加下减（k）』操作，平移前后 a 不变。 第三步·验作答：交点问题令 y＝0 化为方程、用 Δ 判断（一个公共点分二次与一次两种情形）；最值问题配方成顶点式后先看自变量取值范围——对称轴在区间内时比顶点与端点、在区间外时按增减性取端点；应用题的解要过实际意义关（价格非负、每件利润非负），最后按题目要求完整作答。 注意事项（易错警示） 概念判定第一错点是含参降次：化简后二次项系数为 0 的是一次函数，分母含未知数的不是二次函数——不化简就判断必错。二次项系数含参数时，a≠0 这一隐含条件不能漏，还要讨论 a＝0 退化一次的情形。 平移方向与符号是扣分重灾区：y＝a＋k 中 h 是『右移 h 个单位』、k 是『上移 k 个单位』——左移加、右移减、上移加、下移减，方向别写反；平移前后形状不变（a 相同），只改变 h 与 k。 比较函数值不要硬代硬算：先找对称轴，利用对称性把点折到同侧再比——开口向上时离轴越近值越小，开口向下时离轴越近值越大；题给三点不在同侧时对称性是唯一省力路径。 区间最值与交点都要验前提：区间最值先判断对称轴在不在范围内——轴在区间内时（开口向上）最小值取顶点、最大值取离轴最远的端点；轴不在区间内时按增减性取两端点。Δ≥0 才有交点；利润最值先看自变量范围，顶点不在范围内时按增减性取端点值，最后检验实际意义。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 概念判定 化简后核对 a≠0 与最高次数 2 下列函数中，一定是二次函数的是 ★☆ y＝a图象性质 开口方向 · 对称轴 · 顶点 · 对称性 y＝m经过点 (2,-5)，则它也经过 ★☆ 顶点式与平移 左加右减 · 上加下减，a 不变 抛物线如何平移，可使新图象与 x 轴…… ★★ 一般式与配方 配方化顶点式 · 对称轴 x＝－ 化为 y＝a＋k 的形式 ★★☆ 最值 轴内比顶点端点 · 轴外端点定最值 当 －1≤x≤2 时，y 的最大值与最小值 ★★☆ 与一元二次方程 Δ 定交点数 · 联立求交点 图象与 x 轴只有一个公共点，则 k＝ ★★☆ 实际应用 列式 · 利润建模 · 最值与检验 求最大利润／y 与 x 满足的关系式是 ★★★ 命题边界：本考点考二次函数（概念——定义三条件与含参 a≠0；图象与性质——开口、对称轴、顶点、增减性与比大小；顶点式与平移——左加右减、上加下减；一般式配方；最值——区间最值与实际最值；与一元二次方程的关系——Δ 与公共点个数；实际应用——增长率、利润最值与自变量范围）。待定系数法按人教版必学内容处理。 PART 03 例题精讲（6 题）· 基础与中档考点 例题覆盖：含参定义（填空·嵌空）→ 图象上点比大小（选择）→ 平移与交点距离（选择）→ 配方化顶点式（选择）→ 唯一公共点求参数（填空·嵌空）→ 交点式求解析式＋区间最值（解答）→ 变式覆盖概念判定、对称性、顶点式比大小、降价率＋月利润最值、Δ＝0 求参数（嵌空）、季度增长率列式 → 拔高覆盖区间最值（选择·填空）、平移顶点落直线求 k（选择）、动轴区间最值（填空）、让利利润建模（解答）、分段函数最值（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教概念判定（填空·嵌空）：先合并同类项化成一般形式，二次项系数是含 a 的式子，由 a≠0 定范围——化简后再判断是概念题铁律； ◆ 例 2 教 y＝＋k 的性质（选择）：开口向上、对称轴为 y 轴，比较函数值先算各点到对称轴的距离，离轴越近值越小； ◆ 例 3 教平移与交点联动（选择）：先化出对称轴，再按各选项平移逐一验证两交点距离——设出交点用含 t 的式子表示距离最省力； ◆ 例 4 教配方（选择）：把一般式配方成顶点式，两边加一次项系数一半的平方，注意项的符号； ◆ 例 5 教 Δ 与交点（填空·嵌空）：『只有一个公共点』要分二次（Δ＝0）与一次（k＝1 退化）两种情形，两解缺一不可； ◆ 例 6 教区间最值（解答·三问）：交点式求解析式、配方定顶点；对称轴在区间内时最小值取顶点，最大值在离轴最远的端点处取得。 例 1　填空题 （2025·海淀区·质检）已知关于 x 的函数 y＝a＋3x－＋1 是二次函数，则 a 的取值范围是 ________． 例 2　选择题 （2025 秋·泸州·期末）点 A(-1,)，B(2,)，C(3,) 在二次函数 y＝＋3 的图象上，则 ，， 的大小关系是（　　） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 例 3　选择题 （2026·安阳·期末）移动二次函数 y＝－(x－2023)(x－2025)＋5 的图象，使新图象与 x 轴交于两点，且这两点之间的距离为 2 个单位长度，则移动的方式可以是（　　） A．向上平移 5 个单位长度 B．向左平移 2 个单位长度 C．向下平移 5 个单位长度 D．向右平移 2 个单位长度 例 4　选择题 （2025·鼓楼区·校级一模）将二次函数 y＝－2x＋4 化为 y＝a＋k 的形式，结果正确的是（　　） A．y＝＋3 B．y＝＋3 C．y＝＋2 D．y＝＋2 例 5　填空题 （2026·湖州·期中）若函数 y＝(k－1)＋3x－2 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 k＝ ________． 例 6　解答题 （2026·人教版第26章·单元培优测试卷）已知抛物线经过点 A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-3)． (1) 求该抛物线的解析式； (2) 求该抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 当 －1≤x≤2 时，求 y 的最大值与最小值． PART 04 变式练习（6 题）· 中档考点强化 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练概念与对称性：变 1 用定义三条件逐项核对（B 项需 a≠0、D 项分母含自变量），变 2 用 y＝m 关于 y 轴的对称性——图象上点 (x，y) 与 (－x，y) 同在； ◆ 变 3 练顶点式比大小：开口向下、离对称轴越近函数值越大——先求三点到对称轴 x＝－1 的距离，再按远近排序，不必逐个代入； ◆ 变 4 练降价率与月利润最值（解答）：两次降价同百分率列 100＝81 解方程；月利润＝(每件利润)×(月销量)，销量随售价线性变化，配方求最值并核对自变量范围； ◆ 变 5 练交点个数（填空·嵌空）：抛物线与直线只有一个公共点，联立消元后由 Δ＝0 解出 m； 变式 1　选择题 （2025 秋·金寨县·期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x－1 B．y＝a＋bx＋c C．y＝3－2x＋1 D．y＝＋ 变式 2　选择题 （2025 秋·长丰县·期末）若二次函数 y＝m（m≠0）的图象经过点（2，－5），则它也经过（　　） A．（－2，－5） B．（－2，5） C．（2，5） D．（－5，2） 变式 3　选择题 （2025 秋·南宫市·期末）设 A（－5，），B（1，），C（2，) 是抛物线 y＝－＋3 上的三点，则 ，， 的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 变式 4　解答题 （2025·人教版·期末巩固训练）某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售． (1) 为了促销，该商品经过两次降价后每件售价为 81 元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2) 经调查，该商品每降价 2 元，每月可多售出 10 件，若该商品按原标价出售，每月可销售 100 件，那么当销售价为每件多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 变式 5　填空题 （2025·兰陵县·一模）若抛物线 y＝－2x 与直线 y＝m 只有一个公共点，则 m 的值为 ________ ． 变式 6　选择题 （2025·长沙·质检）某工厂七月份生产零件 50 万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为 x，如果第三季度共生产零件 y 万个，那么 y 与 x 满足的函数关系式是（　　） A．y＝50 B．y＝50＋50(1＋x)＋50 C．y＝50(1＋x)＋50 D．y＝50＋50(1＋x) PART 05 拔高巩固（6 题）· 压轴考点冲刺 拔高组全部选自 2025、2026 年考试真题中区分度最高的题型：区间最值、动轴定最值、利润建模与分段最值——建议每题限时 6～8 分钟，独立完成后再对照详解订正；两道填空的答案已嵌在空格中，自测时先遮住红色部分。 拔高组冲刺要点（先读再做） ◆ 拔 1、拔 3 练区间最值（选择／填空·嵌空）：配方找对称轴，轴在区间内比顶点与端点、轴在区间外按增减性取端点——最大值在离轴最远的点处、最小值在顶点或离轴最近的点处取得； ◆ 拔 2 练平移与直线联动（选择）：平移『左加右减、上加下减』后顶点坐标用 k 表示，代入直线方程解 k，选完代回验证； ◆ 拔 4 练动轴区间最值（填空·嵌空）：对称轴随 m 变化，与区间的位置分『轴在区间内、轴在区间外』两类讨论，解出 m 后必须按位置条件验根； ◆ 拔 5 练让利利润建模（解答·三问）：赠礼后每盒利润减 m，最大利润是关于 m 的二次式——解出的两根都要按『每盒利润非负』检验取舍； 拔高 1　选择题 （2026·人教版第26章·单元测试提升卷）函数 y＝＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（　　） A．4 和 －3 B．－3 和 －4 C．5 和 －4 D．－1 和 －4 拔高 2　选择题 （2025·人教版·期末综合评价测试卷）将二次函数 y＝－＋k＋1 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，若所得图象的顶点在直线 y＝2x＋1 上，则 k 的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．－1 拔高 3　填空题 （2026·人教版第26章·单元培优测试卷）当 1≤x≤3 时，二次函数 y＝－2x－3 的函数值 y 的取值范围是 ________． 拔高 4　填空题 （2026·人教版第26章·单元测试提升卷）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝＋mx＋2m（m 为常数，m＜0），若对于任意的 x 满足 m≤x≤m＋2，且此时 x 所对应的函数值的最小值为 ，则 m 的值为 _______． 拔高 5　解答题 （2025·秋·漳州·期末）某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 y（盒）与销售单价 x（元）是一次函数关系，下表是 y 与 x 的几组对应值： 销售单价 x/元　…　12　　14　　16　　18　　20　… 销售量 y/盒　　…　56　　52　　48　　44　　40　… (1) 求 y 与 x 的函数表达式； (2) 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ (3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，求 m 的值． 拔高 6　解答题 （2025·秋·人教版·第二次期末检测）某快餐店销售某种盒饭，每盒成本 5 元，每盒售价 x 元（5≤x≤10）时，每天可售出 400 盒；售价每提高 1 元，每天少售出 40 盒（售价不低于 5 元）． (1) 求每天利润 y（元）与售价 x（元）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当售价为每盒多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 含参二次函数定义（a≠1） 例 2 开口向上·距离比大小 例 3 平移后两交点间距离 例 4 一般式配方化顶点式 例 5 唯一公共点求参数（k 分类） 例 6 交点式求解析式＋区间最值 变式 1 一定是二次函数的判定 变式 2 y＝m 的轴对称性 变式 3 开口向下·距离比大小 变式 4 降价率＋月利润最值 变式 5 Δ＝0 求参数（嵌空） 变式 6 季度增长率列式 拔高 1 轴在区间内·顶点端点比较 拔高 2 平移顶点落直线求 k 拔高 3 区间函数值取值范围（嵌空） 拔高 4 动轴定区间最值·分类验根 拔高 5 赠礼让利·利润建模验根 拔高 6 分段建模·两段最值比较 使用建议：本卷例题 6＋变式 6＋拔高 6 共 18 题（选 9·填 5·解 4），全部选自 2025、2026 年考试真题并在题干注明出处；限时 40 分钟完成，参考用时例题 12 分钟、变式 13 分钟、拔高 15 分钟，到时先停笔对答案。订正后让学生在订正完成栏打勾，保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：定义先看二次项系数 a≠0；比大小先看开口方向，再量点到对称轴的距离；平移口诀『左加右减、上加下减』；一般式配方定顶点；最值看两点——轴在区间内比顶点与端点、轴在区间外按增减性取端点；公共点个数由 Δ 定——Δ＞0 交于两点、Δ＝0 只有一个、Δ＜0 没有；实际问题先设变量列函数式，最值看顶点，别忘自变量取值范围与检验；解出的参数必须代回实际意义验根。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 26 章｜二次函数——期中复习考点总览 ——人教版九年级上册《二次函数》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·二次函数·概念·图象性质·顶点式与平移·配方·最值·Δ 与交点·利润最值 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 6 · 拔高 6 ★☆☆～★★★★ 阶梯递进 限时 40 分钟 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 26 章《二次函数》期中复习考点总览，共 18 题，全部选自 2025、2026 年考试真题（期中、期末、质检、一模、单元测试等网络试卷原题），每题题干均注明时间与出处；题面、答案与详解已逐题核对。 全卷按题型分层编排：选择题 9 道、填空题 5 道、解答题 4 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（4 选＋1 填＋1 解）、拔高组（2 选＋2 填＋2 解），每组均含选择、填空、解答三种题型，覆盖全章 7 大考点。 全卷限时 40 分钟完成：例题组约 12 分钟、变式组约 13 分钟、拔高组约 15 分钟；也可分三课时使用——例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力的学生冲刺。 本章是期中卷的函数主战场：概念判定与图象性质稳定出现在选择填空，顶点式平移与配方是中档题常客，区间最值与利润最值是压轴板块——先定系数、再辨图象性质、最后定最值，是全章答题的主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 本考点与人教版九上第 26 章考点总结对齐（★☆～★★★★），七条主线：一概念——定义与 a≠0；二图象与性质——开口、对称轴、顶点、对称性；三顶点式与平移——左加右减、上加下减；四一般式与配方；五最值——区间最值与实际最值；六与一元二次方程的关系——Δ 定交点数；七实际应用——增长率、利润最值与检验。 PART 01 全章知识主线与考点总览（7 大考点） 考点范围：二次函数（概念与 a≠0——定义、判定、含参分类；y＝a的图象与性质——开口、对称轴、顶点、对称性；顶点式与平移——左加右减上加下减；一般式与配方——对称轴、顶点、比较函数值；最值——区间最值、动轴最值、实际最值；与一元二次方程的关系——Δ 定交点数；实际应用——增长率列式、利润最值与检验）。 一、二次函数的概念与最基础图象——定义、判定与 a≠0 ◆ 二次函数的定义：形如 y＝a＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。判断时先化简再核对——分式函数、化简后二次项系数为 0 的函数都不是；含参数的题由 a≠0 定参数范围，a＝0 时退化为一次函数，要分类讨论。 ◆ y＝a的图象与性质：a＞0 开口向上、a＜0 开口向下，|a| 越大开口越小；对称轴是 y 轴，顶点是原点；图象关于 y 轴对称——点 (m,n) 在图象上，则 (-m,n) 也在图象上；a＞0 时顶点是最低点，函数有最小值。 二、顶点式、平移与一般式——图象变换与配方 ◆ 顶点式 y＝a＋k 与平移：顶点 (h,k)、对称轴为直线 x＝h；抛物线平移口诀『左加右减、上加下减』——向左平移 m 个单位，x 加 m；向上平移 n 个单位，k 加 n；平移前后形状不变（a 相同），只改变 h 与 k。 ◆ 一般式与配方：y＝a＋bx＋c 配方得 y＝a＋，对称轴为直线 x＝－；比较函数值大小：先看开口方向，再把各点折到对称轴同侧，按到对称轴的距离定大小——开口向上时离轴越近值越小，开口向下时离轴越近值越大。 三、最值、与一元二次方程的关系及实际应用——区间定最值、Δ 联动与建模 ◆ Δ 与交点：令 y＝0 得一元二次方程 a＋bx＋c＝0，Δ＞0 时抛物线与 x 轴有两个交点，Δ＝0 时只有一个，Δ＜0 时没有；抛物线与直线的公共点由两解析式联立消元后用 Δ 判断；『只有一个公共点』要分二次（Δ＝0）与退化一次两种情形讨论。 二次函数考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 考点 1 概念 y＝a＋bx＋c（a≠0）· 最高次数 2 判定、含参定 a 的范围 化简后二次项系数为 0 考点 2 图象性质 开口定 a · 对称轴 y 轴 · 顶点原点 性质判断、对称性运用 开口方向与 |a| 大小混谈 考点 3 顶点式与平移 y＝a＋k 顶点 (h,k) 读顶点、平移定 h 与 k 平移方向与符号写反 考点 4 一般式配方 对称轴 x＝－ · 配方归顶点式 配方、比大小、求解析式 配方漏提 a、比大小不折同侧 考点 5 最值 轴内比顶点端点 · 轴外端点定最值 区间最值、动轴最值、利润最值 顶点不在范围内仍代顶点 考点 6 与一元二次方程 Δ＞0 两交点 · Δ＝0 一个 · Δ＜0 无 判交点数、联立求交点 漏分一次函数退化情形 考点 7 实际应用 增长率列式 · 利润＝(售价－成本)×销量 建模、配方求最值 忘自变量范围与实际检验 ◆ 二次函数的最值：a＞0 时有最小值、a＜0 时有最大值，最值在顶点处取得；给定区间 m≤x≤n 时先看对称轴在不在区间内——轴在区间内，比顶点值与两端点值；轴在区间外，按增减性取两端点值；含参数的『动轴定最值』按轴与区间的位置分类讨论；实际问题的最值必须检验自变量取值范围与实际意义。 四、跨考点综合——图象、方程与实际应用联动 ◆ 分类讨论的两种必分情形：含参数 a 的函数——a≠0 是二次函数、a＝0 退化为一次函数；实际应用最值——顶点横坐标不在自变量范围内时，改按增减性取端点值。 ◆ 求解析式的三条路径：已知顶点（或对称轴）设顶点式 y＝a＋k；已知与 x 轴两交点设交点式 y＝a(x－)(x－)；已知三点设一般式 y＝a＋bx＋c——按条件选式，代入定参。 ◆ 函数与方程联动的三种状态：Δ＞0 抛物线与 x 轴交于两点；Δ＝0 只有一个公共点（顶点恰在 x 轴上）；Δ＜0 无公共点——既可由图象位置反推 Δ，也可由 Δ＝0 反求参数。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 二次函数是人教版九上第 26 章的核心内容，也是期中卷的函数主战场：概念判定与图象性质稳定出现在选择填空，顶点式平移与配方是中档题常客，最值、Δ 与交点、利润最值是压轴板块。 概念与最基础图象是全章地基：二次函数的判定看『a≠0 与最高次数 2』两条件；y＝a的开口、对称轴、顶点是读一切抛物线的起点——含参数的题先保证 a≠0，这一隐含条件贯穿全章。 顶点式、平移与一般式是图象性质的主战场：顶点式直接读顶点与对称轴，平移口诀『左加右减、上加下减』管变换，一般式配方或对称轴公式化归顶点式——比较函数值大小靠『对称轴＋开口方向』两步定序。 最值、Δ 联动与实际应用是区分度来源：区间最值按『对称轴在区间内、外』分两类比较顶点与端点；Δ 定抛物线与 x 轴交点数；利润＝(售价－成本)×销量建模后配方求最值——自变量范围与实际意义检验必须写进卷面。 答题方法（三步法） 第一步·定系数：概念题先化简成 y＝a＋bx＋c，确认 a≠0、最高次数 2；求解析式按条件选式——三点设一般式，顶点＋一点设顶点式，与 x 轴两交点设 y＝a(x－)(x－)，代入条件解方程（组）定系数。 第二步·用性质：顶点式读顶点 (h,k)、对称轴 x＝h；一般式配方化顶点式，对称轴 x＝－；比较函数值先看开口、再看点到对称轴的距离；平移按『左加右减（x）、上加下减（k）』操作，平移前后 a 不变。 第三步·验作答：交点问题令 y＝0 化为方程、用 Δ 判断（一个公共点分二次与一次两种情形）；最值问题配方成顶点式后先看自变量取值范围——对称轴在区间内时比顶点与端点、在区间外时按增减性取端点；应用题的解要过实际意义关（价格非负、每件利润非负），最后按题目要求完整作答。 注意事项（易错警示） 概念判定第一错点是含参降次：化简后二次项系数为 0 的是一次函数，分母含未知数的不是二次函数——不化简就判断必错。二次项系数含参数时，a≠0 这一隐含条件不能漏，还要讨论 a＝0 退化一次的情形。 平移方向与符号是扣分重灾区：y＝a＋k 中 h 是『右移 h 个单位』、k 是『上移 k 个单位』——左移加、右移减、上移加、下移减，方向别写反；平移前后形状不变（a 相同），只改变 h 与 k。 比较函数值不要硬代硬算：先找对称轴，利用对称性把点折到同侧再比——开口向上时离轴越近值越小，开口向下时离轴越近值越大；题给三点不在同侧时对称性是唯一省力路径。 区间最值与交点都要验前提：区间最值先判断对称轴在不在范围内——轴在区间内时（开口向上）最小值取顶点、最大值取离轴最远的端点；轴不在区间内时按增减性取两端点。Δ≥0 才有交点；利润最值先看自变量范围，顶点不在范围内时按增减性取端点值，最后检验实际意义。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 概念判定 化简后核对 a≠0 与最高次数 2 下列函数中，一定是二次函数的是 ★☆ y＝a图象性质 开口方向 · 对称轴 · 顶点 · 对称性 y＝m经过点 (2,-5)，则它也经过 ★☆ 顶点式与平移 左加右减 · 上加下减，a 不变 抛物线如何平移，可使新图象与 x 轴…… ★★ 一般式与配方 配方化顶点式 · 对称轴 x＝－ 化为 y＝a＋k 的形式 ★★☆ 最值 轴内比顶点端点 · 轴外端点定最值 当 －1≤x≤2 时，y 的最大值与最小值 ★★☆ 与一元二次方程 Δ 定交点数 · 联立求交点 图象与 x 轴只有一个公共点，则 k＝ ★★☆ 实际应用 列式 · 利润建模 · 最值与检验 求最大利润／y 与 x 满足的关系式是 ★★★ 命题边界：本考点考二次函数（概念——定义三条件与含参 a≠0；图象与性质——开口、对称轴、顶点、增减性与比大小；顶点式与平移——左加右减、上加下减；一般式配方；最值——区间最值与实际最值；与一元二次方程的关系——Δ 与公共点个数；实际应用——增长率、利润最值与自变量范围）。待定系数法按人教版必学内容处理。 PART 03 例题精讲（6 题）· 基础与中档考点 例题覆盖：含参定义（填空·嵌空）→ 图象上点比大小（选择）→ 平移与交点距离（选择）→ 配方化顶点式（选择）→ 唯一公共点求参数（填空·嵌空）→ 交点式求解析式＋区间最值（解答）→ 变式覆盖概念判定、对称性、顶点式比大小、降价率＋月利润最值、Δ＝0 求参数（嵌空）、季度增长率列式 → 拔高覆盖区间最值（选择·填空）、平移顶点落直线求 k（选择）、动轴区间最值（填空）、让利利润建模（解答）、分段函数最值（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教概念判定（填空·嵌空）：先合并同类项化成一般形式，二次项系数是含 a 的式子，由 a≠0 定范围——化简后再判断是概念题铁律； ◆ 例 2 教 y＝＋k 的性质（选择）：开口向上、对称轴为 y 轴，比较函数值先算各点到对称轴的距离，离轴越近值越小； ◆ 例 3 教平移与交点联动（选择）：先化出对称轴，再按各选项平移逐一验证两交点距离——设出交点用含 t 的式子表示距离最省力； ◆ 例 4 教配方（选择）：把一般式配方成顶点式，两边加一次项系数一半的平方，注意项的符号； ◆ 例 5 教 Δ 与交点（填空·嵌空）：『只有一个公共点』要分二次（Δ＝0）与一次（k＝1 退化）两种情形，两解缺一不可； ◆ 例 6 教区间最值（解答·三问）：交点式求解析式、配方定顶点；对称轴在区间内时最小值取顶点，最大值在离轴最远的端点处取得。 例 1　填空题 （2025·海淀区·质检）已知关于 x 的函数 y＝a＋3x－＋1 是二次函数，则 a 的取值范围是 ____a≠1____． 【答案】a≠1 【解析】先把函数式合并同类项化为一般形式，二次项系数是含 a 的式子；由二次函数的定义，二次项系数不为 0，即得 a 的取值范围。 【详解】y＝a＋3x－＋1 ＝(a－1)＋3x＋1， ∵ 该函数是二次函数， ∴ 二次项系数 a－1≠0， 解得 a≠1． 例 2　选择题 （2025 秋·泸州·期末）点 A(-1,)，B(2,)，C(3,) 在二次函数 y＝＋3 的图象上，则 ，， 的大小关系是（　　） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】A 【解析】a＝1＞0，开口向上，对称轴为 y 轴——先算三点到对称轴的距离 1、2、3，开口向上时离轴越近函数值越小，按距离从小到大排序即得大小关系。 【详解】∵ 抛物线 y＝＋3 的开口向上，对称轴为 y 轴， 点 A、B、C 到 y 轴的距离分别为 1、2、3， ∵ 开口向上，到对称轴距离越小的点，函数值越小， ∴ ＜＜， 故选：A． 例 3　选择题 （2026·安阳·期末）移动二次函数 y＝－(x－2023)(x－2025)＋5 的图象，使新图象与 x 轴交于两点，且这两点之间的距离为 2 个单位长度，则移动的方式可以是（　　） A．向上平移 5 个单位长度 B．向左平移 2 个单位长度 C．向下平移 5 个单位长度 D．向右平移 2 个单位长度 【答案】C 【解析】抛物线 y＝－(x－2023)(x－2025)＋5 的对称轴为直线 x＝2024。按各选项的平移逐一验证：向下平移 5 个单位后解析式恰为 y＝－(x－2023)(x－2025)，令 y＝0 得 x＝2023 或 2025，两交点距离为 2；其余平移方式用『设交点为对称轴两侧等距点』统一验证，距离均不为 2。 【详解】抛物线 y＝－(x－2023)(x－2025)＋5 的对称轴为直线 x＝2024， C．向下平移 5 个单位长度，得 y＝－(x－2023)(x－2025)＋5－5＝－(x－2023)(x－2025)， 令 y＝0，得 x＝2023 或 x＝2025，两交点之间的距离为 |2025－2023|＝2，符合题意； A．向上平移 5 个单位长度，令 y＝0 得 (x－2023)(x－2025)＝10， 设 x＝2024＋t，则 (1＋t)(t－1)＝－1＝10，即 ＝11， 两交点之间的距离为 2t＝2≠2，不符合题意； B．向左平移 2 个单位长度，得 y＝－(x－2021)(x－2023)＋5， 令 y＝0 得 (x－2021)(x－2023)＝5， 设 x＝2022＋t，则 －1＝5，即 ＝6， 两交点之间的距离为 2≠2，不符合题意； D．向右平移 2 个单位长度，与向左平移同理，两交点之间的距离为 2≠2，不符合题意； 故选：C． 例 4　选择题 （2025·鼓楼区·校级一模）将二次函数 y＝－2x＋4 化为 y＝a＋k 的形式，结果正确的是（　　） A．y＝＋3 B．y＝＋3 C．y＝＋2 D．y＝＋2 【答案】B 【解析】配方：把 －2x 配成完全平方式，需要加上一次项系数一半的平方——(－2) 的一半的平方是 1，加上 1 再减去 1，常数项 4－1＝3，即得 y＝＋3。 【详解】y＝－2x＋4 ＝－2x＋1＋3 ＝＋3， 故选：B． 例 5　填空题 （2026·湖州·期中）若函数 y＝(k－1)＋3x－2 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 k＝ ____1 或 －____． 【答案】1 或 － 【解析】『只有一个公共点』要分两种情形：①k＝1 时函数退化为一次函数 y＝3x－2，与 x 轴恰有一个公共点；②k≠1 时是二次函数，与 x 轴只有一个公共点等价于 Δ＝0。含参数的函数题，先看二次项系数能否为 0，再分类讨论，这是最容易漏解的地方。 【详解】①当 k＝1 时，y＝3x－2 是一次函数， 令 y＝0，得 x＝，图象与 x 轴只有一个公共点，符合题意； ②当 k≠1 时，函数是二次函数， Δ＝－4×(k－1)×(－2)＝9＋8(k－1)＝8k＋1， 令 Δ＝0，得 8k＋1＝0，解得 k＝－，符合题意； 综上，k＝1 或 －． 例 6　解答题 （2026·人教版第26章·单元培优测试卷）已知抛物线经过点 A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-3)． (1) 求该抛物线的解析式； (2) 求该抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 当 －1≤x≤2 时，求 y 的最大值与最小值． 【答案】(1) y＝－2x－3；(2) 顶点坐标为 (1，－4)，对称轴为直线 x＝1；(3) 最大值为 0，最小值为 －4． 【解析】(1) 抛物线经过 A、B 两个 x 轴上的点，设交点式 y＝a(x＋1)(x－3)，代入 C 点坐标定 a；(2) 配方化顶点式，直接读顶点与对称轴；(3) 对称轴 x＝1 在区间 －1≤x≤2 内且开口向上，最小值取顶点纵坐标；最大值在离对称轴最远的端点处取得——比较两端点函数值取较大者。 【详解】(1) ∵ 抛物线经过 A(-1，0)、B(3，0)， ∴ 设该抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－3)， 把 C(0，-3) 代入，得 a×1×(－3)＝－3，解得 a＝1， ∴ y＝(x＋1)(x－3)＝－2x－3； (2) y＝－2x－3＝－4， ∴ 顶点坐标为 (1，－4)，对称轴为直线 x＝1； (3) ∵ 对称轴 x＝1 在 －1≤x≤2 内，且抛物线开口向上， ∴ 当 x＝1 时，y 取最小值 －4； 当 x＝－1 时，y＝1＋2－3＝0；当 x＝2 时，y＝4－4－3＝－3， ∴ 当 x＝－1 时，y 取最大值 0， 即 y 的最大值为 0，最小值为 －4． PART 04 变式练习（6 题）· 中档考点强化 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练概念与对称性：变 1 用定义三条件逐项核对（B 项需 a≠0、D 项分母含自变量），变 2 用 y＝m 关于 y 轴的对称性——图象上点 (x，y) 与 (－x，y) 同在； ◆ 变 3 练顶点式比大小：开口向下、离对称轴越近函数值越大——先求三点到对称轴 x＝－1 的距离，再按远近排序，不必逐个代入； ◆ 变 4 练降价率与月利润最值（解答）：两次降价同百分率列 100＝81 解方程；月利润＝(每件利润)×(月销量)，销量随售价线性变化，配方求最值并核对自变量范围； ◆ 变 5 练交点个数（填空·嵌空）：抛物线与直线只有一个公共点，联立消元后由 Δ＝0 解出 m； 变式 1　选择题 （2025 秋·金寨县·期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x－1 B．y＝a＋bx＋c C．y＝3－2x＋1 D．y＝＋ 【答案】C 【解析】按定义三条件逐项核对：是整式、含自变量的二次项、二次项系数不为 0——A 是一次函数；B 中 a 可能为 0，未必是二次函数；D 分母含自变量，不是整式。 【详解】A．y＝3x－1 是一次函数，不符合； B．当 a＝0 时，y＝a＋bx＋c 不含二次项，不一定是二次函数，不符合； C．y＝3－2x＋1 是整式，且二次项系数 3≠0，是二次函数，符合； D．y＝＋ 的分母中含有自变量 x，不是整式，不符合； 故选：C． 变式 2　选择题 （2025 秋·长丰县·期末）若二次函数 y＝m（m≠0）的图象经过点（2，－5），则它也经过（　　） A．（－2，－5） B．（－2，5） C．（2，5） D．（－5，2） 【答案】A 【解析】抛物线 y＝m 的对称轴是 y 轴，图象上每一点 (x，y) 关于 y 轴的对称点 (－x，y) 仍在图象上——只改横坐标的符号，纵坐标不变。 【详解】∵ 抛物线 y＝m（m≠0）的对称轴为 y 轴， ∴ 点（2，－5）关于 y 轴的对称点（－2，－5）也在这条抛物线上， 故选：A． 变式 3　选择题 （2025 秋·南宫市·期末）设 A（－5，），B（1，），C（2，) 是抛物线 y＝－＋3 上的三点，则 ，， 的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 【答案】A 【解析】抛物线开口向下时，离对称轴越近的点函数值越大——比较三点横坐标到对称轴的距离即可，不必逐个代入求值。 【详解】抛物线 y＝－＋3 的开口向下，对称轴为直线 x＝－1， 点 A、B、C 到对称轴的距离分别为 ∣－5－(－1)∣＝4，∣1－(－1)∣＝2，∣2－(－1)∣＝3， ∵ 2＜3＜4，即点 B 离对称轴最近，点 A 离对称轴最远， ∴ ＞＞， 故选：A． 变式 4　解答题 （2025·人教版·期末巩固训练）某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售． (1) 为了促销，该商品经过两次降价后每件售价为 81 元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2) 经调查，该商品每降价 2 元，每月可多售出 10 件，若该商品按原标价出售，每月可销售 100 件，那么当销售价为每件多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】(1) 每次降价的百分率为 10%；(2) 当销售价为每件 90 元时，月利润最大，最大月利润为 4500 元． 【解析】(1) 设每次降价的百分率为 x，从 100 元降到 81 元、两次同百分率，列 100＝81，解出的两根中大于 1 的舍去；(2) 设销售价为每件 m 元，销量＝100＋5×(100－m)，月利润 y＝(m－60)×销量，展开配方成顶点式，由开口向下取最大值，注意 90 在 60＜m≤100 内。 【详解】(1) 设每次降价的百分率为 x， 由题意得 100＝81， 解得 ＝0.1，＝1.9， ∵ 0＜x＜1，∴ x＝1.9 舍去，x＝0.1＝10%， 即每次降价的百分率为 10%； (2) 设销售价为每件 m 元，月利润为 y 元， 由『每降价 2 元多售 10 件』知：每降价 1 元多售 5 件， y＝(m－60)[100＋5(100－m)] ＝(m－60)(600－5m) ＝－5＋900m－36000 ＝－5(－180m)－36000 ＝－5＋4500， ∵ a＝－5＜0，且 90 在 60＜m≤100 内， ∴ 当 m＝90 时，y 取最大值 4500， 即当销售价为每件 90 元时，月利润最大，最大月利润为 4500 元． 变式 5　填空题 （2025·兰陵县·一模）若抛物线 y＝－2x 与直线 y＝m 只有一个公共点，则 m 的值为 ____－1____ ． 【答案】－1 【解析】联立两式消去 y，『只有一个公共点』即所得一元二次方程有两个相等的实数根——由 Δ＝0 解出 m。 【详解】联立 y＝－2x 与 y＝m， 消去 y，得 －2x＝m，即 －2x－m＝0， ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ 该方程有两个相等的实数根，即 Δ＝－4×1×(－m)＝0， 解得 4＋4m＝0，即 m＝－1． 变式 6　选择题 （2025·长沙·质检）某工厂七月份生产零件 50 万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为 x，如果第三季度共生产零件 y 万个，那么 y 与 x 满足的函数关系式是（　　） A．y＝50 B．y＝50＋50(1＋x)＋50 C．y＝50(1＋x)＋50 D．y＝50＋50(1＋x) 【答案】B 【解析】第三季度含 7、8、9 三个月：7 月为 50 万个，8 月为 50(1＋x) 万个，9 月为 50 万个——y 为三个月产量之和。C 缺 7 月产量，A、D 项数不全。 【详解】由题意，得 7 月份产量为 50 万个， 8 月份产量为 50(1＋x) 万个， 9 月份产量为 50 万个， ∴ y＝50＋50(1＋x)＋50， 故选：B． PART 05 拔高巩固（6 题）· 压轴考点冲刺 拔高组全部选自 2025、2026 年考试真题中区分度最高的题型：区间最值、动轴定最值、利润建模与分段最值——建议每题限时 6～8 分钟，独立完成后再对照详解订正；两道填空的答案已嵌在空格中，自测时先遮住红色部分。 拔高组冲刺要点（先读再做） ◆ 拔 1、拔 3 练区间最值（选择／填空·嵌空）：配方找对称轴，轴在区间内比顶点与端点、轴在区间外按增减性取端点——最大值在离轴最远的点处、最小值在顶点或离轴最近的点处取得； ◆ 拔 2 练平移与直线联动（选择）：平移『左加右减、上加下减』后顶点坐标用 k 表示，代入直线方程解 k，选完代回验证； ◆ 拔 4 练动轴区间最值（填空·嵌空）：对称轴随 m 变化，与区间的位置分『轴在区间内、轴在区间外』两类讨论，解出 m 后必须按位置条件验根； ◆ 拔 5 练让利利润建模（解答·三问）：赠礼后每盒利润减 m，最大利润是关于 m 的二次式——解出的两根都要按『每盒利润非负』检验取舍； 拔高 1　选择题 （2026·人教版第26章·单元测试提升卷）函数 y＝＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（　　） A．4 和 －3 B．－3 和 －4 C．5 和 －4 D．－1 和 －4 【答案】C 【解析】配方得 y＝－4，对称轴 x＝－1 在区间 －2≤x≤2 内且开口向上：最小值＝顶点纵坐标 －4；最大值在离对称轴最远的端点处取得——x＝2 到轴的距离为 3、x＝－2 到轴的距离为 1，故在 x＝2 处取最大值。 【详解】y＝＋2x－3＝－4，对称轴为直线 x＝－1， ∵ －1 在 －2≤x≤2 内，且抛物线开口向上， ∴ 当 x＝－1 时，y 取最小值 －4； x＝2 到对称轴的距离为 3，x＝－2 到对称轴的距离为 1， ∴ 当 x＝2 时，y 取最大值，y＝4＋4－3＝5， 即最大值为 5，最小值为 －4， 故选：C． 拔高 2　选择题 （2025·人教版·期末综合评价测试卷）将二次函数 y＝－＋k＋1 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，若所得图象的顶点在直线 y＝2x＋1 上，则 k 的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】C 【解析】原抛物线顶点为 (k，k＋1)；向右平移 1 个单位横坐标加 1、向上平移 2 个单位纵坐标加 2，平移后顶点为 (k＋1，k＋3)，代入直线 y＝2x＋1 解 k，选完代回验证。 【详解】抛物线 y＝－＋k＋1 的顶点为 (k，k＋1)， 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度， 平移后的顶点为 (k＋1，k＋3)， ∵ 平移后的顶点在直线 y＝2x＋1 上， ∴ k＋3＝2(k＋1)＋1， 解得 k＋3＝2k＋3，即 k＝0， 故选：C． 拔高 3　填空题 （2026·人教版第26章·单元培优测试卷）当 1≤x≤3 时，二次函数 y＝－2x－3 的函数值 y 的取值范围是 ____－4≤y≤0____． 【答案】－4≤y≤0 【解析】配方 y＝－4，对称轴 x＝1 恰为区间的左端点且开口向上：最小值在顶点处取得；最大值在离对称轴最远的右端点 x＝3 处取得。区间端点与对称轴重合时，顶点值仍要算——这是本题的隐蔽点。 【详解】y＝－2x－3＝－4，对称轴为直线 x＝1， ∵ 1≤x≤3，对称轴 x＝1 恰为区间的左端点，且抛物线开口向上， ∴ 当 x＝1 时，y 取最小值 －4； 当 x＝3 时（离对称轴最远），y 取最大值，y＝9－6－3＝0， ∴ 函数值 y 的取值范围是 －4≤y≤0． 拔高 4　填空题 （2026·人教版第26章·单元测试提升卷）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝＋mx＋2m（m 为常数，m＜0），若对于任意的 x 满足 m≤x≤m＋2，且此时 x 所对应的函数值的最小值为 ，则 m 的值为 ____－____． 【答案】－ 【解析】含参区间最值要按对称轴与区间的位置分类：轴 x＝－＞0，而区间两个端点 m、m＋2 均与 m 相关，先用“轴在区间内”检验（此时 m≤－≤m＋2 解得 －≤m＜0），但该情形下区间内最小值＝顶点纵坐标，解出的 m 均为正数，舍去；于是轴在区间右侧、区间上 y 随 x 增大而减小，最小值在右端点 x＝m＋2 处取得，代入解方程后按 m＜0 及区间条件取值。 【详解】抛物线对称轴为直线 x＝－， 若对称轴在区间内，即 m≤－≤m＋2，解得 －≤m＜0， 此时最小值＝顶点纵坐标 2m－＝， 即 －8m＋2＝0，解得 m＝4±，均为正数，舍去； ∴ 对称轴在区间右侧，区间 m≤x≤m＋2 上 y 随 x 增大而减小， ∴ 当 x＝m＋2 时取得最小值： y＝＋m(m＋2)＋2m＝2＋8m＋4＝， 即 4＋16m＋7＝0，解得 m＝－ 或 m＝－， 当 m＝－ 时 －≥－，对称轴在区间内，不合题意，舍去； 当 m＝－ 时 －＜－，符合题意， ∴ m 的值为 －． 拔高 5　解答题 （2025·秋·漳州·期末）某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 y（盒）与销售单价 x（元）是一次函数关系，下表是 y 与 x 的几组对应值： 销售单价 x/元　…　12　　14　　16　　18　　20　… 销售量 y/盒　　…　56　　52　　48　　44　　40　… (1) 求 y 与 x 的函数表达式； (2) 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ (3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元，求 m 的值． 【答案】(1) y＝－2x＋80；(2) 单价定为 25 元，最大利润 450 元；(3) m＝2． 【解析】(1) 表中 x 每增加 2、y 减少 4，是一次函数，任取两点待定系数；(2) 利润＝(售价－进价)×销量，代入 (1) 的关系式展开配方，由开口向下定最值；(3) 赠礼后每盒利润变为 x－10－m，重新写出 w 并配方，顶点横坐标为 25＋；由最大利润＝392 列关于 m 的二次方程，解出的两根必须逐一检验——m＝58 时售价 54 元、每盒利润 54－10－58＝－14＜0，舍去。 【详解】(1) 设 y＝kx＋b（k≠0）， 把 x＝12，y＝56；x＝20，y＝40 代入，得 12k＋b＝56，20k＋b＝40， 解得 k＝－2，b＝80， ∴ y 与 x 的函数表达式为 y＝－2x＋80． (2) 设日销售利润为 w 元， w＝(x－10)(－2x＋80)＝－2＋100x－800＝－2＋450， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 当 x＝25 时，w 取最大值 450， ∴ 糖果销售单价定为 25 元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450 元． (3) 赠送礼品后，每盒利润为 x－10－m 元， w＝(x－10－m)(－2x＋80)＝－2＋(100＋2m)x－800－80m， 当 x＝＝25＋ 时，w 取最大值， 最大值为 －2＋(100＋2m)(25＋)－800－80m＝－30m＋450， 由最大利润为 392 元，得 －30m＋450＝392， 整理得 －60m＋116＝0，即 (m－2)(m－58)＝0， 解得 m＝2 或 m＝58， 当 m＝58 时，x＝25＋29＝54，每盒利润 54－10－58＝－14＜0，舍去； 当 m＝2 时，x＝25＋1＝26，每盒利润 26－10－2＝14＞0，符合题意， ∴ m 的值为 2． 拔高 6　解答题 （2025·秋·人教版·第二次期末检测）某快餐店销售某种盒饭，每盒成本 5 元，每盒售价 x 元（5≤x≤10）时，每天可售出 400 盒；售价每提高 1 元，每天少售出 40 盒（售价不低于 5 元）． (1) 求每天利润 y（元）与售价 x（元）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当售价为每盒多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) y＝400x－2600（5≤x≤10），y＝－40＋1000x－4600（x＞10）；(2) 每盒 12.5 元，最大利润 1650 元． 【解析】(1) 售价分段：5≤x≤10 时销量恒为 400 盒，利润＝(x－5)×400－600；x＞10 时售价每提高 1 元少售 40 盒，销量＝400－40(x－10)，利润同样＝(每盒利润)×销量－600；(2) 第一段 y 随 x 增大而增大，最大在 x＝10 处；第二段配方求顶点，比较两段的最大值取大者。 【详解】(1) 当 5≤x≤10 时，y＝400(x－5)－600＝400x－2600（5≤x≤10）， 当 x＞10 时，销量为 400－40(x－10)＝800－40x 盒， y＝(x－5)(800－40x)－600＝－40＋1000x－4600（x＞10）， ∴ y＝400x－2600（5≤x≤10）或 y＝－40＋1000x－4600（x＞10）． (2) 当 5≤x≤10 时，400＞0，y 随 x 增大而增大， 当 x＝10 时，y 最大＝400×10－2600＝1400， 当 x＞10 时，y＝－40＋1000x－4600＝－40＋1650， ∵ 抛物线开口向下，当 x＝12.5 时，y 最大＝1650， ∵ 1650＞1400， ∴ 当售价为每盒 12.5 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 1650 元． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 含参二次函数定义（a≠1） 例 2 开口向上·距离比大小 例 3 平移后两交点间距离 例 4 一般式配方化顶点式 例 5 唯一公共点求参数（k 分类） 例 6 交点式求解析式＋区间最值 变式 1 一定是二次函数的判定 变式 2 y＝m 的轴对称性 变式 3 开口向下·距离比大小 变式 4 降价率＋月利润最值 变式 5 Δ＝0 求参数（嵌空） 变式 6 季度增长率列式 拔高 1 轴在区间内·顶点端点比较 拔高 2 平移顶点落直线求 k 拔高 3 区间函数值取值范围（嵌空） 拔高 4 动轴定区间最值·分类验根 拔高 5 赠礼让利·利润建模验根 拔高 6 分段建模·两段最值比较 使用建议：本卷例题 6＋变式 6＋拔高 6 共 18 题（选 9·填 5·解 4），全部选自 2025、2026 年考试真题并在题干注明出处；限时 40 分钟完成，参考用时例题 12 分钟、变式 13 分钟、拔高 15 分钟，到时先停笔对答案。订正后让学生在订正完成栏打勾，保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：定义先看二次项系数 a≠0；比大小先看开口方向，再量点到对称轴的距离；平移口诀『左加右减、上加下减』；一般式配方定顶点；最值看两点——轴在区间内比顶点与端点、轴在区间外按增减性取端点；公共点个数由 Δ 定——Δ＞0 交于两点、Δ＝0 只有一个、Δ＜0 没有；实际问题先设变量列函数式，最值看顶点，别忘自变量取值范围与检验；解出的参数必须代回实际意义验根。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $