专题05 与角有关的旋转问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题05 与角有关的旋转问题 常考题型·精准突破 题型1 旋转中求的角定值问题（重） 题型2 旋转中探究角的数量关系问题 题型3 旋转中求角的运动时间问题（高频） 题型4 旋转中探究角的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 旋转中求的角定值问题 1． 【答案】(1)， (2)的度数是一个定值，为． 【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算； （2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）在的变化过程中，的度数是一个定值． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 即的度数是一个定值，为． 2． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 3． 【答案】(1)或 (2) (3)时，或时，，是定值． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，正确分类并画出图形是关键． （1）分两种情况：射线在内部；射线在外部，且在射线上方；即可计算； （2）设，易得，，进而可表示出及，即可求得的度数；　 （3）记转过的角度为，分四种情况：①当时，此时，；②当时，此时；③当时，且在外时，此时；④当时，且在内部或与重合时，此时；利用角的和差倍关系，用表示出有关角的度数，再求的结果即可． 【详解】（1）解：射线在内部时，如图； 因为， 所以， l； 当射线在外部，且在射线上方时，如图； 因为， 所以， 所以； 综上，为或； （2）解： 设， ∵是的四等分线，且， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：记转过的角度为，分四种情况讨论： ①当时，此时，，如图， 由题意， 所以， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，，是定值． ②当时，此时，如图， 由题意， 则 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，不是定值． ③当时，且在外时，此时，如图， 由题意， 所以 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以， 所以当时，不是定值． ④当时，且在内部或与重合时，此时，如图， 由题意， 所以， 所以 ， 所以， 所以时，为定值． 综上所述：时，或时，，是定值． ◆题型2 旋转中探究角的数量关系问题 4． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数，再根据，求出结果即可； （2）设，则，，根据角平分线定义得出，，最后求出即可； （3）设，则，可分两种情况：当在直线上方（含与重合）时，当在直线下方（含与重合）时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以； （2）解：设，则， ， 因为平分， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以； （3）解：设，则， 如图3，当在直线上方（含与重合）时， 因为平分， 所以， 所以， 所以； 如图4，当在直线下方（含与重合）时， 因为平分， 所以， 所以 所以． 综上，或． 5． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：略． 6． 【答案】(1) 的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； (2)①； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①∵， ∴； ②略． ③略． ◆题型3 旋转中求角的运动时间问题 7． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 8． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【分析】本题考查角度的计算，与角的平分线有关的计算，找到角度关系并分类讨论不同情况是解题关键． （1）根据图象直观判断转动的角度即可； （2）先计算出的度数，再利用角度和差计算即可； （3）分情况讨论，找到不同情况下的图形，计算旋转角度，再计算旋转时间即可． 【详解】（1）解：由图可知，转动的角为， 由题意可知，， 故答案为：； （2）解：由题意，可知，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 第一种：记初始位置为射线，当的延长线平分时，示意图如下， ∴， ∴， ∴， ， 故此时旋转时间； 第二种：记初始位置为射线，当平分时，示意图如下， 由第一种可知， ∴， 故旋转的角度为， ， 故此时旋转时间， 综上，三角板绕点O的旋转时间或． 9． 【答案】(1) (2) 是的平分线，理由如下： ， ， ， 平分， ， ，即， 是的平分线； (3)①；②5或9 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）将中拆为，结合平分即可判断； （3）①先求出，根据题意可得，，由此求出；②根据位置不同，分情况讨论即可． 【详解】（1）解： 平分平分， （2）略 （3）解：①∵， ， 由题意得：， ， ； ②∵， ∴， ， （i）当时，和分别在和内部， ， ， 若，则，不符合； （ii）， 当时，如图： ， ， ，则，符合； （iii）当和重合时： ， 即，则； 故当时，如图： ， ， ，则，不符合； （iv）当时，如图： 则当时，，解得， ∵的旋转速度大于的旋转速度， ∴时，； 综上所述，的值为5或9． ◆题型4 旋转中探究角的新定义型问题 10． 【答案】(1)是，3 (2)，， (3)24秒或30秒或秒 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【详解】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 11． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，角平分线的定义等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）根据“双倍和谐线”的定义可直接得到答案； （2）根据“双倍和谐线”的定义得或，分情况讨论，即可解答； （3）根据“双倍和谐线”的定义得或，再分情况讨论，分别求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：∵射线是射线和的“双倍和谐线”， ∴或，且射线在的内部， 又∵， ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； ∵射线是射线和的“双倍和谐线”， ∴或， ①当时，且在外部时，如图， 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； ②当时，且在内部时，如图： 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； ③当时，如图： 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； 综上：或或时，射线是射线和的“双倍和谐线”． 12． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空题 6．45 7．或 8．或 9．或或或 10． 或 三、解答题 11． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12． 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 13． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 14． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 15． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 16． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识． （1）根据“量尺金线”定义即可得到答案； （2）由角平分线的定义可以证明； （3）分、、三种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵中是的“量尺金线”，且， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵平分， ∴ ∴射线是的“量尺金线”； （3）当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 综上可知，的度数为． 17． 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 18． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05与角有关的旋转问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1旋转中求的角定值问题（重） 题型2旋转中探究角的数量关系问题 题型3旋转中求角的运动时间问题（高频） 题型4旋转中探究角的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1旋转中求的角定值问题 1.(25-26七年级上全国课后作业)如图，在同一平面内，∠40B=90°，0C是0A绕点0按顺时针方向 旋转a(a<90°)得到的，OD是∠B0C的平分线，OE是∠AOC的平分线. (1)若a=60°，即∠AOC=60°，则∠BOC= ∠DOE= (2)在α的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由. 2.(25-26七年级下'山东烟台期末)将一副三角板（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC=45°， ∠DAE=30°)按如图1所示的方式摆放，点E,A,B在同一条直线上，AM和AN分别平分∠BAE和 ∠CAD.然后，将三角形ADE绕点A沿顺时针方向旋转α°(0<<60)至图2的位置，三角形ABC保 持不动。 A 图1 图2 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)图1中∠MAN的度数为_； (2②)在图2中，若∠DAC=75°，则的值为.∠MAN的度数为_. (3)在旋转过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明 理由， 3.(25-26七年级上山东济南阶段检测)已知如图1，∠40B=40°. 图1 图2 图3 ()若∠A0C=3∠B0C,则∠BOC= (②)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM, 求4∠AON+∠COM的值： (3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋 转过程中，设运动的时间为t,ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM,当t在某个范围内 4∠AON+∠COM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180° 的角)· ◆题型2旋转中探究角的数量关系问题 4.(25-26七年级上福建福州期末)已知将直角三角板C0D(∠C0D=90°)的直角顶点O放在直线AB 上，射线OE平分∠AOD B 图1 图2 (1)如图1，若∠B0D=60°，求∠COE的度数： (2)如图2，若OF平分∠BOC,求∠EOF的度数： (3)将直角三角板COD绕顶点O按顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，求∠BOD与∠COE的数量关系. 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下江西景德镇期中)如图1，直角三角尺的一个项点0在直线AB上，且∠C0D=60° OE平分∠BOC 0 B 图1 图2 (1)若∠D0E=20°，则∠AOC的度数为 (2)将图1中的直角三角尺绕点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠DOE=40°，求∠AOC的 度数： (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点O顺时针旋转，其他条件不变，点D落在射线OA上时停止旋转， 当OC旋转到AB下方时，请写出在此旋转过程中∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由. 6.(25-26七年级下上海宝山阶段检测)解答下列各题： D 图1 图2 图3 图4 (1I)如图I,P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线.试探 究：当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由： (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方，如图2，此时 ∠ACM与∠BCN的数量关系是： ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B在直线MN的上方时，如图3，探究 ∠ACM与∠BCN的数量关系，并说明理由： ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时，如图4，探究∠ACM与∠BCN 的数量关系，并说明理由， ◆题型3旋转中求角的运动时间问题 7.(25-26七年级上河北石家庄期中)己知∠A0C=40°，∠B0D=20°，∠A0C和∠B0D均可绕点0进 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行旋转，点M,O,N在同一条直线上，OP是∠COD的平分线. D M(A) N(B) A 图1 图2 (I)如图1，当点A与M点重合，点B与N点重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP 的度数。 (2)在(1)的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒4°，同时∠AOC从OM 处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为每秒2°， ①当旋转 秒时，OC与OD第一次重合： ②直接写出∠AOC与∠BOD第一次从相遇到分开所经历的时间， (3)在(1)的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒4°，同时∠AOC从OM 处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒2°，如图2所示，当旋转6s时，则∠DOP的度数为. 8.(25-26七年级上黑龙江牡丹江期末)如图1，点O为线段AB上一点，过点O作射线OC,使得 ∠AOC:∠BOC=1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在线 段AB的下方 M B 图1 图2 M图3 (1)将图(1)中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON落在射线OB上（如图2），则线段ON由 图1位置转动到图2位置，转动的角度为度： (2)继续将图(2)中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON在∠AOC的内部（如图3）.试求 ∠AOM与∠NOC度数的差？ (3)若图(1)中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：设直角三角板绕点O按每秒 15°的速度旋转，当直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，直接写出三角板绕点O旋转时间t的值. 9.(25-26七年级上河北唐山阶段检测)OC是∠AOB内部的一条射线，且∠A0B=3LA0C。 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (L)如图1，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC,ON平分∠AOB,求∠MON的度数： (2)如图2，∠AOB是锐角，在∠BOC内引射线OD,满足∠BOC-∠AOC=∠COD.若OE平分∠COD,判 断OE是不是∠AOB的平分线，并说明理由； (3)如图3，∠40B=x(0<x<180),射线OP,00分别从0C,OB出发，并分别以每秒10°和每秒20°的速度 同时绕着点O逆时针旋转，当OQ第一次回到OB上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为t秒. ①OP和O0分别在∠AOC和∠BOC内部时，求∠AOP和∠CO0的数量关系； ②若x=105,在0P,O0旋转过程中，直接写出当∠PO0=20°时，t的值. ◆题型4旋转中探究角的新定义型问题 10.(25-26七年级上·江苏宿迁·期末)如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角 ∠AOC、∠AOB、∠BOC,若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线OC为∠AOB的 “优线”. B 图① 图② (1)∠AOB的角平分线 这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有 条 “优线” (2)若∠AOB=60°，射线OC为∠A0B的“优线”，则∠AOC的度数为 (3)如图②，己知∠AOB=120°，射线OP从OA出发，绕点0以每秒2°的速度顺时针方向旋转，射线O9从 OB出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至OPO相遇时停止，设旋转 的时间为(，问1为何值时，射线OP是∠AOQ的优线？ 11.(25-26六年级上陕西西安·自主招生)【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射 线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线I上，射线PR,PS,PT位于直线1同侧，若 PS平分∠RPT,则有∠RPT=2∠RPS,所以我们称射线PR是射线PS,PT的“双倍和谐线”. 【迁移运用】 R B P P D 图① 图② (1)如图①，射线PS (选填“是”或“不是”)射线PR,PT的“双倍和谐线”： (2)若∠A0B=120°，射线OC是射线OA和OB的“双倍和谐线”，直接写出∠AOC的度数： (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，∠APB=45°，∠DPC=60°，边PD与量角器0°刻度线 重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转， 当边PB与O°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒，求t何值时，射线PB是射线PC 和PD的“双倍和谐线”？ 12.(25-26七年级上江苏无锡期末)我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线， 叫做这个角的平分线.类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为：2的两 个角的射线，叫做这个角的三分线：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为：3的两个角的射线，叫做 这个角的四分线.显然，一个角的三分线、四分线都有两条.例如：如图1，若∠BOC=2∠AOB,则OB 是∠AOC的一条三分线；若∠AOD=2∠COD,则OD是∠AOC的另一条三分线. D 图1 图2 图3 图4 (1)如图2,0B是∠A0C的三分线，∠B0C>∠A0B,若∠A0C=60°，则∠A0B=-: (2)如图3，∠DOF=120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE>∠EOF,过点O作射线OG,当OG刚好为 ∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数： (3)如图4，∠AOD=120°，射线OB、OC是∠AOD的两条三分线，将射线OB、OC同时绕点O沿顺时针方 向旋转Q(0°≤Q≤180°)，在旋转的过程中，若射线0B、0C、0D中恰好有一条射线是其它两条射线组成 夹角的四分线，请直接写出α的值. 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.生活情境水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形， 且被等分成了8份，三角形OAB是水车的支架，∠AOB=60°.水车的支架固定不动，水车的主体可绕着 圆心O旋转.在图②中，若OC平分∠AOB,则∠BOD的度数为() 图① 图② A.5° B.15° C.20° D.无法确定 2.题目：“一块含30°角的直角三角板ABC和一块含45°角的直角三角板BDE拼成如图1所示的图案后， 三角板BDE固定不动，将三角板ABC绕顶点B旋转一周，如图2.当∠CBE=∠ABD时（注： ∠CBE,∠ABD均指图中不超过180°的角)，求旋转角a的度数.”对于其答案，甲答：a=105°，乙 答：a=285°， 则正确的是() 4 D E B 图1 图2 A.只有甲答的对 B.只有乙答的对 C.甲、乙答案合在一起才完整 D.甲、乙答案合在一起也不完整 3.如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°.△C0D固定不动，△A0B绕着0 点顺时针旋转(0°<Q<180),若△A0B绕着0点旋转图2的位置，若∠B0D=60°，则∠A0C的度数 为() 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.150° B.120° C.60 D.30 4.定义：若两个角的度数差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的 “优角”.如∠a=100°，∠B=40°，∠a-∠=60°，则La和∠B互为“优角”.如图，∠A0B=120°， 射线OC平分∠AOB,∠EOF在∠AOB的内部.若∠EOF=60°，则图中互为“优角”的共有() A.6对 B.7对 C.8对 D.9对 5.一副三角板ABC、DBE,如图1放置，(LD=30°、∠BAC=45°)，将三角板DBE绕点B逆时针旋转 一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论： D M 图1 图2 ①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF,则BA平分∠DBF； ②在旋转过程中，若BM平分∠DBA,BN平分∠EBC,∠MBV的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次： ④∠DBC+∠ABE的角度恒为l05° 其中正确的结论个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至AE⊥BC时，∠BAD的度数 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 度 7.如图，己知∠AOB=180°，∠A0C=110°，现将射线OA绕点O顺时针匀速旋转，射线OB,OC保持不动， 当射线OA与射线OB重合时停止旋转.当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋 转的角度为 C 8.定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线 叫做这个角的三分线.显然，一个角的三分线有两条.如∠AOB=120°，OC,OD是∠AOB的两条三分 线，以点O为中心，将∠COD按顺时针方向旋转n°(n<90)得到∠COD,当OA恰好是∠COD的三分 线时，n的值为 B 9.一副直角三角板按如图①放置，点B、O、D在同一直线上，∠B=∠D=90°，∠AOB=45° ∠COD=60°，△AOB和△COD同时以相同的速度绕点O分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当 ∠AOB和∠COD的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了一°. 0 YD 0 图① 图② 10.定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将 这条射线称为这个角的n+1分位线.例如：如图1，∠MOP=4∠NOP,则OP为∠MON的5分位线； ∠NOQ=4∠MOQ,则00也是∠MON的5分位线. 9114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 图1 图2 (1)如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP,O0分别为∠AOC与∠BOC的3分 位线，（∠C0P>∠P0A,∠CO0>∠Q0B),∠A0C=150°，则∠PO2=; (2)如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，己知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的 5分位线，且∠MON=96°，则∠AOC= 三、解答题 11.已知O为直线AB上的一点，∠COE=90°，AB⊥MN. 北 图① 图② 图③ (1)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠CON=17°，则射线OE的方 向是 一；若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分 ∠COM.若∠EOF=20°，求∠AOF的度数： (2)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF 之间存在怎样的数量关系？请说明理由 12.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使∠B0C=135°，将一个含45°角的直角三角尺的 一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方. 1359 图1 图2 图3 (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分 ∠COW?请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究： 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由； 3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为（直接写出结果） 13.如图1，把一副三角板拼在一起，边OA,OC与直线EF重合，其中∠A0B=45°，∠COD=60°，此 时易得∠BOD=75 A ① ② ③ (1)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中， 三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒. ①当t=3时，∠BOD= ②当t为何值时，∠AOE=4∠BOD? (2)如图3，在(1)的条件下，若OM平分∠BOE,ON平分∠AOD ①当∠AOE=30°时，∠MON=°： ②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果 不发生变化，请直接写出∠MON的度数， 14.如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析 如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究， 定义两手手心位置分别为A,B两点，两脚脚跟位置分别为C,D两点，A,B,C,D,E,O在同一平面 内，O为定点，且OE垂直水平线，将手脚运动看作绕点O进行旋转： 777777 图1 图2 图3 图4 (1)填空：如图2，A,O,B三点共线，且∠AOC=∠BOC,则∠AOC= (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A,O,B三点共线，却不在水平方向上，且 1114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠40D:∠B0C=5:3,求∠A0C- ∠BOD的度数： (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE平分∠C0D,且∠COD=30°，开始运动前A, O,B三点在同一水平线上，OA,OB同时绕点O逆时针旋转，OA旋转速度为25°/s,OB旋转速度为 50°/s,运动时间为s,当OA旋转到与OC重合时，运动停止.在运动过程中，请帮助北北用等式表示 ∠AOE与∠BOD的数量关系，并说明理由， 15.【概念学习】定义：从∠a(45°<∠a<90)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分 得的两个角中有一个角与∠的和为90°，则称该射线为∠的“分余线”· 【深入思考】 B B 图1 图2 (1)如图1，∠A0B=80°，∠A0C=70°，则射线0C ∠AOB的“分余线”；（填：“是”或“不 是”) (2)若OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的“分余线”，求∠AOB的度数： (3)如图2，∠AOB=160°，在∠AOB内部作射线OC,OM,使OM为∠AOC的平分线，在∠BOC的内部 作射线ON,使∠BON=2LCON.当OC为∠MON的“分余线”时，∠BOC=度， 16.【新定义】己知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB,∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是 另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“量尺金线”， (I)如图1，若∠AOB中OC是∠AOB的“量尺金线”，且∠AOC>∠BOC,则∠AOB与∠BOC的数量关 系为_： B 图1 (2)如图2，若OC平分∠AOB,试说明射线OC是∠AOB的“量尺金线”： 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图2 (3)如图3，∠MPN=60°.若射线P吧是∠MPN的“量尺金线”，求∠QPV的度数. M N 图3 17.新定义：如图1，己知射线OP在∠MON的内部，图中共有3个角：∠MON,∠MOP和∠PON,若 其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OP是∠MON的“立信线”. M M M B 图1 图2 图3 (1)一个角的平分线 这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若∠MON=60°，射线QP绕点O从ON位置开始.以每秒10°的速度逆时针旋转，当OP与ON 首次成18O°时停止旋转，设射线OP旋转的时间为t秒.求当t为何值时，射线OP是∠MON的“立信线”： (3)如图3，射线ON为∠POD的“立信线”，且∠DON=2∠NOP.射线OA、OB分别为∠MOP、∠NOD 的平分线，请猜想∠AOB、∠NOP、∠MOD会有怎样的数量关系？并说明理由： 18.【定义概念】 如图，已知∠AOB,在∠AOB内部画射线OC,得到三个角，分别为∠AOC,∠BOC,∠AOB,若这三 个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”，例如：图中 ∠B0C=2∠AOC,射线OC为∠AOB的一条“幸运线”.（本题中所研究的角都是大于0°且小于180°的 角.) 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [阅读理解] (1)一个角的平分线 这个角的“幸运线”.（填“是”或“不是”） [初步应用] (2)若∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，求∠AOC的度数； 【解决问题】 (3)如图，己知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒(0<t<9),若OM,ON, OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值， B 备用图 14/14 专题05 与角有关的旋转问题 常考题型·精准突破 题型1 旋转中求的角定值问题（重） 题型2 旋转中探究角的数量关系问题 题型3 旋转中求角的运动时间问题（高频） 题型4 旋转中探究角的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 旋转中求的角定值问题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线． (1)若，即，则________，________． (2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的度数是一个定值，为． 【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算； （2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）在的变化过程中，的度数是一个定值． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 即的度数是一个定值，为． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 3．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 【答案】(1)或 (2) (3)时，或时，，是定值． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，正确分类并画出图形是关键． （1）分两种情况：射线在内部；射线在外部，且在射线上方；即可计算； （2）设，易得，，进而可表示出及，即可求得的度数；　 （3）记转过的角度为，分四种情况：①当时，此时，；②当时，此时；③当时，且在外时，此时；④当时，且在内部或与重合时，此时；利用角的和差倍关系，用表示出有关角的度数，再求的结果即可． 【详解】（1）解：射线在内部时，如图； 因为， 所以， l； 当射线在外部，且在射线上方时，如图； 因为， 所以， 所以； 综上，为或； （2）解： 设， ∵是的四等分线，且， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：记转过的角度为，分四种情况讨论： ①当时，此时，，如图， 由题意， 所以， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，，是定值． ②当时，此时，如图， 由题意， 则 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，不是定值． ③当时，且在外时，此时，如图， 由题意， 所以 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以， 所以当时，不是定值． ④当时，且在内部或与重合时，此时，如图， 由题意， 所以， 所以 ， 所以， 所以时，为定值． 综上所述：时，或时，，是定值． ◆题型2 旋转中探究角的数量关系问题 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知将直角三角板（）的直角顶点放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点按顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数，再根据，求出结果即可； （2）设，则，，根据角平分线定义得出，，最后求出即可； （3）设，则，可分两种情况：当在直线上方（含与重合）时，当在直线下方（含与重合）时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以； （2）解：设，则， ， 因为平分， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以； （3）解：设，则， 如图3，当在直线上方（含与重合）时， 因为平分， 所以， 所以， 所以； 如图4，当在直线下方（含与重合）时， 因为平分， 所以， 所以 所以． 综上，或． 5．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：略． 6．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； (2)①； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①∵， ∴； ②略． ③略． ◆题型3 旋转中求角的运动时间问题 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图1，点O为线段上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在线段的下方． (1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使落在射线上（如图2），则线段由图1位置转动到图2位置，转动的角度为_____度； (2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使在的内部（如图3）．试求与度数的差? (3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：设直角三角板绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在直线恰好平分时，直接写出三角板绕点O旋转时间t的值． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【分析】本题考查角度的计算，与角的平分线有关的计算，找到角度关系并分类讨论不同情况是解题关键． （1）根据图象直观判断转动的角度即可； （2）先计算出的度数，再利用角度和差计算即可； （3）分情况讨论，找到不同情况下的图形，计算旋转角度，再计算旋转时间即可． 【详解】（1）解：由图可知，转动的角为， 由题意可知，， 故答案为：； （2）解：由题意，可知，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 第一种：记初始位置为射线，当的延长线平分时，示意图如下， ∴， ∴， ∴， ， 故此时旋转时间； 第二种：记初始位置为射线，当平分时，示意图如下， 由第一种可知， ∴， 故旋转的角度为， ， 故此时旋转时间， 综上，三角板绕点O的旋转时间或． 9．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）是内部的一条射线，且． (1)如图1，若平分平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒． ①和分别在和内部时，求和的数量关系； ②若，在旋转过程中，直接写出当时，的值． 【答案】(1) (2) 是的平分线，理由如下： ， ， ， 平分， ， ，即， 是的平分线； (3)①；②5或9 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）将中拆为，结合平分即可判断； （3）①先求出，根据题意可得，，由此求出；②根据位置不同，分情况讨论即可． 【详解】（1）解： 平分平分， （2）略 （3）解：①∵， ， 由题意得：， ， ； ②∵， ∴， ， （i）当时，和分别在和内部， ， ， 若，则，不符合； （ii）， 当时，如图： ， ， ，则，符合； （iii）当和重合时： ， 即，则； 故当时，如图： ， ， ，则，不符合； （iv）当时，如图： 则当时，，解得， ∵的旋转速度大于的旋转速度， ∴时，； 综上所述，的值为5或9． ◆题型4 旋转中探究角的新定义型问题 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 【答案】(1)是，3 (2)，， (3)24秒或30秒或秒 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【详解】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 11．（25-26六年级上·陕西西安·自主招生）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线________（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”： (2)若，射线是射线和的“双倍和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“双倍和谐线”？ 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，角平分线的定义等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）根据“双倍和谐线”的定义可直接得到答案； （2）根据“双倍和谐线”的定义得或，分情况讨论，即可解答； （3）根据“双倍和谐线”的定义得或，再分情况讨论，分别求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：∵射线是射线和的“双倍和谐线”， ∴或，且射线在的内部， 又∵， ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； ∵射线是射线和的“双倍和谐线”， ∴或， ①当时，且在外部时，如图， 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； ②当时，且在内部时，如图： 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； ③当时，如图： 则， ∴射线旋转的度数为， 此时； 综上：或或时，射线是射线和的“双倍和谐线”． 12．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心旋转．在图②中，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，由； 【详解】解：由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， 当两个三角板不重合时，如图： 则：， 当两个三角板有重合部分时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故甲、乙答案合在一起才完整； 故选C． 3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 二、填空题 6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至时，的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中角度，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 当时，则：， ∴， ∴； 故答案为：45． 7．如图，已知，现将射线绕点顺时针匀速旋转，射线保持不动，当射线与射线重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关系解决此题． 【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形： ①当射线旋转到的外部时，． ∴射线旋转的角度为． ②当射线旋转到内部时，． ∴， ∴射线旋转的角度为， 综上：射线旋转的角度为或． 故答案为：或． 8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 9．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 三、解答题 11．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 13．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 15．【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 16．【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． (1)如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； (2)如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； (3)如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识． （1）根据“量尺金线”定义即可得到答案； （2）由角平分线的定义可以证明； （3）分、、三种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵中是的“量尺金线”，且， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵平分， ∴ ∴射线是的“量尺金线”； （3）当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 综上可知，的度数为． 17．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 18．【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $