第三单元 小数乘法和除法（知识清单）数学冀教版五年级上册（新教材）

第三单元 小数乘法和除法 知识清单讲义 知识点一：小数点位置移动引起小数大小变化 1.小数点向右移动（乘 10、100、1000…，数变大） 一个数 ×10，小数点向右移动一位 一个数 ×100，小数点向右移动两位 一个数 ×1000，小数点向右移动三位 位数不够时，末尾补 0 2.小数点向左移动（除以 10、100、1000…，数变小） 一个数 ÷10，小数点向左移动一位 一个数 ÷100，小数点向左移动两位 一个数 ÷1000，小数点向左移动三位 位数不够时，前面补 0 单位换算 高级单位 → 低级单位：乘进率，小数点右移 低级单位 → 高级单位：除以进率，小数点左移 知识点二：小数乘法 1.小数乘整数：先按整数乘法计算，再看因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 2.小数乘小数 ① 先把小数看成整数，按整数乘法算出积 ② 看两个因数一共有几位小数 ③ 从积的右边数出对应位数，点小数点 ④ 积的小数位数不够，前面补 0；末尾有 0 可以去掉 3.积的近似值：用四舍五入法，先算出乘积，再看要保留位数的后一位数字，大于等于 5 向前进 1，小于 5 直接舍去。 4.核心规律：两个因数小数位数之和 = 积的小数位数（末尾 0 去掉之前） 知识点三：小数除法 1.除数是整数的小数除法 计算方法：按照整数除法的法则计算；商的小数点和被除数的小数点对齐。 特殊情况： 整数部分不够商 1，写 0 占位，点上小数点继续除。 除到被除数末尾有余数，在余数后面添 0，继续往下除。 2.除数是小数的除法 核心依据：商不变规律，被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商不变。 计算步骤： ① 移动除数小数点，把除数转化成整数； ② 除数小数点向右移动几位，被除数小数点也向右移动几位，位数不够在被除数末尾补 0； ③ 再按照除数是整数的小数除法计算。 3.商的近似值 求商近似数：计算时，除到比要保留的位数多一位，再用四舍五入法取值。 应用场景：根据实际需求保留整数、一位小数、两位小数。 4.循环小数 循环小数定义：小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字不断重复出现。 循环节：循环小数里不断重复出现的数字。 简写：在循环节的首位、末位数字上方点小圆点。 分类 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始。 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始。 有限小数：小数部分位数有限。 无限小数：小数部分位数无限；循环小数属于无限小数。 5.商的变化规律 被除数不变，除数大于 1，商小于被除数；除数小于 1，商大于被除数。 题型1：小数点移动与单位换算（基础） 【例1】1.若将一个数的小数点向左移动两位是0.219，则这个数是( )，将这个数缩小到它的( )就是0.0219。 【答案】 【分析】一个数的小数点向右移动一位、两位、三位……，这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……；一个数的小数点向左移动一位、两位、三位……，这个数就缩小到原来的、、… 把0.219的小数点向右移动两位，即可算出原来的数是几，再将原来的数的小数点向左移动三位，即可算出将这个数缩小到它的是几。 【详解】0.219×100＝21.9 21.9÷1000＝0.0219 将一个数的小数点向左移动两位是0.219，则这个数是21.9，如果将这个数缩小到它的就是0.0219。 2.在括号里填上适当的数。 5千米30米＝( )千米        10元8角7分＝( )元 6克＝( )千克               2.08吨＝( )吨( )千克 【答案】 5.03 10.87 0.006 2 80 【分析】长度的单位换算，1千米＝1000米，把30米除以进率1000相当于把小数点向左移动三位化成0.03千米，再与5千米相加； 人民币的单位换算，1元＝10角＝100分，把8角除以进率10相当于把小数点向左移动一位化成0.8元，把7分除以进率100相当于把小数点向左移动两位化成0.07元，二者再与10元相加； 质量单位换算，1千克＝1000克，把6克除以进率1000相当于把小数点向左移动三位化成0.006千克； 质量单位换算，1吨＝1000千克，0.08吨乘以进率1000相当于把小数点向右移动三位化成80千克。 【详解】5千米30米＝5千米＋30÷1000千米＝5千米＋0.03千米＝5.03千米； 10元8角7分＝10元＋8角＋7分＝10元＋8÷10元＋7÷100元＝10元＋0.8元＋0.07元＝10.87元； 6克＝6÷1000千克＝0.006千克； 2.08吨＝2吨＋0.08吨＝2吨＋0.08×1000千克＝2吨＋80千克＝2吨80千克。 【练1】1.明明在计算73.4×9.9时，先把73.4( )到原来的10倍，再把9.9( )到原来的10倍，最后把得数( )到原数的( )。通过估算73.4×9.9，可知积比734要( )。 【答案】 扩大 扩大 缩小 小 【分析】计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 积的变化规律：因数乘几，积也跟着乘几。一个因数相同（0除外），另一个因数越大，积越大。 【详解】9.9＜10，所以73.4×9.9＜73.4×10＝734 明明在计算73.4×9.9时，先把73.4扩大到原来的10倍，再把9.9扩大到原来的10倍，最后把得数缩小到原数的。通过估算73.4×9.9，可知积比734要小。 2.在括号里填上适当的数。 5千米30米＝( )千米        10元8角7分＝( )元 6克＝( )千克               2.08吨＝( )吨( )千克 【答案】 5.03 10.87 0.006 2 80 【分析】长度的单位换算，1千米＝1000米，把30米除以进率1000相当于把小数点向左移动三位化成0.03千米，再与5千米相加； 人民币的单位换算，1元＝10角＝100分，把8角除以进率10相当于把小数点向左移动一位化成0.8元，把7分除以进率100相当于把小数点向左移动两位化成0.07元，二者再与10元相加； 质量单位换算，1千克＝1000克，把6克除以进率1000相当于把小数点向左移动三位化成0.006千克； 质量单位换算，1吨＝1000千克，0.08吨乘以进率1000相当于把小数点向右移动三位化成80千克。 【详解】5千米30米＝5千米＋30÷1000千米＝5千米＋0.03千米＝5.03千米； 10元8角7分＝10元＋8角＋7分＝10元＋8÷10元＋7÷100元＝10元＋0.8元＋0.07元＝10.87元； 6克＝6÷1000千克＝0.006千克； 2.08吨＝2吨＋0.08吨＝2吨＋0.08×1000千克＝2吨＋80千克＝2吨80千克。 题型2：小数乘除法竖式计算（重点） 【例2】用竖式计算。 0.38×0.64＝     0.45×0.72＝     7.7÷1.4＝ 45.8÷0.12＝    （商用循环小数表示）    69.7÷1.8≈    （得数保留一位小数）     16.8×0.21≈    （得数保留两位小数） 【答案】0.2432；0.324；5.5 ；38.7；3.53 【分析】计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉，得数保留几位小数，用四舍五入的方法取积的近似数； 计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，如果是循环小数，商用循环小数表示；如果要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】0.38×0.64＝0.2432         0.45×0.72＝0.324 7.7÷1.4＝5.5                            45.8÷0.12＝                 69.7÷1.8≈38.7           16.8×0.21≈3.53                          【练2】用竖式计算。（带※的要验算） 3.05×6.5＝          ※16.9÷0.13＝ 4.76×5.6＝            0.08÷3.2＝ 0.09×4.4≈（得数保留一位小数）                0.236÷1.2＝（得数用循环小数表示） 【答案】19.825；130； 26.656；0.025； 0.4； 【分析】小数乘法计算：先按整数乘法的竖式计算方法算出乘积，两个乘数的小数位数之和是积的小数位数，所以从积的右边起数出对应位数点上小数点。 小数除法计算：先将除数转化为整数，同时被除数扩大相同倍数，再按照除数是整数的除法竖式方法计算。验算时用“商×除数＝被除数”的方法列乘法竖式验算。 如果要求保留一位小数，那么计算出结果后根据百分位数字四舍五入；如果要求用循环小数表示结果，那么确定循环节后按照循环小数规范写法书写。 【详解】3.05×6.5＝19.825                       16.9÷0.13＝130                        验算： 4.76×5.6＝26.656                       0.08÷3.2＝0.025                            0.09×4.4≈0.4                             0.236÷1.2＝                              题型3：积、商的近似数 & 循环小数 【例3】1．5.03×2.5的积是( )位小数，结果保留一位小数约是( )；▢6.9÷53，如果商的整数部分不是0，那么▢里最小填( )，如果商的整数部分是0，那么▢里最大填( )。 【答案】 三 12.6 5 4 【分析】判断积的小数位数：看两个因数的小数位数之和，5.03是两位小数，2.5是一位小数，2＋1＝3，且末尾乘积不为0，所以积是三位小数。保留一位小数：先算出准确积，再看百分位数字用四舍五入法取近似值。商的整数部分不是0：被除数的整数部分要大于或等于除数53，即▢6≥53，找最小的▢。商的整数部分是0：被除数的整数部分要小于除数53，即▢6<53，找最大的▢。 【详解】5.03×2.5＝12.575 12.575保留一位小数：百分位是7，进1，得12.6 ▢6.9÷53，商整数部分非0：▢6≥53，▢最小填5 ▢6.9÷53，商整数部分为0：▢6<53，▢最大填4 2．78.3÷9的商是( )位小数，商是( )。算式4÷11的商，用循环小数的简便形式表示可以写作( )，保留三位小数是( )。 【答案】 一 8.7 0.364 【分析】计算小数除法时，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 结果保留三位小数，需要看小数点后第四位，根据“四舍五入”原则，小于5则直接舍去，大于等于5则需要向前进1。 【详解】 78.3÷9的商是一位小数，商是8.7。 算式4÷11的商，用循环小数的简便形式表示可以写作，保留三位小数是0.364。 【练3】0.52×3.6的积有( )位小数；3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是( )，保留两位小数约是( )，商的小数部分第100位数字是( )。 【答案】 三 0.32 1 【分析】（1）积的小数位数等于两个因数小数位数之和； （2）找出商的小数部分依次重复出现的数，即循环节，在循环节的首位和末位点上小黑点即可； （3）保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据四舍五入法取舍； （4）用100减去不循环的小数位数，再除以循环节的数字个数，根据余数确定第100位数字是几（余数是几对应循环节第几位数）。据此解答。 【详解】（1）0.52是两位小数，3.6是一位小数，2＋1＝3，因此0.52×3.6的积有三位小数。 （2）3.5÷11＝0.3181818…… 小数部分依次重复出现的是“18”，因此循环节为“18”，商用循环小数的简便形式表示是。 （3）商的千分位是8，8＞5，向百分位进1，即1＋1＝2，所以商保留两位小数约为0.32。 （4）循环节是两个数字组成，小数部分第一位不参与循环，需从100里面减去。 （100－1）÷2 ＝99÷2 ＝49（组）……1（个） 余数为1，对应循环节第一位，即1，所以商的小数部分第100位数字是1。 题型4：不计算比大小（积与因数、商与被除数规律） 【例4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.5÷0.9( )0.5    0.55×0.9( )0.55    3.6÷0.01( )3.6×100 3.9÷1( )3.9×1    6.5÷0.86( )6.5    8.3×0.5( )8.3÷2 3.2÷0.01( )3.2×0.01  0.6×0.5( )0.6÷2    0÷0.99( )0.99 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＝ ＞ ＝ ＞ ＝ ＜ 【分析】一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小； 一个数乘100，即将这个数的小数点向右移动两位；一个数除以0.01，即将这个数的小数点向右移动两位； 一个数（0除外）乘等于1的数，结果等于原来的数；一个数（0除外）除以等于1的数，结果等于原来的数； 一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大； 分别计算出两边算式的结果，再比较大小； 一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小； 分别计算出两边算式的结果，再比较大小； 0除以任何不为0的数都得0。 【详解】，所以； ，所以； ，将的小数点向右移动两位，得到；，将的小数点向右移动两位，得到；，所以； ，，，所以； ，所以； ，，，所以； ，，，所以； ，，，所以； ，，所以。 【练4】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 32.8÷0.94( )32.8    0.55÷0.1( )0.55×10    3.7×1.6( )3.7÷1.6 15÷1.98( )15÷0.198    2.8÷0.95( )2.8×0.95    8.8÷0.5( )8.8×2 【答案】 ＞ ＝ ＞ ＜ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；除以小于1的数，商比原数大；乘大于1的数，积比原数大；除以大于1的数，商比原数小。 【详解】（1）0.94＜1，所以32.8÷0.94＞32.8； （2）除以0.1就相当于这个数乘10，所以0.55÷0.1＝0.55×10。 （3）1.6＞1，所以3.7×1.6＞3.7，3.7÷1.6＜3.7，所以3.7×1.6＞3.7÷1.6； （4）1.98＞1，所以15÷1.98＜15；0.198＜1，所以15÷0.198＞15；则15÷1.98＜15÷0.198； （5）0.95＜1，所以2.8÷0.95＞2.8，2.8×0.95＜2.8；所以2.8÷0.95＞2.8×0.95； （6）除以0.5相当于把这个数变成原来的2倍，所以8.8÷0.5＝8.8×2。 题型5：根据整数算式直接写得数（积、商变化规律） 【例5】根据算式183×57＝10431，直接写出下列各题的得数。 18.3×0.57＝________                                        0.183×5.7＝________         1.0431÷57＝________                                        10.431÷0.183＝________ 【答案】 10.431 1.0431 0.0183 57 【分析】小数乘法中，18.3×0.57中较183×57，一个乘数除以10，一个乘数除以100，则它们的积要除以1000；0.183×5.7较183×57，一个乘数除以1000，一个乘数除以10，则它们的积要除以10000。小数除法中，10431÷57＝183，1.0431÷57较这个式子被除数除以10000，除数不变，则商也要除以10000；10431÷183＝57， 10.431÷0.183较这个式子被除数除以1000，除数除以1000，则商不变。据此可得出答案。 【详解】18.3×0.57＝10.431；0.183×5.7＝1.0431； 1.0431÷57＝0.0183；  10.431÷0.183＝57 【练5】根据348×56＝19488，直接写出下面各式的结果。 3.48×0.56＝( )           0.348×560＝( ) 19488÷3.48＝( )         194.88÷348＝( ) 【答案】 1.9488 194.88 5600 0.56 【分析】根据积的变化规律，一个因数除以（或乘）几，积也除以（或乘）几，另一个因数除以（或乘）几，积再跟着除以（或乘）几，直接写出乘法算式的积； 根据积÷因数＝另一个因数，可得：19488÷348＝56，再根据商的变化规律，被除数除以几，商除以几，除数除以几，商反而乘几，直接写出除法算式的商。 【详解】348变为3.48，因数除以100，则积要除以100；56变为0.56，因数除以100，积又要除以100，所以3.48×0.56＝1.9488； 348变为0.348，因数除以1000，则积要除以1000；56变为560，因数乘10，积也要乘10，所以0.348×560＝194.88； 由19488÷348＝56知：被除数19488不变，除数348变为3.48，即除数除以100，商要乘100，即19488÷3.48＝5600； 被除数194.88除以100，除数348不变，则商也除以100，即194.88÷348＝0.56。 所以3.48×0.56＝1.9488           0.348×560＝194.88 19488÷3.48＝5600         194.88÷348＝0.56 题型6：求近似数应用题。 【例6】1.做一个红绣球需要2.5米布料。 (1)92米布料可以做几个红绣球？ (2)若每5个红绣球装入一个袋子，至少需要准备几个袋子？ 【答案】(1) 36个 (2) 8个 【分析】（1）求可以做的红绣球的个数，用布料总米数除以做一个红绣球需要的米数，小数除法，看除数是几位小数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点向右移动相同的位数，位数不够，添0补位，商的小数点和被除数的小数点对齐。小数比较大小，先比较整数部分，整数部分大的数就大，整数部分相同，比较十分位上的数，十分位上的数大的数就大，依次比下去即可。 （2）求需要准备的袋子的个数，用红绣球的总个数除以每个袋子装红绣球的个数。 【详解】（1）92÷2.5＝36（个）……2（米） 2＜2.5，不够做一个红绣球，舍去，可做36个红绣球。 答：92米布料可以做36个红绣球。 （2）36÷5＝7（个）……1（个） 1个红绣球也需要1个袋子。 7＋1＝8（个） 答：至少需要准备8个袋子。 2.九龙壁是影壁的一种，是中国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁。位于紫禁城宁寿宫区皇极门外南三宫后。九龙壁正面是一个长29.47米，高3.59米的长方形，它的面积约是多少平方米？（得数保留两位小数） 【答案】105.80平方米 【分析】根据长方形面积＝长×宽，据此求出面积，保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【详解】29.47×3.59≈105.80（平方米） 答：它的面积约是105.80平方米。 3.100千克小麦能加工85千克面粉。照这样计算，1千克小麦能加工多少千克面粉？要加工1千克面粉需要多少千克小麦？（得数保留两位小数） 【答案】0.85千克；1.18千克 【分析】求1千克小麦可加工的面粉质量，用面粉总质量除以小麦总质量；求加工1千克面粉需要的小麦质量，用小麦总质量除以面粉总质量，结果保留两位小数，据此解答。 【详解】（千克） （千克） 答：1千克小麦能加工0.85千克面粉；要加工1千克面粉需要1.18千克小麦。 【练6】1.同一品牌的牛奶，包装不同价格也不同。袋装的、瓶装的和桶装的价格分别如下图。 （1）买哪种包装的更合算？ （2）李老师带50元，买桶装的牛奶最多能买几桶？ 【答案】（1）桶装的 （2）7桶 【分析】（1）分别用牛奶体积÷钱数，求出1元钱可以买到的牛奶体积，比较即可； （2）最后无论剩下多少钱，只要不够一桶牛奶的钱数就无法购买一桶牛奶，带的钱数÷一桶牛奶的钱数，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】（1）袋装的：250÷1.5≈167（毫升） 瓶装的：550÷3≈183（毫升） 桶装的：1.5升＝1500毫升 1500÷6.5≈231（毫升） 231＞183＞167 答：买桶装的更合算。 （2）50÷6.5≈7（桶） 答：李老师带50元，买桶装的牛奶最多能买7桶。 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法，会用四舍五入法保留近似数，理解用去尾法保留近似数的实际意义。 2.淘气的好朋友琼斯给他寄来一本价值2.3英镑的《科学家的故事》，这本书折合人民币多少元？（1英镑兑换人民币9.56元） 【答案】 21.99元 【分析】根据英镑与人民币的换算汇率，通过乘法运算用书价2.3英镑乘人民币汇率9.56即可求出换算后的价格；结果根据“四舍五入”法保留两位小数；据此解答。 【详解】2.3×9.56≈21.99（元） 答：这本书折合人民币21.99元。 题型7：归一、归总问题 【例7】10千克小麦可以磨8.2千克面粉，100千克小麦可以磨多少千克面粉？1吨小麦呢？ 【答案】82千克；820千克 【分析】先求1千克小麦能磨多少千克面粉，用面粉千克数除以小麦千克数。再分别乘100千克和1吨小麦。1吨＝1000千克。除以10，小数点左移一位；乘10，小数点右移一位。 【详解】1千克：8.2÷10＝0.82（千克） 100千克：0.82×100＝82（千克） 1吨＝1000千克，1000千克：0.82×1000＝820（千克） 答：100千克小麦磨82千克面粉。1吨小麦磨820千克面粉。 【练7】据环保专家介绍，1吨废纸可生产品质良好的再生纸850千克，900千克废纸可生产多少千克品质良好的再生纸？ 【答案】765千克 【分析】已知1吨即1000千克废纸可生产再生纸850千克，用再生纸的质量除以废纸的质量，求出1千克废纸可生产再生纸的质量，再乘900，即是900千克废纸可生产再生纸的质量。 【详解】1吨＝1000千克 850÷1000×900 ＝0.85×900 ＝765（千克） 答：900千克废纸可生产765千克品质良好的再生纸。 1．对0.12323……这个小数，说法错误的是（    ）。 A．它是无限小数 B．它是有限小数 C．它是循环小数 【答案】B 【分析】有限小数的小数部分位数有限，无限小数的小数部分位数无限，循环小数属于无限小数。 【详解】末尾带省略号，说明小数部分位数无限，是无限小数；且小数部分23依次重复出现，是循环小数。 2．妈妈买了3.6千克的梨，每千克16.5元，一共需要多少元？下图中竖式箭头所指这一步是计算（    ）。 A．3千克梨的价钱 B．30千克梨的价钱 C．3.6千克梨的价钱 D．36千克梨的价钱 【答案】A 【分析】小数乘小数的计算法则：先按整数乘法的计算法则计算出结果，再看两个乘数中一共有几位小数，就从积的末尾从右往左数出几位，点上小数点；计算16.5×3.6时，6在十分位上，表示0.6千克梨的价钱，箭头所指的这一步是16.5与3的乘积，表示3千克梨的钱，据此即可解答。 【详解】根据分析可知：竖式箭头所指这一步是计算3千克梨的价钱。 3．在4.21212121，3.012012…，3.82，12.368794…这几个数中，有限小数有( )；无限小数有( )；循环小数有( )。 【答案】 4.21212121 3.012012…，3.82，12.368794… 3.012012…，3.82 【分析】有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数； 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】由分析得： 4.21212121的小数位数有限，所以是有限小数； 3.012012…，3.82，12.368794…，这几个小数位数是无限的，所以是无限小数； 3.012012…，这个小数是0、1、2这几个数字在循环；3.82，这个小数是3在循环；所以这两个小数是循环小数。 【点睛】我们需要紧扣概念，从概念出发，研究小数的位数、研究小数的尾数是否循环，从而正确答题。 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.91×1.05( )4.91    ( )    3.5×0.1( )3.5÷10 5.64÷1.05( )5.64    7.65×1.25( )7.65÷0.8    17.4×5( )17.4÷0.2 【答案】 ＞ ＞ ＝ ＜ ＝ ＝ 【分析】对于乘法算式和原数比较大小的问题，先判断乘数和1的大小关系，如果乘数大于1，那么积大于原数；如果乘数小于1，那么积小于原数。 对于除法算式和原数比较大小的问题，先判断除数和1的大小关系，如果除数大于1，那么商小于原数；如果除数小于1，那么商大于原数。 对于循环小数比较大小的问题，先写出循环小数的展开形式，再从高位到低位逐位比较数值大小。 对于乘除法算式互相比较的问题，利用“除以一个数等于乘这个数的倒数”的性质，将除法转化为乘法，再比较两侧的数值。 【详解】4.91×1.05＞4.91一个正数乘比1大的数，结果会比原来的数大，1.05＞1，所以乘积大于4.91。 ＞把循环小数多写几位展开：，，从第三位小数开始9＞8，所以前者更大。 3.5×0.1＝3.5÷10一个数乘0.1的含义就是把这个数缩小到原来的十分之一，和把这个数除以10的结果完全一样。 5.64÷1.05＜5.64一个正数除以比1大的数，结果会比原来的数小，1.05＞1，所以商小于5.64。 7.65×1.25＝7.65÷0.8计算可得1.25和0.8互为倒数，乘1.25就等价于除以0.8，两边结果相等。 17.4×5＝17.4÷0.2，5和0.2互为倒数，乘5就等价于除以0.2，两边结果相等。 5．把3.27的小数点去掉后是( )，相当于扩大到了原数的( )倍；把46.9缩小到原数的是( )。 【答案】 327 100 0.0469 【分析】去掉3.27的小数点，得到整数327；原来的数小数点后有2位，去掉小数点相当于把小数点向右移动2位，即扩大到原数的100倍。 把46.9缩小到原数的，就是把小数点向左移动3位，数位不够的地方补0占位，得到0.0469。 【详解】把3.27的小数点去掉后是327，相当于扩大到了原数的100倍；把46.9缩小到原数的是0.0469。 6．在括号里填上合适的小数。 650米＝( )千米    3050千克＝( )吨    4元3角＝( )元 35平方分米＝( )平方米    2.3厘米＝( )分米     8千克600克＝( )千克 【答案】 0.65 3.05 4.3 0.35 0.23 8.6 【分析】（1）根据1千米＝1000米，从小单位换算成大单位，除以进率； （2）根据1吨＝1000千克，从小单位换算成大单位，除以进率； （3）根据1元＝10角，从小单位换算成大单位，除以进率，将3角换算成元，再和4元相加； （4）根据1平方米＝100平方分米，从小单位换算成大单位，除以进率； （5）根据1分米＝10厘米，从小单位换算成大单位，除以进率； （6）根据1千克＝1000克，从小单位换算成大单位，除以进率，将600克换算成千克，再和8千克相加。 【详解】（1）650÷1000＝0.65（千米），因此650米＝0.65千米。 （2）3050÷1000＝3.05（吨），因此3050千克＝3.05吨。 （3）3÷10＝0.3（元），4＋0.3＝4.3（元），因此4元3角＝4.3元。 （4）35÷100＝0.35（平方米），因此35平方分米＝0.35平方米。 （5）2.3÷10＝0.23（分米），因此2.3厘米＝0.23分米。 （6）600÷1000＝0.6（千克），8＋0.6＝8.6（千克），因此8千克600克＝8.6千克。 7．做一套衣服要用布2.4米，86米布最多可以做( )套衣服；一个油桶可装5.5千克油，装完60千克油至少需要( )个油桶。 【答案】 35 11 【分析】86米的布，每2.4米做一件衣服，用布的总米数除以做一件衣服所需要的米数，等于做出来的衣服数量，考虑实际情况，结果要去尾； 有60千克油，每桶装5.5千克油，根据题意用总千克数除以每桶能装的千克数，可以算出需要的油桶数量，再根据实际采用进一法即可。 【详解】由分析可得： 86÷2.4≈35（套） 60÷5.5≈11（个） 综上所述：做一套衣服要用布2.4米，86米布最多可以做35套衣服；一个油桶可装5.5千克油，装完60千克油至少需要11个油桶。 8．周末，妈妈去超市购物。一桶食用油售价69.9元，妈妈买了2桶，大约需要支付( )元。如果妈妈付给收银员150元，大约能找回( )元。 【答案】 140 10 【分析】一桶食用油的售价69.9元，先算2桶的总价，对总价进行估算，再用付出的钱减去估算的总价，求大约找回的钱数。 【详解】69.9×2＝139.8≈140（元） 150－140＝10（元） 所以大约需要支付140元，大约能找回10元。 9．一根绳子对折3次后，长度是0.48米，这根绳子原来长( )米。 【答案】3.84 【分析】对折1次，绳子被平均分成2段；对折2次，被平均分成4段；对折3次，被平均分成了8段。用每段的长度乘段数即可得到绳子原来的长度。 【详解】2×2×2＝8（段） 0.48×8＝3.84（米） 10．根据39×15＝585直接在括号里填数。 58.5÷1.5＝( )    5.85÷3.9＝( )    0.39×1.5＝( ) 【答案】 39 1.5 0.585 【分析】首先明确已知乘法等式39×15＝585，可转换为除法关系：585÷15＝39、585÷39＝15，作为解题的基础依据。 对于除法算式，根据商的变化规律，如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），那么商不变；如果被除数或除数单独发生倍数变化，那么商对应发生相应的倍数变化，据此计算前两个空。 对于乘法算式，根据积的变化规律，如果两个因数分别缩小一定的倍数，那么积缩小的倍数是两个因数缩小倍数的乘积，据此计算第三个空。 【详解】根据39×15＝585，可得585÷15＝39，根据商的变化规律，58.5÷1.5＝（585÷10）÷（15÷10）＝39； 根据39×15＝585，可得585÷39＝15，根据商的变化规律，5.85÷3.9＝（585÷100）÷（3.9÷10）＝15÷10＝1.5； 0.39×1.5＝（39÷100）×（15÷10）＝585÷1000＝0.585。 11．直接写出得数。 12×0.6＝     0.4÷0.08＝     6.12÷6＝     308×0.01＝ 3÷0.5＝     0.3÷0.01＝     70×0.08＝     0.6×0.9＝ 【答案】7.2；5；1.02；3.08 6；30；5.6；0.54 【解析】略 12．用竖式计算。 2.05×0.48＝     82.8÷2.4＝     3.68×4.5＝ 2.8×6.24≈ （得数精确到十分位）    8.2÷0.3＝ （商用循环小数表示）     11.9÷0.72≈（得数保留两位小数） 【答案】0.984；34.5；16.56； 17.5；；16.53 【分析】小数乘法计算方法：按整数乘法的法则先求出积，看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，小数末尾有0的根据小数的性质去掉末尾的0。得数精确到十分位，即保留一位小数，需要看百分位上的数，若大于等于5则向前一位进1，若小于5则直接舍去尾数。   除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。写循环小数时，只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；得数保留两位小数，需要看千分位上的数，若大于等于5则向前一位进1，若小于5则直接舍去尾数。 【详解】2.05×0.48＝0.984       82.8÷2.4＝34.5       3.68×4.5＝16.56        2.8×6.24≈17.5       8.2÷0.3＝       11.9÷0.72≈16.53      13．为保障游客安全，相关规定明确：室外景点人均占地面积低于0.75平方米时，可能存在踩踏风险。某古镇景区内，舞台前有一片长方形观演场地，长56米，宽33.75米。 (1)这片长方形观演场地的占地面积是多少平方米？ (2)为严格遵守安全规定，这片场地最多能同时容纳多少名游客观看节目？ 【答案】(1)1890平方米 (2)2520名 【分析】（1）已知长方形的长和宽，直接使用长方形面积公式计算场地面积即可。 （2）要保障安全，人均占地面积不能低于0.75平方米，所以用求得的场地总面积除以最低人均占地面积，得到可容纳的最大人数，且人数需取整数部分。 【详解】（1）（平方米） 答：这片长方形观演场地的占地面积是1890平方米。 （2）（名） 答：这片场地最多能同时容纳2520名游客观看节目。 14．食堂运来一批面粉，平均每天用1.15吨，用了5天后还剩3.25吨。这批面粉原有多少吨？ 【答案】 9吨 【分析】原有面粉的质量等于用掉的面粉质量加上剩余的面粉质量，因此先计算5天一共用掉的面粉质量，再求和即可。 【详解】（吨） （吨） 答：这批面粉原有9吨。 15．乐乐逛超市时发现某款饼干有两种规格，他认为买小筒的更划算。你同意他的观点吗？请通过计算加以说明。 【答案】24.4÷220≈0.11（元/克） 39.9÷480≈0.08（元/克） 0.08＜0.11，大筒的单价更低。 答：我不同意他的观点。买大筒的更划算。 【分析】要判断哪种规格更划算，需要算出每克饼干的价格。每克花费越少，就越划算。分别用总价除以净含量，求出两种包装每克的价钱，再比较大小。 【详解】略 16．节能减排、低碳环保是生态文明建设的重要组成部分，我国倡导衣、食、住、行等都践行低碳生活。据统计：每节约10千克粮食，可节约3.6千克标准煤，照这样计算，节约1吨粮食可以节约多少吨标准煤？ 【答案】0.36 吨 【分析】本题考查小数乘除法的应用及质量单位的换算。解题关键在于统一单位。首先将1吨换算为1000千克，然后根据“照这样计算”可知每千克粮食节约标准煤的质量是一定的。先求出节约1千克粮食可节约标准煤的质量，再乘1000求出节约1000千克粮食可节约标准煤的质量，最后将结果换算成吨。 【详解】1吨＝1000千克 3.6÷10×1000 ＝0.36×1000 ＝360（千克） 360千克＝0.36吨 答：节约1吨粮食可以节约0.36吨标准煤。 17．南汇水蜜桃是上海的特色农产品之一。某食品厂用新鲜南汇水蜜桃制作桃脯，加工1千克桃脯大约需要4.4千克新鲜水蜜桃。食品厂计划加工33.5千克桃脯。 (1)需要准备多少千克新鲜水蜜桃？ (2)一个包装盒能装0.4千克桃脯，这些桃脯最多能装多少盒？ 【答案】(1)147.4千克 (2)83盒 【分析】已知每千克桃脯所需鲜桃质量和要加工的桃脯总质量，求所需鲜桃总质量，用乘法计算；求最多能装的整盒数，用桃脯总质量除以每盒可装质量，不足1盒的部分无法装成整盒，需舍去小数部分取整数。 【详解】（1）4.4×33.5＝147.4（千克） 答：需要准备147.4千克新鲜水蜜桃 （2）33.5÷0.4＝83.75（盒）≈83（盒） 答：这些桃脯最多能装83盒。 18．国庆节爸爸带红红去爬山，上山时每小时爬2.5千米，用了2.4小时；下山时按原路返回，用了1.6小时。下山时他们每小时走多少千米？ 【答案】3.75千米 【分析】根据，代入数据计算上山的路程，也是下山路程，再根据，用下山路程除以1.6小时即可得解。 【详解】 （千米/时） 答：下山时他们每小时走3.75千米。 19．第五代移动通信技术（5G）已经成为通信业和学术界探讨的热点，某运营商推出128元月租5G流量套餐，如果龙龙的妈妈一个月使用流量共花费了152.6元（包含套餐费），请你计算一下，龙龙的妈妈这个月一共使用了多少流量？（GB是流量单位） 套餐/（元/月） 流量/GB 128 30 套餐外流量费用 超出套餐后5元1GB，超出满15元后按照3.2元1GB进行计费 【答案】36GB 【分析】根据题意可得：套餐内128元有30GB流量，龙龙的妈妈花费152.6元，则超过了套餐费128元，超过部分花费152.6－128＝24.6（元），即为套餐外流量所用费用；在超出的24.6元中包括3个5元1GB的流量，即15÷5＝3GB，用24.6减15得出“超出满15元后按照3.2元1GB进行计费”这部分的费用，再除以3.2得出这部分的流量。最后将三部分流量相加即可。 【详解】152.6－128＝24.6（元） 15÷5＝3（GB） （24.6－15）÷3.2 ＝9.6÷3.2 ＝3（GB） 30＋3＋3＝36（GB） 答：龙龙的妈妈这个月一共使用了36GB流量。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数乘法和除法 知识清单讲义 知识点一：小数点位置移动引起小数大小变化 1.小数点向右移动（乘 10、100、1000…，数变大） 一个数 ×10，小数点向右移动一位 一个数 ×100，小数点向右移动两位 一个数 ×1000，小数点向右移动三位 位数不够时，末尾补 0 2.小数点向左移动（除以 10、100、1000…，数变小） 一个数 ÷10，小数点向左移动一位 一个数 ÷100，小数点向左移动两位 一个数 ÷1000，小数点向左移动三位 位数不够时，前面补 0 单位换算 高级单位 → 低级单位：乘进率，小数点右移 低级单位 → 高级单位：除以进率，小数点左移 知识点二：小数乘法 1.小数乘整数：先按整数乘法计算，再看因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 2.小数乘小数 ① 先把小数看成整数，按整数乘法算出积 ② 看两个因数一共有几位小数 ③ 从积的右边数出对应位数，点小数点 ④ 积的小数位数不够，前面补 0；末尾有 0 可以去掉 3.积的近似值：用四舍五入法，先算出乘积，再看要保留位数的后一位数字，大于等于 5 向前进 1，小于 5 直接舍去。 4.核心规律：两个因数小数位数之和 = 积的小数位数（末尾 0 去掉之前） 知识点三：小数除法 1.除数是整数的小数除法 计算方法：按照整数除法的法则计算；商的小数点和被除数的小数点对齐。 特殊情况： 整数部分不够商 1，写 0 占位，点上小数点继续除。 除到被除数末尾有余数，在余数后面添 0，继续往下除。 2.除数是小数的除法 核心依据：商不变规律，被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商不变。 计算步骤： ① 移动除数小数点，把除数转化成整数； ② 除数小数点向右移动几位，被除数小数点也向右移动几位，位数不够在被除数末尾补 0； ③ 再按照除数是整数的小数除法计算。 3.商的近似值 求商近似数：计算时，除到比要保留的位数多一位，再用四舍五入法取值。 应用场景：根据实际需求保留整数、一位小数、两位小数。 4.循环小数 循环小数定义：小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字不断重复出现。 循环节：循环小数里不断重复出现的数字。 简写：在循环节的首位、末位数字上方点小圆点。 分类 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始。 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始。 有限小数：小数部分位数有限。 无限小数：小数部分位数无限；循环小数属于无限小数。 5.商的变化规律 被除数不变，除数大于 1，商小于被除数；除数小于 1，商大于被除数。 题型1：小数点移动与单位换算（基础） 【例1】1.若将一个数的小数点向左移动两位是0.219，则这个数是( )，将这个数缩小到它的( )就是0.0219。 2.在括号里填上适当的数。 5千米30米＝( )千米        10元8角7分＝( )元 6克＝( )千克               2.08吨＝( )吨( )千克 【练1】1.明明在计算73.4×9.9时，先把73.4( )到原来的10倍，再把9.9( )到原来的10倍，最后把得数( )到原数的( )。通过估算73.4×9.9，可知积比734要( )。 2.在括号里填上适当的数。 5千米30米＝( )千米        10元8角7分＝( )元 6克＝( )千克               2.08吨＝( )吨( )千克 题型2：小数乘除法竖式计算（重点） 【例2】用竖式计算。 0.38×0.64＝     0.45×0.72＝     7.7÷1.4＝ 45.8÷0.12＝    （商用循环小数表示）    69.7÷1.8≈    （得数保留一位小数）     16.8×0.21≈    （得数保留两位小数） 【练2】用竖式计算。（带※的要验算） 3.05×6.5＝          ※16.9÷0.13＝ 4.76×5.6＝            0.08÷3.2＝ 0.09×4.4≈（得数保留一位小数）                0.236÷1.2＝（得数用循环小数表示） 题型3：积、商的近似数 & 循环小数 【例3】1．5.03×2.5的积是( )位小数，结果保留一位小数约是( )；▢6.9÷53，如果商的整数部分不是0，那么▢里最小填( )，如果商的整数部分是0，那么▢里最大填( )。 2．78.3÷9的商是( )位小数，商是( )。算式4÷11的商，用循环小数的简便形式表示可以写作( )，保留三位小数是( )。 【练3】0.52×3.6的积有( )位小数；3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是( )，保留两位小数约是( )，商的小数部分第100位数字是( )。 题型4：不计算比大小（积与因数、商与被除数规律） 【例4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.5÷0.9( )0.5    0.55×0.9( )0.55    3.6÷0.01( )3.6×100 3.9÷1( )3.9×1    6.5÷0.86( )6.5    8.3×0.5( )8.3÷2 3.2÷0.01( )3.2×0.01  0.6×0.5( )0.6÷2    0÷0.99( )0.99 【练4】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 32.8÷0.94( )32.8    0.55÷0.1( )0.55×10    3.7×1.6( )3.7÷1.6 15÷1.98( )15÷0.198    2.8÷0.95( )2.8×0.95    8.8÷0.5( )8.8×2 题型5：根据整数算式直接写得数（积、商变化规律） 【例5】根据算式183×57＝10431，直接写出下列各题的得数。 18.3×0.57＝________                                        0.183×5.7＝________         1.0431÷57＝________                                        10.431÷0.183＝________ 【练5】根据348×56＝19488，直接写出下面各式的结果。 3.48×0.56＝( )           0.348×560＝( ) 19488÷3.48＝( )         194.88÷348＝( ) 题型6：求近似数应用题。 【例6】1.做一个红绣球需要2.5米布料。 (1)92米布料可以做几个红绣球？ (2)若每5个红绣球装入一个袋子，至少需要准备几个袋子？ 2.九龙壁是影壁的一种，是中国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁。位于紫禁城宁寿宫区皇极门外南三宫后。九龙壁正面是一个长29.47米，高3.59米的长方形，它的面积约是多少平方米？（得数保留两位小数） 3.100千克小麦能加工85千克面粉。照这样计算，1千克小麦能加工多少千克面粉？要加工1千克面粉需要多少千克小麦？（得数保留两位小数） 【练6】1.同一品牌的牛奶，包装不同价格也不同。袋装的、瓶装的和桶装的价格分别如下图。 （1）买哪种包装的更合算？ （2）李老师带50元，买桶装的牛奶最多能买几桶？ 2.淘气的好朋友琼斯给他寄来一本价值2.3英镑的《科学家的故事》，这本书折合人民币多少元？（1英镑兑换人民币9.56元） 题型7：归一、归总问题 【例7】10千克小麦可以磨8.2千克面粉，100千克小麦可以磨多少千克面粉？1吨小麦呢？ 【练7】据环保专家介绍，1吨废纸可生产品质良好的再生纸850千克，900千克废纸可生产多少千克品质良好的再生纸？ 1．对0.12323……这个小数，说法错误的是（    ）。 A．它是无限小数 B．它是有限小数 C．它是循环小数 2．妈妈买了3.6千克的梨，每千克16.5元，一共需要多少元？下图中竖式箭头所指这一步是计算（    ）。 A．3千克梨的价钱 B．30千克梨的价钱 C．3.6千克梨的价钱 D．36千克梨的价钱 3．在4.21212121，3.012012…，3.82，12.368794…这几个数中，有限小数有( )；无限小数有( )；循环小数有( )。 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.91×1.05( )4.91    ( )    3.5×0.1( )3.5÷10 5.64÷1.05( )5.64    7.65×1.25( )7.65÷0.8    17.4×5( )17.4÷0.2 5．把3.27的小数点去掉后是( )，相当于扩大到了原数的( )倍；把46.9缩小到原数的是( )。 6．在括号里填上合适的小数。 650米＝( )千米    3050千克＝( )吨    4元3角＝( )元 35平方分米＝( )平方米    2.3厘米＝( )分米     8千克600克＝( )千克 7．做一套衣服要用布2.4米，86米布最多可以做( )套衣服；一个油桶可装5.5千克油，装完60千克油至少需要( )个油桶。 8．周末，妈妈去超市购物。一桶食用油售价69.9元，妈妈买了2桶，大约需要支付( )元。如果妈妈付给收银员150元，大约能找回( )元。 9．一根绳子对折3次后，长度是0.48米，这根绳子原来长( )米。 10．根据39×15＝585直接在括号里填数。 58.5÷1.5＝( )    5.85÷3.9＝( )    0.39×1.5＝( ) 11．直接写出得数。 12×0.6＝     0.4÷0.08＝     6.12÷6＝     308×0.01＝ 3÷0.5＝     0.3÷0.01＝     70×0.08＝     0.6×0.9＝ 12．用竖式计算。 2.05×0.48＝     82.8÷2.4＝     3.68×4.5＝ 2.8×6.24≈ （得数精确到十分位）    8.2÷0.3＝ （商用循环小数表示）     11.9÷0.72≈（得数保留两位小数） 13．为保障游客安全，相关规定明确：室外景点人均占地面积低于0.75平方米时，可能存在踩踏风险。某古镇景区内，舞台前有一片长方形观演场地，长56米，宽33.75米。 (1)这片长方形观演场地的占地面积是多少平方米？ (2)为严格遵守安全规定，这片场地最多能同时容纳多少名游客观看节目？ 14．食堂运来一批面粉，平均每天用1.15吨，用了5天后还剩3.25吨。这批面粉原有多少吨？ 15．乐乐逛超市时发现某款饼干有两种规格，他认为买小筒的更划算。你同意他的观点吗？请通过计算加以说明。 16．节能减排、低碳环保是生态文明建设的重要组成部分，我国倡导衣、食、住、行等都践行低碳生活。据统计：每节约10千克粮食，可节约3.6千克标准煤，照这样计算，节约1吨粮食可以节约多少吨标准煤？ 17．南汇水蜜桃是上海的特色农产品之一。某食品厂用新鲜南汇水蜜桃制作桃脯，加工1千克桃脯大约需要4.4千克新鲜水蜜桃。食品厂计划加工33.5千克桃脯。 (1)需要准备多少千克新鲜水蜜桃？ (2)一个包装盒能装0.4千克桃脯，这些桃脯最多能装多少盒？ 18．国庆节爸爸带红红去爬山，上山时每小时爬2.5千米，用了2.4小时；下山时按原路返回，用了1.6小时。下山时他们每小时走多少千米？ 19．第五代移动通信技术（5G）已经成为通信业和学术界探讨的热点，某运营商推出128元月租5G流量套餐，如果龙龙的妈妈一个月使用流量共花费了152.6元（包含套餐费），请你计算一下，龙龙的妈妈这个月一共使用了多少流量？（GB是流量单位） 套餐/（元/月） 流量/GB 128 30 套餐外流量费用 超出套餐后5元1GB，超出满15元后按照3.2元1GB进行计费 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $