精品解析：福建厦门市九溪高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

厦门市九溪高级中学2026-2027学年高二（上）第一次月考数学试卷 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为， 而直线倾斜角范围为， 故经过，两点的直线的倾斜角为， 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 3. 如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论. 【详解】因为，， 所以． 故选：C 4. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直向量积为0即可求得参数. 【详解】解：由题意得： ， ， 解得： 故选：A 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及直线平行的判定与性质得解. 【详解】当时，直线， 当时，，推不出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（    ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有，由求的值. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得， 所以，解得， 故选：D， 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 8. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为120° B. 直线，，若，则 C. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 直线在轴上的截距是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案；对于C，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于D，根据题意，由直线方程，结合直线截距的定义计算，可得答案. 【详解】对于A，由直线方程，可得其斜率，设其倾斜角为， 则，由，则解得，故A正确； 对于B，当时，直线，则，直线，则， 由，则此时不符合题意； 当时，直线，则，直线，则， 由，则，解得，则此时符合题意，故B正确； 对于C，由题意，直线斜率一定存在，可设为，由过，则， 令，则，令，则，由题意可得， 整理可得，解得或1，所以直线方程为或，故C错误； 对于D，由直线方程， 令，解得， 所以直线在x轴上的截距为，故D错误； 故选：AB. 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在线段上 B. 当时，不存在点使得 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，有且仅有一个点使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合条件判断点的位置，线线垂直，三棱锥体积，线面垂直； 【详解】由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，， 所以，此时三点共线，即线段，故A正确； 对于B，当时，，设线段中点分别为， 则，所以点轨迹为线段，以为坐标原点， 分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 则，， 有，显然不成立，故B正确； 对于C，当时，，设线段中点分别为，故此时点轨迹为线段， 又，所以的面积不变，且点到平面的距离为定值， 所以该三棱锥的体积为，故C错误； 对于D，当时，由选项B分析可知点轨迹为线段．，， 所以，，， 若平面，所以，可得， 此时点存在且唯一，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 13. 设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 14. 已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】如图所示，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1， 所以当点P在与正方体的面的中心时，PS取得最小值1，当点P顶点时，PS取得最大值，所以， ， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （2）根据中点坐标，可求的斜率，结合点斜式方程即可解题. 【小问1详解】 直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； 【小问2详解】 线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即. 16. 如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且. （1）证明：四点共面； （2）设平面与棱的交点为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面；解法二：构造平面，再证明平面与棱的交点与重合，进而可得四点共面； （2）解法一：直接用向量的方法求点到面的距离可得；解法二：用等体积法求点到面的距离可得. 【小问1详解】 解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 于是，且向量不共线， 所以向量共面，又向量有公共点， 所以四点共面. 解法二：延长交于点，连接交于点， 因为，所以，且， 所以，所以，所以点与点重合， 故四点共面. 【小问2详解】 解法一：设，则，由点平面，得， 即， 得，解得，，，即. ，而，则，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以. 设点到平面的距离为， 则，所以点到平面的距离为. 解法二：等体积法，连接，设点到平面的距离为，如图： 由解法一知， 所以， . 由，所以，， 解得，点到平面的距离为. 17. 在正三棱柱中，AB=2，AA1=，点M为BB1的中点． （1）求AB与平面MAC所成角的正弦值； （2）证明：平面MA1C1⊥平面MAC． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案； 利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明. 【小问1详解】 解：取AC的中点O，则，以O为原点．以，为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 即O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(-1，0，0)，B(0，，0)，M(0，，) 所以，， 设平面MAC的法向量为， 则取 所以 故AB与平面MAC所成角的正弦值为 【小问2详解】 解：由（1）得A1(1，0，)，C1(-1，0，)， 则 设平面的法向量为，则取 所以，即， 故平面MA1C1⊥平面MAC． 18. 已知直线：. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1）由题意得，，解得， 直线过定点. （2） （3）当直线的方程为时，面积取最小值. 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出不等式组，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则，即. 【小问3详解】 由题意可知：， 由直线方程可得，，即， ， 当且仅当，即时，取等号， 当直线的方程为时，面积取最小值. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． （1）求证：对任意的，都有； （2）若二面角的大小为，求λ的值． 【答案】（1）证法1：证明：连接，由底面是正方形可得． 因为平面，平面，所以， 又因为,平面， 所以平面， 因为点E是上的点，所以平面，所以. 证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， ，． ， 即对任意的，都有. （2） 【解析】 【分析】（1）证法1：连接，可证得平面，从而可证得；证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）解法1：过点D在平面内作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后在中求解即可；解法2：求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：平面，平面，． 又底面是正方形， 又，平面． 因为平面，所以， 过点D在平面内作于点F，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故是二面角的平面角，即． 在中，，，， 于是，． 在中，， 即． 由，得解． 解法2：为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，， ，即 取，得 由，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市九溪高级中学2026-2027学年高二（上）第一次月考数学试卷 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. -1 B. C. D. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（    ） A. B. C. 1 D. 4 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为120° B. 直线，，若，则 C. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 直线在轴上的截距是 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在线段上 B. 当时，不存在点使得 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，有且仅有一个点使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 13. 设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 14. 已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； 16. 如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且. （1）证明：四点共面； （2）设平面与棱的交点为，求点到平面的距离. 17. 在正三棱柱中，AB=2，AA1=，点M为BB1的中点． （1）求AB与平面MAC所成角的正弦值； （2）证明：平面MA1C1⊥平面MAC． 18. 已知直线：. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． （1）求证：对任意的，都有； （2）若二面角的大小为，求λ的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $