2.4 直线与圆锥曲线的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2.4 直线与圆锥曲线的位置关系 1.如图，定圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是( ) A.射线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆 2.若O和F分别为双曲线的中心和左焦点，P为该双曲线上的任意一点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 3.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.若集合，，则所含元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.若点在椭圆上，则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.已知椭圆，直线，则l与C的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 （多选）7.我国机器人产业正处在高速发展的黄金时期，机器人正在逐步融入千行百业.通常在规划一些复杂的机器人运动轨迹时，要用到数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是( ) A.曲线C上满足的点P有且只有一个 B.曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C.若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 D.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 8.若经过点的直线与双曲线相交于A，B两点，且弦AB被点平分，则此直线方程为______. 9.已知平面直角坐标系中有三个定点，，，动点P满足.若，则点P的横坐标的取值范围是________. 10.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围为__________. 答案以及解析 1.答案：C 解析：如图，连接QA，OA.因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值.又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线.故选C. 2.答案：B 解析：由题意得，，设，则， 即，， 又，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为.故选B. 3.答案：C 解析：直线过定点，所以，解得①.由于方程表示椭圆，所以且②.由①②得实数m的取值范围是.故选C. 4.答案：B 解析：由，解得故所含元素个数为1. 5.答案：D 解析：求的最小值即求点与点连线的斜率的最小值， 设过点和点的直线方程为， 联立， 易知当时，直线斜率取得最小值，即， 故当时，斜率取得最小值，即的最小值为.故选D. 6.答案：A 解析：通解：由消去x并整理，得，因为，所以方程组有两个不同的解，所以l与C相交. 秒解：在平面直角坐标系中画出示意图（如图所示），由图象知，l与C相交. 7.答案：AD 解析：若曲线C上点P满足，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上，故，代入曲线C的方程得，解得，所以这样的点P仅有一个，故A正确；令，则，解得或，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得或，令，则，方程无解，故曲线C经过的整点只能是，，，故B错误； 易知直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线C只有一个交点，则一个解， 即只有一个解为， 即时，无解，故，则实数k的取值范围为，故C错误； 由，可得，当且仅当时取等号，曲线C上任意一点到坐标原点O的距离，故D正确.故选AD. 8.答案： 解析：通解：设，，由点A，B在双曲线上，得两式作差可得，即，又弦AB被点平分，所以代入上式可得，则，所以直线AB的方程为，即. 秒解：记点，则，由双曲线的垂径定理得，所以，故所求直线方程为，即. 9.答案： 解析：根据题意得，动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，则，所以， 又，所以， 所以椭圆方程为. 设点，则， 因为， 所以，解得， 又点P在椭圆上，所以. 10.答案： 解析：直线恒过定点，且与椭圆恒有公共点，点在椭圆内或椭圆上，，解得.又，或. 学科网（北京）股份有限公司 $