精品解析：广东佛山市南海区南海中学等校2026-2027学年高二上学期联考数学试题

2026-2027学年度第一学期高二年级数学科 试卷共四页 考试时间120分钟 一、单选题（每小题5分） 1. 已知点A（2，–1，–3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为 A. 2 B. 6 C. D. 4 2. 若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过定点的直线都可用方程表示 B. 过定点的直线都可用方程表示 C. 过任意两个点的直线都可用方程表示 D. 所有直线都可以用方程表示 10. 下列命题中真命题的是（ ） A. 直线的倾斜角不存在； B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则； C. 已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D. 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 11. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为 D. 当时，有且仅有一个点，使得 三、填空题（每题5分） 12. 经过两点的直线的倾斜角为___________． 13. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为__________． 四、解答题 15. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小. 17. 如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． （1）以为基底表示； （2）求的最小值． 18. 如图，四棱锥中，，． （1）证明：平面； （2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； （3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 19. 在空间直角坐标系O－xyz中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为． （1）若直线l的方向向量为，平面α的一般式方程为，求直线l与平面α所成角的正弦值； （2）若平面β经过点，点，点，平面γ的一般式方程为，直线l为平面β和平面γ的交线，求平面β的一般式方程，并求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）已知集合，，记集合Q中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为． （ⅰ）若，求几何体的体积和的表面积． （ⅱ）若，求几何体的体积关于m的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二年级数学科 试卷共四页 考试时间120分钟 一、单选题（每小题5分） 1. 已知点A（2，–1，–3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为 A. 2 B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出点A关于平面x轴的对称点B的坐标，然后利用距离公式求出|AB|即可． 【详解】∵点A（2，–1，–3）关于x轴的对称点为B（2，1，3），∴|AB|=2． 故选A． 【点睛】考查空间两点的对称问题和两点间的距离公式. 2. 若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 5. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由共面可知，存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A 6. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】的几何意义为动点与定点所在直线的斜率， 动点满足关系式，且， 可知在线段（除点外）上移动，且， 如图，，， 点与定点所在直线的斜率不存在， 所以的取值范围是， 故选：A. 7. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合共面向量定理得四点共面，则的最小值为点到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式可得答案． 【详解】由，且， 结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，取，则，， 所以点到平面的距离. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，① 点到平面距离为，② 由①②可得， 所以到平面的距离为. 故选：C. 二、多选题（每题6分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过定点的直线都可用方程表示 B. 过定点的直线都可用方程表示 C. 过任意两个点的直线都可用方程表示 D. 所有直线都可以用方程表示 【答案】AB 【解析】 【分析】当直线垂直x轴时，斜率不存在，即可判断A、B的正误；根据两点式方程的一般形式，可判断C的正误；根据直线的一般式方程的性质，可判断D的正误. 【详解】当直线垂直x轴时，斜率不存在，故不可以用点斜式及斜截式方程，故A、B错误； 为两点式的一般形式，可以表示过任意两个不同点的方程， （当时，方程为，当时，方程为）故C正确； 所有直线都可以用方程表示，故D正确. 故选：AB 10. 下列命题中真命题的是（ ） A. 直线的倾斜角不存在； B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则； C. 已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D. 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 11. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为 D. 当时，有且仅有一个点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，点在线段上，故当两点重合时，取得最小值，求出最小值；B选项，等体积法得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，求出，并得到两平面的法向量，根据面面角的夹角得到方程，方程无解，故C错误；D选项，表达出，令，解得，故有且仅有一个点，使得，D正确. 【详解】A选项，，，，故点在线段上， 故当两点重合时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，当时，，故，， 又，所以点在线段上，， 因为直三棱柱中，⊥平面，又平面，所以⊥， 又⊥，，所以⊥平面， 故点到平面的距离为1，故， 三棱锥的体积为定值，B正确； C选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 因为时，，即， 所以，故，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 若平面与平面的夹角为，令，故， 方程无解，故不存在两个点使得平面与平面的夹角为，C错误； D选项，当时，，即， 故，，故， 又，令， 解得，故有且仅有一个点，使得，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分） 12. 经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】## 【解析】 【详解】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 13. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量以为基底时的坐标，得到关于，，的表达式，然后设以为基底时的坐标为，得到关于，，的表达式，最后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到，，的值，即为所求坐标. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量在新基底下的坐标为， 则， 即 则，解得， 所以以为基底时的坐标为． 故答案为：. 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点的距离公式确定截面的形状，可求出周长. 【详解】如图， 将正四面体放入正方体中，因为正四面体的棱长为，所以对应正方体的棱长为4. 以为原点建立如图空间直角坐标系，则，，，. 设动点， 由题意得，， 整理得，. 取，，，分别为棱，，，的中点，则四边形即为动点构成的平面截正四面体所得的截面图形. 因为四边形为菱形，且， 所以所得截面多边形的周长为. 四、解答题 15. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 16. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明: 法一：因为底面，底面，所以， 由底面为长方形，有，而，，面， 所以平面，而平面，所以， 又因为，点是的中点，所以， 而，，面，所以平面， 而平面，所以. 又，，，面，所以平面. 法二：以为坐标原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，， 则，，，，， 点是的中点，所以，，于是， 即，又已知，而，，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定与性质证明即可； 法二：以为坐标原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，根据证明即可； （2）法一：在面内，延长与交于点，根据线面垂直的性质可得是面与面所成二面角的平面角，再根据几何关系求解即可； 法二：设面与面所成锐二面角的大小为，则由向量的数量积求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 法一：如图所示， 在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线， 由（1）知，平面，平面，所以， 又因为底面，底面，所以，而， ，面，所以平面，又，平面，所以， ，故是面与面所成二面角的平面角， 设，，有，在中，由，得，则，解得. 法二：由底面，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量. 若面与面所成锐二面角的大小为，则由向量的数量积得 ，解得， 即平面与平面所成锐二面角的大小为. 17. 如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． （1）以为基底表示； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【小问1详解】 由题意可得 ， 所以 ； 【小问2详解】 设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 18. 如图，四棱锥中，，． （1）证明：平面； （2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； （3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 【答案】（1） 在平面ABCD中，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，由线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，确定球心位置，然后利用线面角的坐标求法求解即可； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD和平面PBC的法向量，利用法向量数量积为0可得b的范围，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABC，平面， 所以，，又因为， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 因为中，，所以外心为AC中点， 故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设， 又因为，所以，故，所以， 所以，又因为，， 设平面PBC的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PBC的一个法向量为， 设直线AO与平面PBC所成角为， 则. 【小问3详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设， 所以，，设平面PAD的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PAD的一个法向量为， 同理平面PBC的一个法向量为， 又因为平面PAD平面PBC， 所以，所以，所以， 又因为，，且， 所以，所以或， 当时，， 当时，， 故. 19. 在空间直角坐标系O－xyz中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为． （1）若直线l的方向向量为，平面α的一般式方程为，求直线l与平面α所成角的正弦值； （2）若平面β经过点，点，点，平面γ的一般式方程为，直线l为平面β和平面γ的交线，求平面β的一般式方程，并求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）已知集合，，记集合Q中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为． （ⅰ）若，求几何体的体积和的表面积． （ⅱ）若，求几何体的体积关于m的函数关系式． 【答案】（1） （2），或（写出其中一个即可） （3）（ⅰ），21 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面α的一个法向量，再利用空间向量法即可求线面角的正弦值； （2）根据题意可求平面β的一个法向量，再根据平面的点法式方程化简即可求面β的一般式方程，根据交线l与两平面的法向量垂直即可求交线l的一个方向向量，再转化为单位向量即可； （3）（ⅰ）由题知集合是边长为2的正方体，利用平面的一般式方程分析集合为一个八面体，根据相关长度即可求的体积，再分析两个几何图形截面相交的图形即可求的表面积； （ⅱ）根据（ⅰ）的分析，相交部分为正方体中截了8个三棱锥，分析相关边长即可求的体积. 【小问1详解】 平面α的一般式方程为， 则平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角为， 所以， 即直线l与平面α所成角的正弦值为. 【小问2详解】 设平面β的一个法向量， 则，不妨取，则， 此时， 所以平面β的一般式方程为， 又平面γ的一般式方程为，则平面γ的一个法向量， 设直线l的一个方向向量，又直线l为平面和平面γ的交线， 则，不妨取，则， 此时， 所以直线l的一个单位方向向量为或（写出其中一个即可）. 【小问3详解】 （ⅰ）集合， 所以集合是以原点为中心，边长为2的正方体， 时，， 当时，即， 根据题意知是平面的一般方程，且过， 则，形成的是一个三棱锥，如图， 所以形成的立体几何图形为八面体， 体积， 又在八面体中时的截面是对角线长为3的正方形，与正方体上底面交点如图， 正方形对角线长为3，正方形边边长为2， ，则等腰直角三角形中，， 所以中所有点构成的几何体为如下图所示， 则几何体为的表面积， 所以，几何体的体积为，的表面积21. （ⅱ）由（ⅰ）知，时，八面体在正方体六个面的交线都为六边形， 正方形对角线长为，正方形边边长为2， ， 则等腰直角三角形中，， 故几何体的体积， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $