精品解析：福建漳州市龙文区通源学校景山校区2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试卷

2026年八年级数学10月阶段性测试 一、单选题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列四组数中，勾股数是（　　） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. D. ，， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的相反数是 B. 的相反数是 C. D. 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 的算术平方根是______，的立方根是______． 12. 已知△ABC的三边长分别是9、12、15，则△ABC是______三角形. 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 14. 已知，则________． 15. 如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 16. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为______． 17. 计算． （1）； （2）． 18. 把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，0，，，6，π， （1）正数集合：｛ …｝； （2）整数集合：｛ …｝； （3）分数集合：｛ …｝； （4）无理数集合：｛ …｝； 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画，使三边长分别为，，．并直接写出的面积 20. 已知：如图，四边形中，，，，，， （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 21. 已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 22. 如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 23. 综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． （1）①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； （2）若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 24. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级数学10月阶段性测试 一、单选题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是实数大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法：正数大于0，0大于负数． 根据正数大于0，0大于负数，即可解答． 【详解】解：在这四个数中， ， 最大的数是， 故选：A． 2. 下列四组数中，勾股数是（　　） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； D、因为，但，，不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的相反数是 B. 的相反数是 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义、绝对值的意义、立方根的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、的相反数是，错误； B、的相反数是，错误； C、∵，∴，∴，错误； D、∵，∴，正确． 4. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式的判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不满足最简二次根式条件，A不符合题意； B、，被开方数是小数，即被开方数含有分母，不满足最简二次根式条件，B不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数4，不满足最简二次根式条件，C不符合题意； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，D符合题意． 5. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，根据算术平方根，立方根的定义解答即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B．，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 6. 如图，这是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理与网格问题，直接利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形网格线的交点）之间的距离为； 故选D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可判断求解，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 故选：． 8. 实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从数轴判断、的大小与正负，判断b-a的正负，利用公式和绝对值的性质化简式子． 【详解】解：由数轴可知：， ∴． ∴，，， ∴ ． 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 的算术平方根是______，的立方根是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行求解即可得到答案． 【详解】解：，， 的算术平方根是，的立方根是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，一个正数的平方等于，即，则这个正数为的算术平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 12. 已知△ABC的三边长分别是9、12、15，则△ABC是______三角形. 【答案】直角 【解析】 【详解】试题解析：∵92+122=152， ∴△ABC是直角三角形． 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】x≥﹣4 【解析】 【详解】由题意得，x+4≥0， 解得x≥﹣4． 故答案是：x≥﹣4． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到2-x≥0且x-2≥0，从而确定出x，y的值，然后代入求解即可. 【详解】解：∵2-x≥0且x-2≥0， ∴x=2，y=5， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟知二次根式有意义被开方数非负是解题关键. 15. 如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理．根据题意，画出图形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：， 故答案为：5． 16. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）分别使用平方差公式、完全平方公式展开式子，最后合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，0，，，6，π， （1）正数集合：｛ …｝； （2）整数集合：｛ …｝； （3）分数集合：｛ …｝； （4）无理数集合：｛ …｝； 【答案】（1），，6，π （2），0，6 （3），，， （4）π， 【解析】 【分析】（1）大于0的数是正数，据此作答即可； （2）正数包含负整数、正整数和0； （3）分数包含有限小数、无限循环小数，据此作答即可； （4）无限不循环小数是无理数，据此作答即可． 【小问1详解】 正数集合：｛，，6，π，…｝， 故答案为：，，6，π； 【小问2详解】 整数集合：｛，0，6…｝， 故答案为：，0，6； 【小问3详解】 分数集合：｛，，，，…｝， 故答案为：，，，； 【小问4详解】 无理数集合：｛π，，…｝， 故答案为：π，． 【点睛】本题考查了实数分类，熟练掌握实数的分类（实数包括有理数和无理数；还可分为正数、负数和0）是解题的关键． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画，使三边长分别为，，．并直接写出的面积 【答案】（1）如图所示，则线段即为所求； （2） 如图，即为所求， 2 【解析】 【分析】本题主要考查了网格图中画线段和三角形，勾股定理及其逆定理等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用网格和勾股定理（）即可画图； （2）利用网格和勾股定理画出三角形，利用勾股定理的逆定理判定出直角三角形，然后求出面积即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 此时，的面积为． 20. 已知：如图，四边形中，，，，，， （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）是直角三角形. （2） 【解析】 【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可． 【小问1详解】 是直角三角形， 理由：在中，，，， ． ，，， ，， ， 是直角三角形，； 【小问2详解】 解：； ， ， 四边形的面积为84． 21. 已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可求出、，估算出的范围即可求出； （2）将、、的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【小问1详解】 解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 22. 如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）1120元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【小问1详解】 解：， 答：长方形空地的周长为； 【小问2详解】 解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 23. 综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． （1）①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； （2）若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】（1）①；；②风筝离地面的垂直高度为米 （2）小明同学手中的风筝线应该往回收米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米. ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 24. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． （1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发2秒后，，， ∴； 【小问2详解】 解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴, ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：； ③当时，过点C作于点E，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 综上可知当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $