4.1等式与方程 提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第四章一元一次方程第一节等式与方程》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.精准区分代数式、等式、方程，理解一元一次方程的严格定义，建立方程模型基本认知。 2.熟练掌握等式两条基本性质，能判断等式变形正误，依据性质完成严谨推理变形。 3.掌握方程解的检验方法，能快速代入求值验证解的正确性，规范运算步骤。 4.能从生活、学习情境中提取等量关系，设未知数、列方程，初步建立方程解题模型。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.等式、方程、一元一次方程、方程的解的核心概念辨析。 2.等式的两条基本性质及规范变形规则。 3.检验一个数是否为方程的解的标准步骤。 4.根据实际问题等量关系列出一元一次方程。 （二）难点 1.等式性质2中除数不能为0的隐含限制条件及易错变形判断。 2.精准辨析一元一次方程三大限制条件（一元、一次、整式方程）。 3.区分 “ 等式、代数式、方程 ” 三类式子，避免概念混淆。 4.从文字应用题中准确挖掘隐性等量关系并列方程。 ) 三．知识精析 （一）等式的概念 1.定义：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。 例如：3+2=5、2x+1=5、a+b=b+a 都是等式。 根据下列情境中的等量关系列出一个等式: ①某高铁列车以v km/h的平均速度行驶0.5h，行驶的路程为150km; ②如图一个正方形纸片被分割成四部分; ③按盐和水的质量之比为1:10的配比，把xg盐配成550g的盐水。 【解析】①等量关系:速度x时间=路程，用等式表示为0.5v=150, ②等量关系:正方形纸片的面积等于四部分面积之和，用等式表示为(a+b)2=a2+2ab+b2; ③等量关系:盐的质量十水的质量=盐水的质量，用等式表示为x+10x=550. 2.等式可以分为三类： ①恒等式：无论字母取何值，等式都成立（如a+b=b+a） ②条件等式：只有字母取特定值时，等式才成立（如2x+1=5） ③矛盾等式：无论字母取何值，等式都不成立（如x+1=x-1） 3.等式的性质 ①等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则a±c=b±c。 ②等式的性质2 等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则ac = bc；若a=b且c≠0，则=。 ③等式的对称性 若a=b，则b=a（例如：由x=3可得3=x）。 ④等式的传递性 若a=b且b=c，则a=c（例如：由x=y，y=5可得x=5）。 （二）方程的概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.两个关键要素： ①是等式（有“=”连接）； ②含有未知数（字母，如x,y等）。 示例：2x+1=5、3y=2y+5都是方程；而3+2=5是等式但不是方程（无未知数），2x+3不是等式也不是方程。 3.方程的解与解方程 ①方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 ②解方程：求出方程解的过程（是一个运算过程）。 ③标准检验步骤 i. 把数值分别代入方程左边、右边； ii. 分别计算结果； iii. 若左边=右边，则是方程的解，反之不是。 4.列程基本步骤 ①审题：找出题目已知量、未知量； ②设元：一般直接设所求量为x； ③找等量：抓住“相等、和、差、倍、比”关键词； ④列式：根据等量关系列出方程。 例：根据下列情境中的等量关系列方程。 ①如图，天平两边托盘中小球的质量是多少? ②篮球联赛规则规定:胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，图4-412场，共得20分，该球队胜，负各多少场? ③一幅长方形油画的长与宽的比为1:0.618，面积为1.6m2，它的长为多少? 【解析】①中，有下面的等量关系:左边托盘中物品的质量=右边托盘中物品的质量。用x表示小球的质量，上述等量关系可以表示为3x=x+5. ②中，有下面的等量关系: 胜的场数+负的场数=12场， 胜场得分+负场得分=20分。 用a,b分别表示胜的场数和负的场数，上述等量关系可以表示为 a+b=12, 2a+b=20. ③中，有下面的等量关系:长×宽=1.6m2。 用x表示长方形的长，上述等量关系可以表示为 0.618x2=1.6. （三）三类式子的区别（必考辨析） （1）代数式：不含等号、不等号，只用运算符号连接数与字母，无相等关系。 （2）等式：含有“=”，表示左右两边数量相等。 （3）方程：同时满足两个条件：①是等式 ②含有未知数 【口诀】：有等有未知，才是方程 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城康居路初中月考）下列各式中，属于方程的是（ ） A.2x-5　 B.3+7=10　 C.2x+1=7　 D.3x-1>2 【答案】：C 【解析】：方程定义：含有未知数的等式。A代数式，B无未知数，D是不等式。 2.（2025秋·无锡期末）已知a=b，根据等式性质变形正确的是（ ） A.a+2=b-2　 B.3a=3b　 C.=　 D.a-5=5-b 【答案】：B 【解析】：等式性质2，两边同乘同一个数，等式仍然成立。 3.（2026春·徐州期中）若x=2是方程3x-k=4的解，则k的值为（ ） A.2　 B.3　 C.4　 D.5 【答案】：A 【解析】：代入x=2，3×2-k=4，6-k=4，k=2。 4.（2025秋·泰州姜堰月考）学校科创社团采购零件，设零件数量为x，“零件数量的2倍少3等于15”，列方程是（ ） A.2x+3=15　 B.2x-3=15　 C.-3=15　 D.2(x-3)=15 【答案】：B 【解析】：关键词：2倍少3，即2x-3=15。 5.（2026·江苏模拟）由等式4x=3x+5变形得到4x-3x=5，依据是（ ） A.等式性质1　 B.等式性质2　 C.合并同类项法则　 D.乘法分配律 【答案】：A 【解析】：等式两边同时减去3x，属于等式性质1。 6.（2025秋·连云港期末）下列说法正确的是（ ） A.所有等式都是方程　 B.方程的解就是解方程 C.x=1是方程2x+1=3的解　 D.代数式是方程 【答案】：C 【解析】：A等式不一定含未知数；B概念区分：解是数值，解方程是过程；D代数式无等号。 7.（2026·泰州姜堰一模）根据等式性质，变形正确的是（ ） A.若a=b，则a+3=b-3 B.若a=b，则= C.若2a=3b，则a=b D.若a=b，则-4a=-4b 【答案】：D 【解析】：A两边加减不一致；B缺少c≠0条件；C两边乘的数字不同；D等式两边同乘-4，符合性质2。 8.（2024秋·连云港东海期末）等式5x=10两边同时除以5，得（ ） A.x=2 B.x=5 C.5x=2 D.x=10 【答案】：A 【解析】：等式性质2，两边同除以5，x=2。 9.（2025秋·盐城东台期中）某班共48人，男生比女生多4人，设女生x人，方程正确的是（ ） A.x+(x+4)=48 B.x+(x-4)=48 C.2x=48+4 D.x-4=48 【答案】：A 【解析】：女生x，男生x+4，男女生总和48，相加列等式。 10.如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是(     ) A.①②③ B.①③ C.①② D.②③ 【答案】B 【解析】因为最左边的天平是平衡的，所以2个球的重量=4个圆柱的重量；①中1个球的重量=2个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到①是平衡的；②中，2个球的重量≠2个圆柱的重量，可得到②是不平衡的；③中，2个球的重量+1个圆柱的重量=5个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到③是平衡的；综上所述，平衡的是①③，故选：B． 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城月考）已知x=3是方程2x+a=10的解，则a=_______。 【答案】：4 【解析】：代入x=3，6+a=10，解得a=4。 12.（2026徐州期中）若a-3=b，则a=_______（等式性质变形）。 【答案】：b+3 【解析】：等式性质1，两边同时加3。 13.（2025泰州期末）校园劳动，打扫教室的人数x，比拖地人数多4，拖地共12人，列方程：_______。 【答案】：x-4=12 【解析】：打扫人数$-$4 =拖地人数。 14.（2025无锡月考）若2x=6，根据等式性质2，可得x=_______。 【答案】：3 【解析】：两边同除以2。 16.（2026江苏模拟）在式子3x-1，5+2=7，2x=6，x>1中，方程有_______个。 【答案】：1 【解析】：只有2x=6是方程。 17.（2024秋·镇江扬中期末）“y的6倍减去9等于15”列方程：________。 【答案】：6y-9=15 【解析】：6倍6y，减9，等于15。 18.（2025秋·泰州姜堰期中）已知x=3是方程kx+2=11的解，则k=____。 【答案】：3 【解析】：3k+2=11，3k=9，k=3。 19.（2024秋·南京玄武期末）等式x-6=y，根据等式性质1，两边同时加6，可得____。 【答案】：x=y+6 【解析】：等式两边同时加6，左边x-6+6=x，右边y+6。 20.（2025秋·淮安清江浦期中）长方形周长28cm，长比宽多2cm，设宽为xcm，列方程：________。 【答案】：2[x+(x+2)]=28 【解析】：宽x，长x+2；周长公式2×(长+宽)，代入得2[x+(x+2)]=28。 三．解答题（共60分） 21.（2025秋·镇江丹徒期末）检验与概念辨析 (1) 判断x=1和x=3哪个是方程4x-2=10的解； (2) 区分：2x+4、3+6=9、5x-1=7分别是代数式、等式还是方程。 解：(1) x=1：左边=4-2=2≠10；x=3：左边=12-2=10=右边；x=3是方程的解； (2) 无等号为代数式；有等号无未知数为等式；有等号有未知数为方程。2x+4是代数式；3+6=9是等式；5x-1=7是方程。 22.（2025秋·无锡新吴期中）等式性质综合应用 写出变形结果与依据： (1) x+8=15，两边减8，x=____；依据：________； (2) 5y=30，两边除以5，y=____；依据：________； (3) 3a+4=b，两边减4，3a=____；依据：________。 【答案】(1) 7；等式性质1；(2) 6；等式性质2；(3) b-4；等式性质1。 【解析】：等式性质1：同加减；性质2：同乘除（除数不为0）。 23.（2026·盐城盐都三模）根据题意列方程 (1) 某数的3倍与5的和等于该数的7倍； (2) 甲乙两数和为45，甲数比乙数大7，设乙数为x，列方程。 解：(1) 设该数为x，3倍加5：3x+5，等于7倍7x；→3x+5=7x； (2) 乙数x，甲数x+7，两数相加和为45；→(x+7)+x=45。 24.小明在学习了等式的基本性质后，对等式5m－2＝3m－2进行变形，得出“5＝3”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式5m－2＝3m－2变形， 两边同时加2，得5m＝3m（第①步）， 两边同时除以m，得5＝3（第②步） (1) 第　　　　步等式变形产生错误； (2) 请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出m的值． 解：(1) ② (2) 产生原因：等式两边同除以字母m时，没有考虑m的值是否为0； 正确过程：5m－3m＝0，得m＝0. 25.如图，把一边长为x cm的铁皮的四个角各剪去一个边长为y cm的小正方形，然后把它折成一个无盖长方体铁盒． (1) 该铁盒的高是　　　　cm，底面积是　　　　cm2； (2) 为了使铁盒底面达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑铁皮的厚度），求此时x与y之间的数量关系． 解： (1) y　(x－2y)2 (2) 由题意，得x－2y＝2y，即x＝4y. 26.（2025盐城期末改编，2026空间站科普活动）学校组织观看天宫科普直播，一共x名学生参加。其中一半同学观看直播，另外15名同学参与航天模型制作，总人数55人。 （1）写出题目中等量关系； （2）根据题意列出方程； （3）判断x=80是不是所列方程的解。 解：(1) 观看直播人数 + 模型制作人数 = 总人数 (2)x+15=55 (3)把x=80代入，左边=40+15=55=右边，是方程的解 27. 已知关于x的方程x＋＝3＋的两个解是x1＝3，x2＝； 又已知关于x的方程x＋＝4＋的两个解是x1＝4，x2＝＝； 又已知关于x的方程x＋＝5＋的两个解是x1＝5，x2＝； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x＋＝c＋的两个解是x1＝c，x2＝；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1) 关于x的方程x＋＝11＋的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　　； (2) 已知关于x的方程x＋＝12＋，则x的两个解是多少？ 解：(1) 11　 (2) 因为x＋＝12＋，所以x－1＋＝12＋－1，所以x－1＋＝11＋， 所以x1－1＝11，x2－1＝，所以x1＝12，x2＝. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·苏州吴中期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ） A.若2a-b=5，那么b=5-2a B.若-3x=6，则x=2 C.若=，则a=b D.若a=b，则= 【答案】：C 【解析】：A移项错误；Bx=-2；D缺少m≠0条件。 2.（2026·盐城一模）已知关于x的方程ax+3=2x的解是x=1，则a的值为（ ） A.-1　 B.1　 C.2　 D.3 【答案】：B 【解析】：代入x=1，a+3=2，解得a=-1。 3.（2025秋·无锡惠山区期末）下列说法：①含有未知数的式子叫方程；②若ac=bc，则a=b；③x=0是方程；④一元一次方程只含一个未知数。正确的个数（ ） A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 【答案】：B 【解析】：①必须是等式；②c=0不成立；③④正确，共2个。 4.（2026·徐州期末模拟）2026校园读书节，图书角原有x本书，借出后，又购入20本，现有80本，列方程（ ） A.x-x+20=80　 B.x+20=80 C.x+x+20=80　D.x-(x+20)=80 【答案】：A 【解析】：原数量-借出+新增=现有。 5.（2025连云港期末）等式5(x+2)=3(x+2)变形得到5=3，错误原因是（ ） A.两边同时加(x+2)　 B.两边同时减(x+2) C.两边同时除以(x+2)，忽略x+2=0　 D.计算错误 【答案】：C 【解析】：直接除以(x+2)，没有考虑x+2可能等于0。 6.（2025泰州姜堰期末）若a+2b=b+4，利用等式性质，a+b的值是（ ） A.2　 B.4　 C.6　 D.8 【答案】：B 【解析】：两边同减b，a+b=4。 7.（2026盐城月考）已知x=k是方程3x-2=2x+1的解，则k的值为（ ） A.1　 B.2　 C.3　 D.4 【答案】：C 【解析】：代入3k-2=2k+1，k=3。 8.（2024秋·扬州广陵期末）“一个数的5倍减去3等于12”，设这个数为x，列方程正确的是（ ） A.5x-3=12 B.5(x-3)=12 C.3x-5=12 D.5x+3=12 【答案】：A 【解析】：文字翻译：5倍即5x，减3为5x-3，等于12，对应5x-3=12。 9．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示；B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示．C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示；D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示；故选：D． 10．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【解析】由图①可得5个球+2个正方体=1个球+3个三棱锥，则2个正方体=3个三棱锥-4个球，由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥+2个正方体，则1个正方体=2个三棱锥-3个球，那么2个正方体=4个三棱锥-6个球=3个三棱锥-4个球，故1个三棱锥=2个球， 那么1个正方体=2个三棱锥-3个球=4个球-3个球1个球，由图③可得天平左边为3个球+2个正方体+1个三棱锥=3个球+2个球+2个球=7个球，则天平右边应放7个球，故选：D． 二．填空题（共30分） 11.（2026徐州期中）已知x=2是方程ax-5=a+3的解，则a=________。 【答案】：8 【解析】：代入2a-5=a+3，a=8。 12.（2025连云港期末）如果m=n，那么5-2m=________。 【答案】：5-2n 【解析】：等式性质，两边乘-2再加5。 13.（2026泰州月考）在①2x=1；②3x-2；③5+7=12；④y-3=0；方程有________个。 【答案】：2 【解析】：①、④是方程。 14.（2025盐城期末）检验x=5____方程3x-7=8的解（填是/不是）。 【答案】：是 【解析】：左边15-7=8=右边。 15.若ax=ay，能推出x=y的前提条件是________。 【答案】：a≠0 【解析】：等式性质2，除数不为0。 16．已知，用S，h表示a，则 ． 【答案】 【解析】∵，∴，∴，故答案为：． 17．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】2x-5 【解析】∵，∴y=2x-5，故答案为：2x-5． 18．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，当时，∴关于的方程的解是．故答案为：． 19.假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是  个． 【答案】4 【解析】由题意得，，∴， ∴，∴“？”处应放“■”的个数是4个，故答案为：4． 20．下列等式变形中，正确的有 （填写序号）．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【解析】①若，则，正确；②若，则，正确；③若，则不成立，故③错误；④若，则，错误，a也可能等于0；⑤若，则，故，正确．故正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤． 三．解答题（共60分） 21．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 解：（1）不是方程，理由是：不含未知数．（2）是方程．（3）不是方程，理由是：不是等式．（4）不是方程，理由是：不是等式．（5）是方程．（6）不是方程，理由是：不含未知数． 22．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 解：（1）当时，左边，左边右边，故不是方程的解， 当时，左边，左边右边，故是方程的解； （2）当时，左边，左边右边，故是方程的解， 当时，左边，左边右边，故不是方程的解． 23．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 24.（2024秋·镇江丹阳期末）含参数方程与辨析 (1) 已知x=2是方程5x+k=16的解，求k的值； (2) 小明说“所有等式都是方程”，判断对错并说明理由； (3) 根据题意写等式：比a的7倍多5的数等于33。 【答案】(1) k=6；(2) 错误；不含未知数的等式（如2+3=5）不是方程；(3) 7a+5=33。 【解析】(1) 代入x=2：10+k=16，k=6；(2) 方程必须含未知数，等式不一定有未知数； （3）7倍7a，多5即加5，等于33。 25.若不论k取什么实数，关于x的方程＝2＋（m，n是常数）的解总是x＝1，求m＋n的值． 解：将x＝1代入方程，得＝2＋，去分母，得2(2k＋m)＝12＋1－nk， 整理，得(4＋n)k＝13－2m.因为不论k取什么实数，关于x的方程＝2＋(m，n是常数)的解总是x＝1，所以4＋n＝0，13－2m＝0，解得n＝－4，m＝6.5，则m＋n＝2.5. 25．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 解：（1）设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）根据题意得； （3）设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 27．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运动A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币） （1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用x表示出其他未知量． 甲仓库 乙仓库 A工地 x 　 　 B工地 　 　 x+10 （2）用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为　 　元．（写出化简后的结果） （3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程．（只列出方程即可，写成ax+b=0的形式，不用解） 解：（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为（100﹣x）吨， 乙仓库运到A工地水泥的吨数为（70﹣x）吨，则运到B地水泥的吨数为（x+10）吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 A工地 x 70﹣x B工地 100﹣x x+10 （2）运送甲仓库100吨水泥的运费为140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，故答案为：﹣10x+15000； （3）140x+150（100﹣x）+200（70﹣x）+80（x+10）=25900，整理得：﹣130x+3900=0． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第四章一元一次方程第一节等式与方程》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.精准区分代数式、等式、方程，理解一元一次方程的严格定义，建立方程模型基本认知。 2.熟练掌握等式两条基本性质，能判断等式变形正误，依据性质完成严谨推理变形。 3.掌握方程解的检验方法，能快速代入求值验证解的正确性，规范运算步骤。 4.能从生活、学习情境中提取等量关系，设未知数、列方程，初步建立方程解题模型。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.等式、方程、一元一次方程、方程的解的核心概念辨析。 2.等式的两条基本性质及规范变形规则。 3.检验一个数是否为方程的解的标准步骤。 4.根据实际问题等量关系列出一元一次方程。 （二）难点 1.等式性质2中除数不能为0的隐含限制条件及易错变形判断。 2.精准辨析一元一次方程三大限制条件（一元、一次、整式方程）。 3.区分 “ 等式、代数式、方程 ” 三类式子，避免概念混淆。 4.从文字应用题中准确挖掘隐性等量关系并列方程。 ) 三．知识精析 （一）等式的概念 1.定义：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。 例如：3+2=5、2x+1=5、a+b=b+a 都是等式。 根据下列情境中的等量关系列出一个等式: ①某高铁列车以v km/h的平均速度行驶0.5h，行驶的路程为150km; ②如图一个正方形纸片被分割成四部分; ③按盐和水的质量之比为1:10的配比，把xg盐配成550g的盐水。 2.等式可以分为三类： ①恒等式：无论字母取何值，等式都成立（如a+b=b+a） ②条件等式：只有字母取特定值时，等式才成立（如2x+1=5） ③矛盾等式：无论字母取何值，等式都不成立（如x+1=x-1） 3.等式的性质 ①等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则a±c=b±c。 ②等式的性质2 等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则ac = bc；若a=b且c≠0，则=。 ③等式的对称性 若a=b，则b=a（例如：由x=3可得3=x）。 ④等式的传递性 若a=b且b=c，则a=c（例如：由x=y，y=5可得x=5）。 （二）方程的概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.两个关键要素： ①是等式（有“=”连接）； ②含有未知数（字母，如x,y等）。 示例：2x+1=5、3y=2y+5都是方程；而3+2=5是等式但不是方程（无未知数），2x+3不是等式也不是方程。 3.方程的解与解方程 ①方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 ②解方程：求出方程解的过程（是一个运算过程）。 ③标准检验步骤 i. 把数值分别代入方程左边、右边； ii. 分别计算结果； iii. 若左边=右边，则是方程的解，反之不是。 4.列程基本步骤 ①审题：找出题目已知量、未知量； ②设元：一般直接设所求量为x； ③找等量：抓住“相等、和、差、倍、比”关键词； ④列式：根据等量关系列出方程。 例：根据下列情境中的等量关系列方程。 ①如图，天平两边托盘中小球的质量是多少? ②篮球联赛规则规定:胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，图4-412场，共得20分，该球队胜，负各多少场? ③一幅长方形油画的长与宽的比为1:0.618，面积为1.6m2，它的长为多少? （三）三类式子的区别（必考辨析） （1）代数式：不含等号、不等号，只用运算符号连接数与字母，无相等关系。 （2）等式：含有“=”，表示左右两边数量相等。 （3）方程：同时满足两个条件：①是等式 ②含有未知数 【口诀】：有等有未知，才是方程 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城康居路初中月考）下列各式中，属于方程的是（ ） A.2x-5　 B.3+7=10　 C.2x+1=7　 D.3x-1>2 2.（2025秋·无锡期末）已知a=b，根据等式性质变形正确的是（ ） A.a+2=b-2　 B.3a=3b　 C.=　 D.a-5=5-b 3.（2026春·徐州期中）若x=2是方程3x-k=4的解，则k的值为（ ） A.2　 B.3　 C.4　 D.5 4.（2025秋·泰州姜堰月考）学校科创社团采购零件，设零件数量为x，“零件数量的2倍少3等于15”，列方程是（ ） A.2x+3=15　 B.2x-3=15　 C.-3=15　 D.2(x-3)=15 5.（2026·江苏模拟）由等式4x=3x+5变形得到4x-3x=5，依据是（ ） A.等式性质1　 B.等式性质2　 C.合并同类项法则　 D.乘法分配律 6.（2025秋·连云港期末）下列说法正确的是（ ） A.所有等式都是方程　 B.方程的解就是解方程 C.x=1是方程2x+1=3的解　 D.代数式是方程 7.（2026·泰州姜堰一模）根据等式性质，变形正确的是（ ） A.若a=b，则a+3=b-3 B.若a=b，则= C.若2a=3b，则a=b D.若a=b，则-4a=-4b 8.（2024秋·连云港东海期末）等式5x=10两边同时除以5，得（ ） A.x=2 B.x=5 C.5x=2 D.x=10 9.（2025秋·盐城东台期中）某班共48人，男生比女生多4人，设女生x人，方程正确的是（ ） A.x+(x+4)=48 B.x+(x-4)=48 C.2x=48+4 D.x-4=48 10.如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是(     ) A.①②③ B.①③ C.①② D.②③ 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城月考）已知x=3是方程2x+a=10的解，则a=_______。 12.（2026徐州期中）若a-3=b，则a=_______（等式性质变形）。 13.（2025泰州期末）校园劳动，打扫教室的人数x，比拖地人数多4，拖地共12人，列方程：_______。 14.（2025无锡月考）若2x=6，根据等式性质2，可得x=_______。 16.（2026江苏模拟）在式子3x-1，5+2=7，2x=6，x>1中，方程有_______个。 17.（2024秋·镇江扬中期末）“y的6倍减去9等于15”列方程：________。 18.（2025秋·泰州姜堰期中）已知x=3是方程kx+2=11的解，则k=____。 19.（2024秋·南京玄武期末）等式x-6=y，根据等式性质1，两边同时加6，可得____。 20.（2025秋·淮安清江浦期中）长方形周长28cm，长比宽多2cm，设宽为xcm，列方程：________。 三．解答题（共60分） 21.（2025秋·镇江丹徒期末）检验与概念辨析 (1) 判断x=1和x=3哪个是方程4x-2=10的解； (2) 区分：2x+4、3+6=9、5x-1=7分别是代数式、等式还是方程。 22.（2025秋·无锡新吴期中）等式性质综合应用 写出变形结果与依据： (1) x+8=15，两边减8，x=____；依据：________； (2) 5y=30，两边除以5，y=____；依据：________； (3) 3a+4=b，两边减4，3a=____；依据：________。 23.（2026·盐城盐都三模）根据题意列方程 (1) 某数的3倍与5的和等于该数的7倍； (2) 甲乙两数和为45，甲数比乙数大7，设乙数为x，列方程。 24.小明在学习了等式的基本性质后，对等式5m－2＝3m－2进行变形，得出“5＝3”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式5m－2＝3m－2变形， 两边同时加2，得5m＝3m（第①步）， 两边同时除以m，得5＝3（第②步） (1) 第　　　　步等式变形产生错误； (2) 请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出m的值． 25.如图，把一边长为x cm的铁皮的四个角各剪去一个边长为y cm的小正方形，然后把它折成一个无盖长方体铁盒． (1) 该铁盒的高是　　　　cm，底面积是　　　　cm2； (2) 为了使铁盒底面达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑铁皮的厚度），求此时x与y之间的数量关系． 26.（2025盐城期末改编，2026空间站科普活动）学校组织观看天宫科普直播，一共x名学生参加。其中一半同学观看直播，另外15名同学参与航天模型制作，总人数55人。 （1）写出题目中等量关系； （2）根据题意列出方程； （3）判断x=80是不是所列方程的解。 27. 已知关于x的方程x＋＝3＋的两个解是x1＝3，x2＝； 又已知关于x的方程x＋＝4＋的两个解是x1＝4，x2＝＝； 又已知关于x的方程x＋＝5＋的两个解是x1＝5，x2＝； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x＋＝c＋的两个解是x1＝c，x2＝；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1) 关于x的方程x＋＝11＋的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　　； (2) 已知关于x的方程x＋＝12＋，则x的两个解是多少？ B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·苏州吴中期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ） A.若2a-b=5，那么b=5-2a B.若-3x=6，则x=2 C.若=，则a=b D.若a=b，则= 2.（2026·盐城一模）已知关于x的方程ax+3=2x的解是x=1，则a的值为（ ） A.-1　 B.1　 C.2　 D.3 3.（2025秋·无锡惠山区期末）下列说法：①含有未知数的式子叫方程；②若ac=bc，则a=b；③x=0是方程；④一元一次方程只含一个未知数。正确的个数（ ） A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 4.（2026·徐州期末模拟）2026校园读书节，图书角原有x本书，借出后，又购入20本，现有80本，列方程（ ） A.x-x+20=80　 B.x+20=80 C.x+x+20=80　D.x-(x+20)=80 5.（2025连云港期末）等式5(x+2)=3(x+2)变形得到5=3，错误原因是（ ） A.两边同时加(x+2)　 B.两边同时减(x+2) C.两边同时除以(x+2)，忽略x+2=0　 D.计算错误 6.（2025泰州姜堰期末）若a+2b=b+4，利用等式性质，a+b的值是（ ） A.2　 B.4　 C.6　 D.8 7.（2026盐城月考）已知x=k是方程3x-2=2x+1的解，则k的值为（ ） A.1　 B.2　 C.3　 D.4 8.（2024秋·扬州广陵期末）“一个数的5倍减去3等于12”，设这个数为x，列方程正确的是（ ） A.5x-3=12 B.5(x-3)=12 C.3x-5=12 D.5x+3=12 9．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 二．填空题（共30分） 11.（2026徐州期中）已知x=2是方程ax-5=a+3的解，则a=________。 12.（2025连云港期末）如果m=n，那么5-2m=________。 13.（2026泰州月考）在①2x=1；②3x-2；③5+7=12；④y-3=0；方程有________个。 14.（2025盐城期末）检验x=5____方程3x-7=8的解（填是/不是）。 15.若ax=ay，能推出x=y的前提条件是________。 16．已知，用S，h表示a，则 ． 17．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 18．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 19.假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是  个． 20．下列等式变形中，正确的有 （填写序号）．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 三．解答题（共60分） 21．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 23．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 24.（2024秋·镇江丹阳期末）含参数方程与辨析 (1) 已知x=2是方程5x+k=16的解，求k的值； (2) 小明说“所有等式都是方程”，判断对错并说明理由； (3) 根据题意写等式：比a的7倍多5的数等于33。 25.若不论k取什么实数，关于x的方程＝2＋（m，n是常数）的解总是x＝1，求m＋n的值． 25．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 27．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运动A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥总运费需要25900元，问甲仓库运到A工地水泥的吨数．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币） （1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，请在下面表格中用x表示出其他未知量． 甲仓库 乙仓库 A工地 x 　 　 B工地 　 　 x+10 （2）用含x的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费为　 　元．（写出化简后的结果） （3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程．（只列出方程即可，写成ax+b=0的形式，不用解） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $