陕西榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第三次模拟考试高三年级数学试卷

榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第三次模拟考试 高三年级数学试卷 一、单选题 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,3,5,7},集合B={1,2,3,4},则C(A∩B)=() A.0 B.{2,3} c.{6 D.{1,4,5,6,7} 2.已知向量a=(-1,2),b=(2,m),若 ,6共线,则b=() A.5 B.2V5 C.5 D.20 3.命题x∈[1,2],x2-a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是() A.a>4 B.a≥4 C.a<l D.a≥1 4. OAB,点P在边AB上,AB=3AP,设OA=a,OB=b,则OP() A+6 3 C. a+6 3 D. 2a-6 33 5。为了得到函数)=加2x的图象,只斋将函数y=5m2x-君)的图象《) A.向左平移元个单位 B.向右平移文个单位 12 12 C.向左平移”个单位 D.向右平移”个单位 6 6 6.若a>0>b,且a-b=2,则1的最小值为() a+l b 4 B. C.3 D.4 3 7.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+m(meR).则f(2027)的值 为() A.-1 B.0 C.1 D.3 8,若强数/(=2osor+ (o>0)在(0, )内恰好存在4个x,使得f(x)=1,则0的取值范围为 () A(层8 B. 313 26 二、多选题 9.已知函数f(,=Asin(@r+p)(A>0, >0,lpk)的部分图象如图所示,下列说法正确的是() 试卷第1页(共3页) 3 12 -2 A.0=2 数y=f儿-为偶函数 B. C.函数y=f(x)的图象关于直线x= 5 对称 1 D.函数y=f(在312】 上的最小值为-√ 10.下列选项中,正确的是() 1+x与y=1og,(1+x)-log,(1-x)是同一个函数 A.y=1og21-x B.函数f(x)=a-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,-2) C.若a>b,则a>√b D.若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x-1<x<3},则a+b=1 11.已知函数f(x)的定义域为(0,+o),f(x)+fy)=f(xy)+1,当x>1时,f(x)>1,则() A.f()=1 B.f(f(2)<1 C.f(x)是增函数 D.当0<x<1时,f(x)<1 三、填空题 2i 12.已知z=1,则z=一 13.若函数f(x)=x2++4有零点,但不能用二分法求出该零点,则a的值为 14.已知函数f(x)=e-anx在(1,2)上存在减区间,则实数a的取值范围为一 四、解答题 15.己知函数fm)=2 sin.cos.+co2r+爱 (1)求f(x)的最小正周期: 试卷第2页(共3页) (2)求f(x)的单调递增区间. 16.记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知acos C+ccos A:=2 bcos B. (1)求角B的大小: (2)若b=4, ABC的面积为4V3,求 ABC的周长。 17.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90 ,AD=2BC,AF=2BE. B (I)求证:C,D,E,F四点共面: (2)设AB=2,BC=BE=1,求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值. 18.已知等差数列{an}前n项和为Sn,且S,=-27,So=-40. (1)求数列{an}的通项公式an: (2)设bn=an+2”,记数列{bn}的前n项和为Bn,求Bn: 1 (3)设数列 的前n项和为Tn,求Tn. an) 19.己知函数f(x)=ae-lnx+lna. (1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(1,f(I)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围. 试卷第3页(共3页) 参考答案 口互薄 动弱 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C A B C A ACD AD 题号 11 答案 ACD 1.D 【详解】由A={2,3,5,7},B={1,2,3,4},得AnB={2,3}, 又U={1,2,3,4,5,6,7},所以C(A∩B)={1,4,5,6,7 2.B 【详解】因为 =(-1,2),b=((2,m), 若a,b共线,则-1 m-2 2=0,得m=-4, 所以b=V22+m2=V4+16=2V5. 3.D 【分析】根据“充分不必要条件的定义推导 【详解】“充分不必要条件的定义是由结论可以推导出条件,但由条件不能推导出结论, 其中x∈[l,2],x2-a≤0”为真命题是结论,可以推出a≥x2,.a≥4,.a≥1, 其中a≥1是条件,由a≥1不能推出x∈[l,2],x2-a≤0”为真命题, 对于A,B选项,可以推出x∈l,2],x2-a≤0”为真命题,是充分条件; 对于C选项,是既不充分也不必有的条件: 故选:D 4.C 【分析】结合图形,利用向量的四边形法则计算即可 【详解】 B 答案第1页(共10页) 依题意,0F=0i+D-0i+-0i+o5-0号i+05-号a+6 答案:C 5.A 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择, 【详解】因为y=sin2x=si [+ 所以将y=sin (2x-君的图象向左平移晋个单位,可得函数y=S加2x的图象 12 故选:A 6.B 【1中4642。a0e明2 及基本不等式求解即可, 【详解】由a-b=2得,-b=2-a,由a>0>b, 得a+1>0,2-a>0, 则点-6点+aa+04e-品+d】 2*22 等号成立时, 2-a_a+1,即a= b=3 a+12-a 2 故11 4 a+方的最小值为:3 故选:B 7.C 【分析】先利用奇函数性质求出参数m,再推导函数周期,将f(2027)转化为[0,2]区间内的函数值计算即 可 【详解】因为f(x)是定义域包含0的奇函数,故f(0)=0,即f(0)=m=0, 由fx+2)=-f(x),可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数, 因为2027=4 506+3,所以f(2027)=f(3), 又fx+2)=-f),令x=1得f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(1-2)=1, 所以f(2027=1. 8.A 答案第2页(共10页) 【分析】将问题转化为y=2cos1在 m+上有4个1满见e0s4-,结合余弦函数的图象与性损求 6 6 解即可. 【详解】设1=or+名当xe(0列时,1=ox+e(行om 6(6,0m+ 61 原函数在(0, )内恰好存在4个x, 使得/()=1则可以化为y=2cos1在匹 6 上有4个1满足eos= 结合余滋离改图象当>爱,这4个供次为号子智智 散只脂飞m+石,间时第5个17m+由此解得<0sB 3 3 2 。,故选A 9.ACD 【分析】选项A,由函数图象的顶点坐标求出A,再由周期求出o即可判断;选项B,由五点法求出P, 进而得出)的解析式,再求出y=fx-君)即可刿断:选吸心,根搭正弦函数的性质即可判断:选项D, =f在[哥单调,求出最小值即可 【详解】白医数的闲空可得《-2,山好-号吾-子部得0=2,从百A确, 再根据五点法可得2 正+p=亚+2km,k∈Z, 12 2 又因为水受解得=至 31 从而f)-2sn(2x+引所以y-fx-=2sn2x, 即函数)=:一君)为奇酒数,从而B错误: 当x=时,2x+所以 5 3 =-2是最值,所以C正确: 3 为x哥时2+[引 332 因为引[引 所以y=f(x)单调递增, 所以当x=时f()=写=5,从而D正确 故选:ACD 10.AD 【详解]送项A:y=e的定义拔由任>0解得-<x<1: 1-x y=log2(1+x)-log2(1-x)的定义域由1+x>0且1-x>0解得-1<x<1.两函数定义域相同: 且当-1<x<1时,1+x>0,1-x>0,由对数运算法则 答案第3页(共10页) 3,1+x=1og,((1+x)-log,(1-x 1og21一x 对应关系也相同,因此二者是同一个函数 选项B:指数函数y=a的图象恒过定点(0,1) 对f(x)=a-2,令x-1=0,即x=1,则 f(1=a -2=1-2=-1 所以f(x)的图象恒过定点(1,-1),而不是(1,-2) 选项C:命题缺少“a、b均非负”这一前提条件。反例:取a=1,b=-1,则a>b,但√b=V-1在实 数范围内无意义,故√a>√b不成立. 选项D:不等式m2+bx+3>0的解集为{x-1<x<3}, 说明二次函数y=ax2+bx+3的图象开口向下, 且-1、3是方程ax2+bx+3=0的两个根. 由韦达定理:两根之和 -1+3=2=-b a 得b=-2a;两根之积 ()x3=-3=3 得a=-1.于是b=-2 (-1)=2, 所以a+b=-1+2=1 综上,正确答案为A、D. 11.ACD 【分析】对于A、B:根据题意直接赋值运算求解:对于C:根据题意结合单调性的定义分析证明:对于 D:根据题意结合函数单调性分析运算 【详解】对于A,令x=y=1,可得f()+f)=f()+1,解得f()=1,故A正确: 对于B,当x>1时,f(x)>1,则f(2)>1, 所以f(f(2)>1,故B错误: 对于e令=0.y0,可得+任}/l,)-=1-任 答案第4页(共10页) 设:>x>0,则点>1,可得 <0,即f(x)<f(2), 故函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,故C正确: 对于D,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增, 故当0<x<1时,f(x)<f(1)=1,故D正确, 12.-1-i 【分析】根据复数的除法求出z,再求共轭复数即可. 2i 【详解】因为z= 1-i 2i 所以z= 2i1+i)=2i-2-1+i, 1-i(1-i)1+i)2 所以2=-1-i, 故答案为:-1-i. 13. 4 【分析】分析可知 =0,即可求得实数a的值. 【详解】由题意知4=a2-16=0,解得a= 4. 故答案为: 4。 14.(e,+oo) 【分析】依题意将函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式能成立问题,通过参变分离,构造 函数g(x)=xe,x∈(L,2),求其值域即得参数范围, 【详解】由f()=e-alnx求导得f'(x)=e_e, 因函数f(x)=e-alnx在(1,2)上存在减区间,则f(x)=e-a<0在(1,2)上有解区间,即a>xe在(,2)上 能成立 设g(x)=xe,x∈(L,2),则g'(x)=(x+1)e>0,则函数g(x)在(1,2)上单调递增, 故g()<g(x)<g(2),即g(x)e(e,2e2),故可得a>e, 即实数a的取值范围为(e,+oo). 15.(1) 答案第5页(共10页) 【详解】(1)f(x)=2 sin xcosx+cos2x+元=sin2x+cos2xcos亚-sin2xsin 6 6 sin 2x+3 cos2x=sin(2x+爱, 故的的最小正周期T=2红=元: 2 (2i2a受32x+肾s2版+号keZ,期得a-设sx≤a+晋ke. 12 改纠=m2x+写到的卓调速踏区间为[红受如+引ke 6.0片 (2)12 【详解】(1)由题意得acos C+ccosA=2 bcos B, 由正弦定理得sin AcosC+sin Ccos 4=2 sin Bcos B, 由两角和的正弦公式得sin(A+C)=2 sin B cos B, 可得sin( -B)=2 sin Bcos B,即sinB=2 sin Bcos B, 在 ABC中,可得sinB≠0,得到cosB=, 又因为B∈(O,),所以B=元 3 13 (2)由三角形面积公式得S.微=2 2ac=45, 解得ac=16,由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-16=16, 化简得a2+c2=32,而(a+c)=a2+c2+2ac=64,a+c=8, 故 ABC的周长为a+b+c=12, 17.(I)由平面ABEF⊥平面ABCD,AF⊥AB,得AF⊥平面ABCD,以A为坐标原点,建立如图所示 的直角坐标系A-xz: D B 设AB=a,BC=b,BE=c, 则B(a,0,0),C(a,b,0),E(a,0,c),D(0,2b,0),F(0,0,2c), 答案第6页(共10页) EC=(0,b,-c),FD=(0,2b,-2c) 故EC=FD,EC11FD, ∴.C,D,E,F共面. Q55 5 【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xz,设AB=a,BC=b,BE=c,通过向量法 可证得ECI/FD,即C,D,F,E共面; (2)分别求出平面ADE与平面CDE的法向量,用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】(1)略 (2)设AB=2,BC=BE=1,故B(2,0,0),C(2,1,0),E(2,0,1D,D(0,2,0), 设平面ADE的法向量为m=(x,,Z), 由AE=(2,0,1),AD=(0,2,0),CE=(0,-2,2) 2y=0,取=1,可得名=-2: 2x1+Z1=0 得 .m=(1,0,-2) 设平面CDE的法向量为n=(x2,y2,2), 由CD=(-2,1,0),CE=(0-1,) -5+名,=0,取6=1,所以5=2马=2, 得 -2x2+y2=0 .n=L,2,2), 设平面ADE与平面CDE夹角为O ∴.cos0=cos(m,n= m列_1-4_5 mnl5.351 即平面ADE与平面CDE夹角的余弦值V5 18.(1)an=7-2n (2)Bn=-n2+6n+2-2 (6)T.=55-2m n 答案第7页(共10页) 【详解】(1)设{a}公差为d,由S,=-27,So=-40得, %+2=-27 ,解得 4=5 +10x9d=-40 1d=-21 10a+2 ∴.an=5-2(n-)=7-2n: (2)由b,=an+2"得bn=7-2n+2”, 反=8+20-22n*5+nn-》2+2m-2=-+6m+2-2: 1-2 2 1-1 x-Gr日》+sn7-sn6 19.22)几+o) 【分析】(1)利用导数的几何意义求出在点(山,f()切线方程,即可得到坐标轴交点坐标,最后根据三角形 面积公式得结果; (2)方法一:利用导数研究函数f(x)的单调性,当1时,由'()=0得f(x)m=f(0)=1,符合题意; 当心1时,可证f白f0<0,从而f(x)存在零点,>0,使得f)=c1-=0,得到f,利 Xo 用零点的条件,结合指数对数的运算化简后,利用基本不等式可以证得f(x)≥1恒成立:当0< <1时,研 究f().即可得到不符合题意综合可得 的取值范围。 【详解】(1)f=d-nx+l,f到=e-=f0=e-l .∵f(0①)=e+1,.切点坐标为(1,1+e)。 ∴.函数f(x)在点(1f1)处的切线方程为y-e-1=(e-1)x-1),即y=(e-1)x+2, 切线与华标轴交点华标分别为(0,2(品0叭。 六所求三角形面积为x24。子十,2 1 e-1'e-1 (2)[方法一]:通性通法 .f(x)=ae-x+lnaf(x)=ae-I '且a>0. 设g6)-,则g闭=ae+子>0 ∴.g(w)在(0,+o)上单调递增,即f'(x)在(0,+o)上单调递增, 当a=1时,f"0)=0,∴.f(x)nn=f()=l,:f(x)≥1成立. 答案第8页(共10页) 当a>1时,<1,e<f哈f0=ae2-a-)<0. :存在唯一>0,使得f)=ae*1-=0,且当x∈0,)时3<0,当xG,时f>0, :.de=1,nat-1=-x Xo 因此f(x)mim=f(xo)=ae-nx。+lna =L+Ina+x-1+Inaz2Ina-1+2 1 x=2lna+l>l, Xo xo :f(x)>1,:f(x)≥1恒成立: 当0<a<1时,f()=a+na<a<l,.f()<l,f(x)≥1不是恒成立. 综上所述,实数a的取值范围是[1,+o). [方法二]【最优解】:同构 由f(x)≥l得ae-lnx+lna≥l,即ena++lna+x-l≥lnx+x,而lnx+x=enx+lnx,所以 ematx-1+Ina+x-12ex+Inx. 令h(m)=e"+m,则h(m)=e"+l>0,所以h(m)在R上单调递增. 由ena+x+lna+x-l≥ex+lnx,可知h(lna+x-l)≥h(lnx),所以lna+x-I≥lnx,所以lna≥(nx-x+)ma: 令F(=hx-x+1,则F'(因=1-1=-x」 所以当x∈(0,1)时,F(x)>0,F(x)单调递增: 当x∈(1,+o)时,F'(x)<0,F(x)单调递减. 所以[F(x)1max=F(I)=0,则lna≥0,即a≥1. 所以a的取值范围为a≥1. [方法三]:换元同构 由题意知a>0,x>0,令ae=t,所以lna+x-l=lnt,所以lna=lnt-x+l. 于是fx)=ae-lnx+lna=t-lnx+lnt-x+l. 由于f(x)≥l1,t-lnx+lnt-x+1≥1台t+lnt≥x+lnx,而y=x+lnx在xe(0,+oo)时为增函数,故t≥x, 即ae≥x,分离参数后有a≥ e言,所以g田=e-e=e1-刘 令g)=士」 e2r-2= e2x-2 当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 所以当x=1时,8)=言取得最大值为8)=,所以a≥1. [方法四]: 答案第9页(共10页) 因为定义域为(0,+o),且f(x)≥1,所以f(I)≥1,即a+lna≥1. 令Sa)=a+na,则S(a)=1+1>0,所以S(a)在区间(0,+o)内单调递增. a 因为S(I)=1,所以a≥1时,有S(a)≥S(I),即a+lna≥1. 下面证明当a≥1时,f(x)≥21恒成立. 令T(a)=ae-lnx+lna,只需证当a≥l时,T(a≥l恒成立. 因为T'a=e+上>0,所以Ta在区间,+o)内单调递增,则rT(al=T0=e1-lnx. 因此要证明a≥1时,T(a)≥1恒成立,只需证明[T(a)lmm=e-lnx≥l即可. 由e≥x+l,lnx≤x-l,得e≥x,-lnx≥1-x. 上面两个不等式两边相加可得e-nx≥1,故a≥1时,f(x)≥1恒成立. 当0<a<1时,因为f)=a+na<1,显然不满足f(x)≥1恒成立. 所以a的取值范围为a≥1. 【整体点评】(2)方法一:利用导数判断函数f(x)的单调性,求出其最小值,由fm≥0即可求出,解法 虽稍麻烦,但是此类题,也是本题的通性通法: 方法二:利用同构思想将原不等式化成ena++lna+x-I≥ex+nx,再根据函数h(m)=e"+m的单调性 以及分离参数法即可求出,是本题的最优解: 方法三:通过先换元,令ae=t,再同构,可将原不等式化成t+nt≥x+lnx,再根据函数y=x+lnx的 单调性以及分离参数法求出: 方法四:由特殊到一般,利用f()之1可得a的取值范围,再进行充分性证明即可. 答案第10页(共10页)