15.3.2等边三角形(第一课时 等边三角形的性质与判定)（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

15.3.2等边三角形 (第一课时 等边三角形的性质与判定) 第十五章 轴对称 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1. 理解等边三角形的定义；掌握等边三角形的性质；并能用符号语言规范表述。 2. 掌握等边三角形的三种判定方法，能正确、完整地写出证明过程。 3. 能运用等边三角形的性质与判定进行角的计算、线段相等的证明，并能结合全等三角形解决简单的综合问题。 经历“观察猜想—类比推理—演绎证明—归纳概括—应用迁移”的学习过程：通过把等边三角形与等腰三角形的定义、性质、判定逐一对比，体会“特殊与一般”的关系和类比思想；在探究判定与性质的互逆关系中，发展几何直观、合情推理与演绎推理能力 在合作探究与上台展示中感受数学探究的乐趣，体会等边三角形“对称、均衡”的结构之美与数学语言的简洁严谨之美；养成“言之有据、步步有据”的理性精神和敢于质疑、乐于交流的合作态度。 教学重难点 重点 难点 等边三角形的性质（三个角都等于60°、每条边上的“三线合一”、三条对称轴）与三种判定方法，以及它们在角的计算、线段相等证明中的初步应用；能规范、有条理地书写几何证明过程。 1. 性质与判定的区别与灵活选用：能从“已知什么、要证什么”出发，判断该用性质还是判定，避免混用。 2. “有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定中前提条件的把握（顶角或底角为60°均可），以及“有一个角是60°的三角形”不是判定的辨析。 3. 在组合图形中挖掘隐含条件（平行线、公共边、共顶点且夹角为60°），通过构造全等三角形或等边三角形完成证明，即辅助线的添加与解题思路的形成。 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 导入新课 图形 定义 性质 判定 两腰相等 三边相等 等边对等角 ①两边相等 ②等角对等边 轴对称图形，一条对称轴 ？ 新知探究 底边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 新知探究 猜想： 性质:等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 已知：是等边三角形. 求证：. 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 探究一、性质 新知探究 等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于. 符号语言 ∵是等边三角形， ∴ 探究一、性质 新知探究 A B C A B C 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 探究一、性质 新知探究 探究一、性质 1.如图，和都是等边三角形，已知的周长为，,则的周长是_______. 2.在等边中，平分，，则的度数是____. 3.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是_____. 新知探究 猜想： 判定:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：在中，. 求证：是等边三角形. 证明：∵，， ∴，． ∴． ∴△ABC是等边三角形． 探究二、判定 新知探究 等边三角形的判定1: 三个角都相等的三角形是等边三角形. 符号语言 ∵， ∴是等边三角形 探究二、判定 已知：在中，，. 求证：是等边三角形. 证明：∵， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 新知探究 探究二、判定 等边三角形的判定2: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言 ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形． 新知探究 探究二、判定 新知探究 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不 是 是 是 是 是 （4） （3） 不一定 是 探究二、判定 图形 定义 性质 判定 两腰相等 三边相等 等边对等角 ①两边相等 ②等角对等边 轴对称图形，一条对称轴 新知探究 轴对称图形，三条对称轴 每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 三个角相等，分别为 ①三边都相等 ②三个角都相等 ③有一个角是60°的等腰三角形 底边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 典例分析 例1.如图，是等边三角形，平分，延长到，使得．求证：． 证明：∵是等边三角形，角平分线， ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴（等角对等边）． 典例分析 例2.如图，点，分别在等边三角形的，边上，且，交于点. (1)求证：； 证明(1)：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ∴(). ∴. 典例分析 例2.如图，点，分别在等边三角形的，边上，且，交于点. (2)求的度数． 解(2)：∵， ∴. ∵， ∴ 规律与方法： 等边三角形是个非常特殊的轴对称图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边、角的特点又为证明线段相等、角相等提供了便利，要善于挖掘等边三角形图形中的隐含条件 例3.如图，在等边三角形中，，求证：是等边三角形. 证明：∵是等边三角形， ∴ ∵, ∴, . ∴. ∴是等边三角形. 典例分析 典例分析 例4.如图，在等边的三边上，分别取点，，，使，求证：为等边三角形． 证明：∵为等边三角形， ∴， . ∵， ∴. ∴. ∴. ∴为等边三角形. 变式训练 1.如图，为等边三角形内一点，, ，∠DBP ＝∠DBC.求的度数． 解：由题意，得，连接 在和中， ∴≌().∴. 在和中， ∴≌().∴ ∴°. 变式训练 2.等边中,点在内,点在外,且，，问是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：为等边三角形． 证明如下：∵为等边三角形， ∴. 在和中， ∴≌()， ∴，. ∵， ∴， ∴是等边三角形． 3.如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点，.求证： (1)是等边三角形； 证明：(1)∵，， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴是等边三角形． 变式训练 (2). 解(2)∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴. 变式训练 知 识 梳 理 课堂小结 等边三角形 定义 判定 三边都相等 三边都相等 三个角相等，分别为 三个角都相等 每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 轴对称图形，三条对称轴 有一个角是60°的等腰三角形 性质 课堂练习 1.如图在等边三角形中，点是边的中点，则=___． 2.如图，直线∥，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为___________ 3.如图，在中，，平分，//，，，则的长为_______ 课堂练习 4.如图，在中，，，以为边在外作等边，是的中点，连接并延长交于．求证：≌． 证明：∵是等边三角形，∴， ∵，， ∴， ∴． ∵为的中点，∴． 在和中， ∴≌（）． 变式训练 5.如图，为等边三角形，，，求证：是等边三角形 证明：∵为等边三角形， ∴，. 在和中， ∴≌(). ∴，. ∵， ∴ ∴为等边三角形． 布置作业 必做：教材P82练习1、2； 谢谢聆听 $