拓展专题03 直线与圆中12大最值或范围问题（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

拓展专题03直线与圆中的12大最值或范围问题 题型1 倾斜角的最值与范围 题型7 圆的弦长最值与范围（重点） 题型2 斜率的最值与范围（常考点） 题型8 切线长最值与范围（难点） 题型3 斜率型最值与范围（重点） 题型9 角度最值与范围（常考点） 题型4 两点间距离型最值与范围（难点） 题型10 周长最值与范围 题型5 距离之和或之差的最值与范围（重难点） 题型 11 面积最值与范围（重点） 题型6 点到直线间距离型最值与范围 题型12 参数最值与范围（常考点） 题型一 倾斜角的最值与范围(共3小题) 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·广西·期中）已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，直线：上存在点满足，,则的倾斜角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型二 斜率的最值与范围（共5小题） 4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知点，在直线：的两侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·安徽·阶段检测）已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三 斜率型最值与范围(共4小题) 9．（26-27高二上·辽宁阜新·阶段检测）已知点在线段上，则的范围是（  ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 题型四 两点间距离型最值与范围(共4小题) 14．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 题型五 距离之和或之差的的最值与范围(共3小题) 17．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 . 题型六 点到直线间距离型最值与范围（共4小题） 20．（2026·江西南昌·期中）已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 21．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是 . 23．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 题型七 圆的弦长最值与范围(共3小题) 24．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 26．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 题型八 切线长最值与范围（共3小题） 27．已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型九 角度最值与范围（共3小题） 30．已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为90°，则点A的坐标是（    ） A． B．或 C． D． 31．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 题型十 周长最值与范围（共4小题） 33．(多选)（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知圆：和：，直线：与两圆相切，则（    ） A．的取值有2个 B．两圆的公共弦方程为 C．存在直线与圆和圆都有交点 D．若圆与圆和相切，且，，三点共线，则圆周长的最大值为 34．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆和圆的交点为，，则下列结论中正确的是（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段的中垂线方程为 D．若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为 35．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为__________. 36．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的三个顶点分别是，， (1)求边AC的高BH所在直线方程； (2)已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值. 题型十一 面积最值与范围（共5小题） 37．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 38．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 40．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 41．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 题型十二 参数最值与范围（共4小题） 42．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 43．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为________． 44．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 45．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆上的动点，求的取值范围； (3)点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题03直线与圆中的12大最值或范围问题 题型1 倾斜角的最值与范围 题型7 圆的弦长最值与范围（重点） 题型2 斜率的最值与范围（常考点） 题型8 切线长最值与范围（难点） 题型3 斜率型最值与范围（重点） 题型9 角度最值与范围（常考点） 题型4 两点间距离型最值与范围（难点） 题型10 周长最值与范围 题型5 距离之和或之差的最值与范围（重难点） 题型 11 面积最值与范围（重点） 题型6 点到直线间距离型最值与范围 题型12 参数最值与范围（常考点） 题型一 倾斜角的最值与范围(共3小题) 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由直线的斜率与倾斜角的关系，得.因为，即， 又，所以的取值范围是， 故选：C. 2．（26-27高二上·广西·期中）已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形再求出斜率范围即可. 【详解】，即，则直线经过定点， 作出图形如下：则，， 若直线与线段相交，则其斜率的范围为， 而，所以的取值范围为. 3．（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，直线：上存在点满足，,则的倾斜角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定直线恒过的定点，根据向量共线条件可知需直线与线段有交点，计算定点与、连线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】将直线整理为， 令，解得，即直线恒过定点， 由可知点在线段上，因此只需直线与线段有交点即可满足条件， 直线MA的斜率，对应倾斜角为， 直线MB的斜率，对应倾斜角为， 当时，，直线与线段有交点； 当时，直线方程为，与线段的方程联立， 得交点，在线段上，满足条件， 当时，，直线与线段有交点， 综上，直线的倾斜角取值范围是. 题型二 斜率的最值与范围（共5小题） 4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知点，在直线：的两侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的方程可化为，得直线过定点， ，， 又因为点在直线的两侧， 即直线与线段相交(除两点)，所以． 5．（26-27高二上·安徽·阶段检测）已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 已知点，，设， 则，， 因为直线与线段相交，故或. 6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 7．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案. 【详解】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C 8．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与三角形恰有一个交点时，该直线是三角形的支撑线，且交点只能是顶点，因此必经过的一个顶点和的一个顶点．枚举两个三角形顶点之间连线的斜率，先排除会穿过三角形内部的直线，再比较可行斜率即可． 【详解】若直线与一个三角形恰有一个交点，则交点只能是顶点． 若交点在某条边的内部而直线不与该边重合，直线会穿过三角形内部，与三角形的交集是一条线段； 若与该边重合，则交点也不止一个． 因此必经过的一个顶点和的一个顶点． 九条顶点连线的斜率分别为： 从出发，，，； 从出发，，，； 从出发，，，． 其中最小的候选斜率为，对应直线． 直线的方程为． 代入、，分别得到、，异号，所以点位于直线的两侧，直线穿过的内部，不符合题意． 再看斜率，对应直线，其方程为． 代入，所得值依次为，均为正数． 因此与直线只有交点，与直线只有交点，故斜率可以取得． 由于候选斜率中比更小的只有，且已被排除，所以直线的斜率最小值为． 题型三 斜率型最值与范围(共4小题) 9．（26-27高二上·辽宁阜新·阶段检测）已知点在线段上，则的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由转化为求定点与线段上动点斜率问题，利用图象求解. 【详解】可看作线段上的点与定点连线的斜率， 因为，如图， 由图象知，， 即的范围是. 10．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可. 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 11．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C    12．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 13．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 题型四 两点间距离型最值与范围(共4小题) 14．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 15．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值． 【详解】直线恒过定点， 直线化简为，恒过点， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则， 当时，，，，则， 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且， 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为，圆的半径，    又转化为，其表示圆上的点到距离的平方， 设， 则，所以的最大值为64． 故选：D. 题型五 距离之和或之差的的最值与范围(共3小题) 17．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可将函数看作轴上一点到点与点的距离之和，数形结合可得最小值. 【详解】因为， 则可看作轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当，，三点共线时，取得最小值， 即. 18．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 19．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 . 【答案】11 【分析】先设C的对称点根据斜率关系及中点在对称直线上求出点,再根据数形结合得出距离和最小最后应用两点间距离公式计算即可. 【详解】设圆心关于对称的点为， 则解得 即，连接，， 所以， 所以当三点共线时距离和最小为， 故的最小值为. 故答案为：11. 题型六 点到直线间距离型最值与范围（共4小题） 20．（2026·江西南昌·期中）已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由题设在以为圆心，为半径的圆上， 又的直线的距离， 则，当且仅当时取等号， 所以点P到直线的距离最大值为5. 故选：D 21．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 22．动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是 . 【答案】2 【详解】由题设，故圆心且半径为， 所以动点到轴的最近距离是. 故答案为：2 23．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 题型七 圆的弦长最值与范围(共3小题) 24．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法求弦长. 【详解】如图：，所以圆心，半径    由图可知，当弦时，弦长最短. 此时，中，，， 所以：. 所以弦长. 故选：D 25．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 26．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 题型八 切线长最值与范围（共3小题） 27．已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 28．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 29．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 题型九 角度最值与范围（共3小题） 30．已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为90°，则点A的坐标是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据点A在直线l：上，设点A坐标为，然后由AP､AQ均为圆切线时求解. 【详解】设点A坐标为， 当AP､AQ均为圆切线时，此时四边形PAQO为正方形， 则，即， 解得或， 所以或. 故选：B 31．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故选：D．    32．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据题意求出点的轨迹，然后再用点的坐标表示，然后建立方程组，求解即可. 【详解】设，， 所以有， 因为点在圆上， 所以有， 显然，得， 故联立，得， 由题可知方程有解， 得，解得. 因为，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求点轨迹时用相关点法；可以数形结合易知为直线斜率. 题型十 周长最值与范围（共4小题） 33．(多选)（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知圆：和：，直线：与两圆相切，则（    ） A．的取值有2个 B．两圆的公共弦方程为 C．存在直线与圆和圆都有交点 D．若圆与圆和相切，且，，三点共线，则圆周长的最大值为 【答案】ACD 【分析】A：利用圆心到切线距离等于半径列等式，解绝对值方程求斜率的个数，注意不含竖直线；B：公共弦仅两圆相交时存在，先判断两圆位置；C：取满足相切条件的，验证直线到两圆心距离是否小于半径；D：共线，设动圆半径，利用线段长度关系求最大值，再算周长. 【详解】圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 圆心距，，，两圆外离. 直线与两圆都相切，则圆心到直线距离等于半径： ，，可得. A：由，分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得. 将代入得，两边平方化简得. 直线形式代表直线斜率存在；竖直公切线没有斜率，不属于该形式. 因此满足条件的共有2个，A正确； B：两圆公共弦存在的前提是两圆相交. 本题两圆外离，不存在公共弦，B错误； C：当时，代入距离公式，解得或. 取，，则直线. 到直线的距离为，直线与有交点； 到直线的距离为，直线与有交点. 故存在满足条件的直线，C正确； D：圆与圆和相切，且，，三点共线. 设圆半径为，圆周长最大等价于半径最大. 当圆同时内切包含圆和，圆心在线段上，取得最大值； ，，，. 解得.圆周长，D 正确. 34．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆和圆的交点为，，则下列结论中正确的是（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段的中垂线方程为 D．若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为 【答案】AC 【分析】根据一般式得到标准式，进而得两个圆的圆心和半径，即可根据方程相减求解A，根据点到直线距离公式，以及弦长公式即可求解B，由的方程即可求解C，求解特殊位置下的周长，即可判定D. 【详解】根据题意，圆，变形可得，可得圆心，半径； 圆，变形可得，可得圆心，半径； 由于，故两圆相交， 依次分析选项： 对于A，联立两个圆的方程，有，相减可得：， 因此公共弦所在的直线方程为，A正确； 对于B，由的结论，公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，于是公共弦长，B错误； 对于C，线段的中垂线即所在的直线， 又由，， 则所在的直线为，即， 故线段的中垂线方程为，C正确； 对于D，当时，即、以及的中点三点共线， 则有， 此时三角形周长， 故三角形周长的最大值一定不是，D错误． 故选：AC． 35．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据圆的对称性，不妨取，确定是圆的直径，得到，再利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】如图所示：根据圆的对称性，不妨取，圆心，半径， 则，则过点，即是圆的直径，， ， 则， 当且仅当时等号成立，周长的最大值为. 36．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的三个顶点分别是，， (1)求边AC的高BH所在直线方程； (2)已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值. 【答案】(1) (2)当时，的周长最小，最小值为. 【分析】（1）求出边AC的高BH的斜率，再由点斜式方程即可得出答案. （2）先求出直线CM的方程，如图，作出关于直线CM的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线CM于，交轴于，则的周长的最小值等于，最后求出直线的方程，即可求出点Q. 【详解】（1）因为，，所以， 所以边AC的高BH的斜率为，又因为直线BH过点， 所以BH所在直线方程为：， 化简可得：. 所以BH所在直线方程为. （2）因为M为AB中点，所以，， 直线CM的方程为：，化简可得：， 如图，作出关于直线的对称点， 则，解得：，所以， 作出关于轴的对称点， 连结，交直线CM于，交轴于， ，， 三角形的周长为线段的长， 由两点间线段最短得此时的周长最小， 的周长最小时，最小值为：， 此时直线的斜率为， 直线的方程为：，化简可得：， 令，所以，所以， 令，所以,所以, 所以当时，的周长最小，最小值为. 题型十一 面积最值与范围（共5小题） 37．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 38．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 39．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 40．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式分析可知当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积， 当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为， 则，解得或. 41．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 题型十二 参数最值与范围（共4小题） 42．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案． 【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若，直线方程可化为 ，此时若直线不经过第二象限，则且，解得， 综上满足条件的实数的范围是. 故选：D 43．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，结合图形转化为，利用两点间距离公式，求得点的轨迹方程，结合直线与圆有交点，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，可得， 由圆表示以为圆心，半径为的圆， 圆表示以为圆心，半径为的圆， 可得且， 所以，可得， 不妨设，因为，可得 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又因为在直线上，所以圆有交点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 44．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 45．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆上的动点，求的取值范围； (3)点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由圆上两点坐标，以及圆心在弦的中垂线上，可确定圆心所在直线方程，再通过联立方程组即可求出圆心，然后通过两点间的距离公式求出半径，即可求解； （2）设，可理解为直线，由于点为圆上的动点，即可转化为该直线与圆的位置关系进行处理； （3）设点，点，通过表示出点坐标，再根据，为圆上不同的两点，构造出方程组，由方程的几何意义出发，转化为圆与圆的位置关系，从而再转化不等式恒成立问题，即可求解． 【详解】（1）已知圆经过点，，则圆心在线段的中垂线上． 又有圆心在直线上，将代入，可得， 则圆心，半径， 故圆的方程为． （2）设，则，即这是斜率为，截距为的直线． 已知点为圆上的动点，则该直线与圆有公共点． 圆心到直线的距离， 化简得，即，则， 故的取值范围为． （3）已知点，点，则，直线的方程为． 设点，则． 设点，且，则． 又有，都在半径为的圆上， 所以，即． 因为关于，的方程组有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以． 又因为，所以对成立． 而在上的值域为， 所以且，即． 当时，线段与圆切于点，不满足题意，所以， 故圆的半径的取值范围为． 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $