拓展专题08 解析几何中切线、切点弦问题的十二大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

拓展专题07 解析几何中的切线、切点弦问题的十二大题型 题型1 圆的切线与切点弦问题 （重点） 题型6 切线、切点弦与离心率的综合（常考） 题型2 椭圆的切线与切点弦问题（重点） 题型7 切线、切点弦过定点问题(重点) 题型3 双曲线的切线与切点弦问题（重点） 题型8 与切线、切点弦有关的面积问题（常考） 题型4 抛物线的切线与切点弦问题（重点） 题型9 与切线、切点弦有关的定值问题（难点） 题型5 两曲线的公切线问题（常考） 题型10 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（难点） 【重要方法与结论】 1．二次曲线（圆、圆锥曲线）的切线和切点弦 (1)切线方程： 过二次曲线（圆、圆锥曲线）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为 . (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： (1)过圆 . ⑵椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为. ⑶更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原二次曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 切线方程： (1)过圆上任意一点的切线方程为. (2)过椭圆的切线方程为：； (3) 过双曲线的切线方程为：； (4)过. 切点弦方程 (1) 过圆外一点的切点弦方程为 . (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3) 过双曲线的切点弦方程为：； (4)过. 说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，). 题型一 圆的切线与切点弦问题（共4小题） 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 2．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或. 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即， 解得，此时切线方程为. 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】利用切线垂直半径及对称性，结合图形确定切点弦的方向和位置；也可把两个切点看成原圆与以为直径的圆的公共点，通过两圆方程作差求公共弦所在直线． 【详解】方法一：如图，连接，，，设． 因为，分别为圆的切线，所以，． 又，，故，关于直线对称，从而． 在直角三角形中，，所以． 于是即 因为，，所以平行于轴，且． 又，故直线的方程为． 方法二：圆心为．由于，所以，也在以为直径的圆上． 该圆的方程为，圆 两式相减，得，即直线的方程为． 4．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 题型二 椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 5．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 6．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【分析】设，根据切线方程求出，利用求出即可. 【详解】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 7．（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 8．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程； (3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意得，因为，，所以， 故椭圆C的标准方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，易得与椭圆C相切； 当直线l的斜率存在时，设直线l：，即， 联立，可得， 由可得，， 即，解得. 此时直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. （3）设切点分别为A，B， 当直线PA斜率不存在时，此时直线的斜率为； 当直线PA斜率为0时，此时直线的斜率不存在，易得； 当直线PA斜率存在且不为0时，此时，， 设直线PA方程为， 联立，可得， 由于直线PA与椭圆C相切，所以， 化简得，即， 由于直线PB斜率为， 所以方程的两个根分别为k和， 所以， 化简得， 此时点P的轨迹方程为， 将代入中成立， 综上所述，点P的轨迹方程为. 题型三 双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 9．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方程与双曲线的方程联立判断过点作双曲线的切线情况即可. 【详解】对于A：设过点切线为：代入化简整理有：，，因为渐近线为：，故A错误； 对于B:设斜率为，则过点的直线方程为,联立得， 则由， 所以过点有两条切线，故B正确； 对于C:因为双曲线得两条渐近线为：，又因为在直线上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误； 对于D:因为在双曲线上，所以过点的切线有且只有一条，故D错误. 故选：B.    10．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程______________． 【答案】 【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去可得：， 整理可得：， 因为与双曲线相切， 所以， ，， 即， ， ， 代入可得：，即， 所以， ，即， 同理，切线的方程为， 在切线上，所以有， 满足直线方程，而两点唯一确定一条直线， 直线的方程为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是______ 【答案】（或，，，只需写出一个答案即可） 【分析】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意的直线. 【详解】显然直线存在斜率，设直线：， 联立方程组 , 得 因为直线与曲线相切，所以， 即. 因为直线与单位圆相切，所以 联立方程组 解得， 故直线的方程可能是，，， 故答案为： 12．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． (1)证明：直线l的方程为； (2)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由题意知，点与直线是双曲线的一对极点和极线， 故直线的方程为，即． (2)由直线，知，又，，则， 故，即，故双曲线的方程为． 假设存在点，使得过点的双曲线的两条切线互相垂直． 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为，， 则切线，． 由点和直线是双曲线的一对极点和极线， 得直线的方程为，即． 又，则． 因为点在直线上，所以， 切点在双曲线上，则， 化简可得， 同理可得， 则与是方程的两个解． 由韦达定理可得，得，故点的轨迹方程为． 又直线， 圆心到直线的距离， 令，则， 由均值不等式，得，因此，即， 故，所以直线与曲线无交点， 故不存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直． 【分析】（1）利用极点极线的对应规则，曲线上点的极线就是该点的切线，代入圆锥曲线一般式可直接写出切线方程； （2）圆锥曲线两条互相垂直切线的交点轨迹为蒙日圆，先求出轨迹方程，再通过直线与曲线的位置关系判断是否存在满足条件的点. 【详解】（1）略 （2）略 题型四 抛物线的切线与切点弦问题（共7小题） 13．（2025·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可. 【详解】由题意直线斜率存在， 可设过点的切线方程为， 与抛物线方程联立可得： ， 所以，解之得，    如图所示，设，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以. 故选：A. 14．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，先求切线的斜率，进而得垂线的斜率，再求垂线的方程，进而得点的坐标，利用两点的距离公式得，解出，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，又，所以切线的斜率为， 所以过点的切线垂线的斜率为， 所以垂线的方程为，令，解得， 所以，所以， 所以，即， 解得，解得， 所以，所以. 15．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，切线方程为，此直线和抛物线联立方程组，得到的一元二次方程，由切线是抛物线的切线，得到，得到，此方程的两个根为和，利用韦达定理得到和，将整理，从而通过计算得到动点的轨迹方程. 【详解】设，切线方程为， 与联立得， 由，整理得，则方程的两个根为和， 则，，由，即， 得，即，所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 16．（25-26高二上·新疆喀什·期末）过点与曲线相切的直线方程为____________． 【答案】 【分析】设切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零求出，得解. 【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为， 联立，消去整理得， ，即，解得， 所以过点的切线方程为，即. 故答案为：. 17．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 【答案】或 【分析】设的方程为，，，利用切线方程联立即可求出，根据弦长公式求、，再根据，将代入即可求出结果. 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾， 所以可设的方程为，、， 联立，化简可得， 方程的判别式，故， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立，化简可得， 由已知方程的判别式， 所以，即，所以， 抛物线在点处的切线方程为， 同理可得，抛物线在点处的切线方程为， 联立，即点. 根据弦长公式可得， 同理可得：， 所以， 又因为，所以解得，所以， 当时，，此时，直线的方程为， 当时，，此时，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 18．（25-26高二下·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】(1) (2) 和 【分析】（1）利用抛物线的定义：平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，可直接求出轨迹方程； （2）过定点与抛物线只有一个公共点的直线，包括抛物线的切线和与抛物线对称轴平行的直线两类，需分情况讨论斜率是否存在. 【详解】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； 【详解】（1）因为点在上，且，由抛物线定义可得， 解得，所以抛物线的方程为． （2）由抛物线，可得，设点，可得， 所以切线方程为，整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 由可得，所以的方程为， 由可得，所以的方程为． 联立和的方程有，解得， 则，因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，得，， 所以点或． 题型05 两曲线的公切线问题(共4小题) 20．（多选）（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 21．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用数形结合的思想，判断圆与椭圆的位置关系，再联立方程组进行运算. 【详解】由题意可得椭圆与圆不可能相离或内含； 当椭圆与圆相切即有如图所示的交点，由图显然可知公切线段长为0； 当椭圆与圆相交有下图所示的公切线，故而存在公切线段长； 设点所在公共切线的方程为，， 联立， ，, 联立， ，， 所以, ，又，， ． 因为，当时，取最大值为1． 综上所述，当时，． 故选：A 22．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 23.（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【答案】或 【详解】由已知，公切线斜率不为0， 设公切线方程为. 联立， 其判别式， 即，① 联立. . 其判别式，② 联立①②，解得， 所以椭圆和抛物线的公切线方程为或. 故答案为：或. 题型六 切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 24．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求双曲线的离心率即找三者之间的关系，题干中已知右支上一点，根据双曲线定义可知；且根据双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线，经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线必过另一个焦点；即双曲线上一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角；所以，点处的切线为，是的角平分线；因此想到构造对称点和中位线，结合已知条件求出离心率． 【详解】设，则； 双曲线在点处的切线的方程为， 设切线与轴的交点， 双曲线右焦点，其中：； ； ； ，所以，， 则，故或（舍去）， 所以切线与的平分线重合． 如图，延长交于点， 则，故，且为的中点， 则．在中，中位线．又， 则，所以离心率． 25．过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为______． 【答案】/ 【分析】设，则可得切线为，从而可求出直线的斜率，再由题意可得，则得，进而可求出双曲线的离心率. 【详解】设，由于双曲线在点处的切线方程为， 故切线的斜率， 因为，则，则， 即双曲线的离心率． 26．（25-26高三上·浙江杭州·期末）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为_______. 【答案】 【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为，将切线方程与双曲线的方程联立，由可得出关于的方程，可知方程有两个不等的实数根，求出的取值范围，即可求得该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意； 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 联立可得， 因为过点能作双曲线的两条切线， 则，可得， 由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根， 所以，，可得， 又因为，即，因此，关于的方程没有的实根， 所以，且，解得，即， 当时，， 当时，， 综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 题型七 切线、切点弦过定点问题（共3小题） 27．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【答案】 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 28．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线， 所以实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以曲线的方程为. （2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为， 由题意知且，由得， 因为与相切， 所以，且，整理得. 此时可得，即. 同理. 由得. 直线的斜率为， 所以的方程为， 令，得， 即经过定点. 29．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆心到直线距离与弦长，利用勾股定理直接计算即可得半径； （2）（i）结合（1）中结论可知，由点与圆的位置关系，利用对称性可求得点的坐标； （ii）由题意知在以为直径的圆上，其方程为，求出直线方程为，即可得直线过定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 题型 八 与切线、切点弦有关的面积问题（共4小题） 30．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】A 【分析】求在点处的切线方程. 设，利用弦长公式可得，根据切线方程求得，分析可知点到直线的距离，即可得面积最大值. 【详解】设在处的切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 则在点处的切线方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，即，可得，， 则，整理可得， 又因为在点，处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 31．（2026高三·全国·专题练习）设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 【答案】 【分析】利用面积求出点D的坐标，由正三角形的性质得，即可利用列方程得关于的一个方程，然后将点D的坐标代入双曲线方程可得关于的另一个方程，两方程联立求解，即可求得双曲线方程. 【详解】 又，所以， 因为是一个正三角形，所以， 双曲线在点处的切线方程为， ，， 将点的坐标代入双曲线方程得， 则有 ，或， 当时，，不符合条件，舍去； 当时，，双曲线的方程为. 32．（2026高三·全国·专题练习）已知曲线：，若直线过与曲线相交于两点，，过，分别作曲线的切线，设两条切线交点为，则三角形面积的最小值为______. 【答案】 【分析】设直线方程，联立曲线，利用韦达定理结合导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程求出点，由弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而由三角形面积公式求出面积，结合函数性质求出面积最小值． 【详解】设过点的直线方程为，联立直线与抛物线的方程得， ， 设抛物线上两点，则， 曲线：，求导得， 则曲线在，处的切线分别为：， 联立解得,即点，也即， 由弦长公式： ， 点到直线的距离：， 三角形的面积： ， 因，则幂函数单调递增， 故当时，取最小值1，此时． 33．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 题型九 与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 34．（24-25高三上·广东揭阳·期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 . 【答案】1 【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点， 当时，过点的切线方程为， 当时，设过点的切线方程为，即， 代入双曲线方程化简为， 则且， 因为，所以，所以， 在点处的切线方程为，当也符合； 且点A，B又在切线l上 ， ， 35．（24-25高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过拋物线焦点的直线l，交于两点，且. (1)求的方程： (2)若在M，N处的切线交于点，设切线GM，GN的斜率分别为. （i）证明：为定值： （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）4 【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点为， 且直线l的斜率可能不存在，但不为0，此时直线l与抛物线必相交， 设， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，且，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）由（1）可知：， 设抛物线在处的切线斜率不为0，设为， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 所以； （ii）由（i）可知：抛物线在处的切线方程为， 则切线， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 且， 所以面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4. 36．（26-27高二上·四川·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆的方程； (2)设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； (3)设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在或或 【分析】（1）圆与圆相减得公共弦方程；是关于直线的对称点，两圆半径相等； （2）设，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使 为定值，则由整理后的方程系数为求解. 【详解】（1）圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得 圆方程为. （2）由相切，知 ，设，则， 故 ， 令，易知在单增，故（当时取等号）， 的取值范围是. （3）由题设，满足方程 ， 若存在，使 为定值， 而， ， 整理得 ， 将 代入，得 ， 整理可得 ， 要使 为定值，则 ， 解得 或 . 综上，存在或，使 为定值，该定值对应为或. 37．（25-26高三下·江西·阶段检测）若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 【答案】(1)； (2) （i）由题意可知直线不与轴重合，设直线， 点，. ， . 又因为，所以， （ii）由题意可知过点的切线和点的切线分别为：，和， 联立方程. ，所以. 直线，直线， ， ，又由（i）可知，所以， 即. 可得为中点，所以，即． 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程组，解出即可； （2）（i）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，得到和积关系式，再代入计算即可； （ii）根据切线方程结论得到两直线方程，联立得到，再计算得，从而有，即得. 【详解】（1）由题意可知在椭圆上，且由，可得， 联立方程，所以椭圆. （2）略 题型十 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 38．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据为直角三角形，进而根据求解的最小值即可求得的最小值. 【详解】圆：，圆心，半径， 是切线，为切点，由切线性质：，为直角三角形， 由勾股定理：，其中， 所以 要最小，即最小，故当时，， 所以，的最小值为. 39．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知圆，圆，为坐标原点． (1)过点作圆的一条切线，求切线长； (2)若圆和圆有两条公切线，求实数的范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据切线长计算公式即可得到答案； （2）转化为两圆相交即可得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题可知，圆心， 过点作圆的切线，则切线长为， 又， 所以切线长为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 圆的半径， 又因为两圆有两条公切线，所以两圆相交， 所以，即， 解得． 40（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 41．（2026高二·全国·专题练习）（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） ； （2） . 【分析】（1）由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. （2）依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案． 【详解】（1）设过作圆的切线，切点为，连接， 因为，根据切线的对称性可知， 在中，则， 可得，即，， 可得，化简得，可得，即， 所以椭圆离心率的取值范围为； （2）由题意可知：，，， 设为椭圆的右焦点， 因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又因为，则，可知为圆的切线， 且，则，可得， 所以实数的最小值为. 42．（26-27高三上·广东江门·开学考试）已知椭圆（）经过点A，离心率为，抛物线的焦点为点F． (1)求椭圆E的方程． (2)设点P是C上的动点，C在点P处的切线l与E交于不同的两点M，N，直线l上一点D满足，直线OD与直线相交于点Q．求证：直线PQ平行于抛物线C的对称轴． (3)若点P位于第一象限．切线l交y轴于点G，记点G到直线PF的距离为，点D到直线PQ的距离为，求的范围． 【答案】(1) (2)设点， 由抛物线C：，得，所以切线的斜率为， 切线的方程为，联立， 消去整理得， 则，故，， 直线OD的方程为， 联立直线OD与直线，得点， 所以直线PQ的方程为， 又因为抛物线的对称轴为轴，故直线PQ平行于抛物线的对称轴， 当时，点,此时抛物线在顶点处的切线的方程为， 代入到，解得，进而， 不妨令，的中点， 此时无法构成直线，不合题意，舍去. (3) 【分析】（1）根据条件建立方程组，求解出，可以求出椭圆的方程. （2）设切点P的坐标，表示切线方程，与椭圆联立，根据韦达定理，表示出点D的坐标，联立直线与直线的方程，求解出点Q的坐标，表示直线PQ的方程，即可得证. （3）根据切线求出点G的坐标，表示出直线PF的方程，利用点到直线的距离公式表示，根据小问2表示，进而表示出，结合小问2求出的取值范围，最终求出的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆经过点A，所以，解得(负值舍)， 所以离心率，解得， 则，故椭圆E的方程为. （2）略 （3）因为点P位于第一象限，所以设，切线的方程为 易得，直线PF的方程为，即 则， 由可知， 所以， 由可知， ， 解得, 又因为，故， 故， 则， 所以的取值范围是. 2 / 24网（北京）股份有限公司zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题07 解析几何中的切线、切点弦问题的十二大题型 题型1 圆的切线与切点弦问题 （重点） 题型6 切线、切点弦与离心率的综合（常考） 题型2 椭圆的切线与切点弦问题（重点） 题型7 切线、切点弦过定点问题(重点) 题型3 双曲线的切线与切点弦问题（重点） 题型8 与切线、切点弦有关的面积问题（常考） 题型4 抛物线的切线与切点弦问题（重点） 题型9 与切线、切点弦有关的定值问题（难点） 题型5 两曲线的公切线问题（常考） 题型10 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（难点） 【重要方法与结论】 1．二次曲线（圆、圆锥曲线）的切线和切点弦 (1)切线方程： 过二次曲线（圆、圆锥曲线）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为 . (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： (1)过圆 . ⑵椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为. ⑶更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原二次曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 切线方程： (1)过圆上任意一点的切线方程为. (2)过椭圆的切线方程为：； (3) 过双曲线的切线方程为：； (4)过. 切点弦方程 (1) 过圆外一点的切点弦方程为 . (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3) 过双曲线的切点弦方程为：； (4)过. 说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，). 题型一 圆的切线与切点弦问题（共4小题） 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 3．（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 4．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 题型二 椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 5．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 7．（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 8．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程； (3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 题型三 双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 9．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 10．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程______________． 11．（25-26高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是______ 12．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． (1)证明：直线l的方程为； (2)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型四 抛物线的切线与切点弦问题（共7小题） 13．（2025·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 14．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________． 16．（25-26高二上·新疆喀什·期末）过点与曲线相切的直线方程为____________． 17．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 18．（25-26高二下·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过上的动点作的切线，与直线交于点，过作的垂线，垂足为.当时，求点的坐标. 题型05 两曲线的公切线问题(共4小题) 20．（多选）（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 22．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 23.（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 题型六 切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 24．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 25．过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为______． 26．（25-26高三上·浙江杭州·期末）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为_______. 题型七 切线、切点弦过定点问题（共3小题） 27．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 28．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 29．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 题型 八 与切线、切点弦有关的面积问题（共4小题） 30．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 31．（2026高三·全国·专题练习）设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 32．（2026高三·全国·专题练习）已知曲线：，若直线过与曲线相交于两点，，过，分别作曲线的切线，设两条切线交点为，则三角形面积的最小值为______. 33．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 题型九 与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 34．（24-25高三上·广东揭阳·期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 . 35．（24-25高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过拋物线焦点的直线l，交于两点，且. (1)求的方程： (2)若在M，N处的切线交于点，设切线GM，GN的斜率分别为. （i）证明：为定值： （ii）求面积的最小值. 36．（26-27高二上·四川·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆的方程； (2)设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； (3)设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 37．（25-26高三下·江西·阶段检测）若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 题型十 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 38．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 39．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知圆，圆，为坐标原点． (1)过点作圆的一条切线，求切线长； (2)若圆和圆有两条公切线，求实数的范围． 40．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 41．（2026高二·全国·专题练习）（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 42．（26-27高三上·广东江门·开学考试）已知椭圆（）经过点A，离心率为，抛物线的焦点为点F． (1)求椭圆E的方程． (2)设点P是C上的动点，C在点P处的切线l与E交于不同的两点M，N，直线l上一点D满足，直线OD与直线相交于点Q．求证：直线PQ平行于抛物线C的对称轴． (3)若点P位于第一象限．切线l交y轴于点G，记点G到直线PF的距离为，点D到直线PQ的距离为，求的范围． 2 / 24网（北京）股份有限公司zxxk.com zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $