专题14 求圆锥曲线方程的七大技巧 （期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题14 求圆锥曲线方程的七大技巧 题型1 基本量与待定系数法（常考点） 题型5 代换法（难点） 题型2 直译法（重点） 题型6 参数法 题型3 定义法（重点） 题型7 交轨法 题型4几何法 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基本量与待定系数法（共5小题） 1，（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【解答过程】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    2，（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    3，（25-26高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【解答过程】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 4，（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解答过程】（1）由离心率，可得，即， 又，可得 椭圆经过点，可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）当直线l斜率不存在时，易知， 此时； 设直线l斜率存在时，方程为，点，如下图： 联立，整理得， 则， 所以， 又点R到直线l的距离为． 所以， 令， 则， 易知，所以； 综上，，的最大值为. 5．设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列． (1)求与的等量关系； (2)设点满足，求的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆定义知，，又， 所以，因为成等差数列，所以，所以， 由已知点的坐标为，其中，设的方程为， 联立，化简得：，方程的判别式， 设，由已知是方程的两个根，所以，因为直线斜率为1，， 所以，故． （2）设的中点为，由(1)知． 由可得,所以，所以，所以 所以，又，从而，， 故椭圆的方程为． 题型二 直译法（共5小题） 1．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 2．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，设，易知，，则，. 易知，当点在轴上方时，即为直线的斜率，即为直线的倾斜角补角的正切， 此时，， 所以， 整理得，即的方程为. 同理可得，当点在轴下方时，的方程为. 当点在轴上时，不满足. 综上，的方程为，即，A正确. 对于B，由选项A可知，点，所以，B正确. 对于C，当点为短轴顶点时，最大，最小， 此时，则，. 在中，. 所以，当点运动时，，C错误. 对于D，由选项A可知，（且），则， 所以， 而且，所以，即，D正确. 3．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，直线，过动点分别作，的垂线，垂足分别为，，记点的轨迹为曲线，若四边形的面积为1，则（     ） A．的方程为 B．四边形的周长可以为 C．设，，在第一象限，则周长的最小值为 D．直线与直线的斜率之积为1 【答案】AC 【详解】选项 A，点到距离，点到距离， 由，四边形是矩形，面积，得，即，即， 由条件，所以，得，A 正确； 选项 B，矩形周长， 由基本不等式得， 故，故，故矩形周长的最小值是，而，B 错误； 选项 C，双曲线，即，，焦点，双曲线定义，即， ，，， 故周长， 因为，当且仅当在与双曲线第一象限交点取等号， 所以周长的最小值是，C 正确； 选项 D，当为时，此时，直线的斜率为0，直线的斜率不存在，D 错误.    4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 【答案】AC 【详解】设点，根据题意有， 所以，整理得， 由，则曲线的方程为， A：对于任意曲线上的点，都有， 则，即也在曲线上， 且，则，即也在曲线上， 因此曲线关于轴对称，同时关于原点对称，正确 B：当时有，则， 所以，化简得，B错误， C：由曲线方程得，令，则， 所以，关于的开口向下的二次函数，对称轴为， 因为，故时，， 所以，即纵坐标的最大值为，C正确， D：由C知，当取最大值时，即，此时，D错误. 5．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 题型三 定义法（共5小题） 1．（多选）设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为 B． C．存在4个点，使得的面积为 D． 【答案】AD 【分析】应用椭圆定义判断A，B，D，应用面积公式判断个数判断C. 【详解】对于A，由得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，即， 则，故点的轨迹方程为，A正确. 对于B，D，将的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部， 如图所示，所以，当且仅当点运动到点处时，等号成立，故B错误； ， 因为，所以， 当且仅当点运动到点处时，等号成立，故D正确. 对于C，，其中为点到直线的距离，若，则， 由于当点为椭圆的右顶点时，取得最大值3，故满足条件的点只有一个，C错误. 故选：AD.    2．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【答案】 【详解】方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，， 依题意得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 则，， 所以，， 故曲线的方程为． 方法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 设双曲线的方程为，则有解得， 故曲线的方程为． 3．已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 4．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，又， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 5．（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设，直线的倾斜角为， 则，且直线的倾斜角为，所以, 所以， 所以为钝角，即有， 又因为， 解得， 则, 又因为即为点到直线的距离， 所以， 同理可得：， 又因为，即， 即，整理得：，即， 又因为位于第一象限，位于第四象限， 所以动点的轨迹方程为：； （2）设， 由，得， 则且，则有， 由韦达定理可得 又因为直线，直线， 联立两方程，并消去，得， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 联立，消去，化简得，解得， 故，所以，满足， 则直线的方程为，即. 题型四 几何法（共5小题） 1．已知圆的圆心为，设是圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【详解】 点在线段的垂直平分线上，故．又是圆的半径， 所以． 由椭圆的定义知，的轨迹是椭圆． 故选：B 2．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 因为点在曲线上，所以， 即，故点的轨迹方程为． 故选:D． 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆，圆，动圆满足：与圆、均相切，记动圆圆心为.下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．若动圆与圆､均外切，则动点的轨迹是双曲线的右支（除顶点） C．若动圆与圆、一内切一外切时，存在直线，使得直线与所有满足条件的动圆均相交 D．若动圆与圆、均内切，过动点的轨迹上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】选项A：根据圆心距，可知两圆外切；选项B：根据动圆与圆､均外切，可得到：，，再根据双曲线定义可得到动点的轨迹；选项C：根据动圆与圆、一内切一外切，可知共有四种可能，再结合椭圆和双曲线定义中的特殊情况，可知点轨迹是直线上缺三点，直线经过所有动圆的圆心，即直线与所有动圆都相交；选项D：根据动圆与圆､均内切，可得到：，，再根据双曲线定义可得到动点的轨迹为双曲线的左支；设，可得到：，，，最后根据函数单调性，求出的最小值. 【详解】选项A：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径， 两圆心的距离，且，故， 即两圆外切，选项A错误. 选项B：设动圆的半径为，若动圆与圆､均外切， 则：，, 则：， 符合双曲线的定义，此处差为正值，则动点的轨迹是双曲线的右支（除顶点）. 选项C：设动圆的半径为，若动圆与圆、一内切一外切时，分四种情况： 第一种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， 则：， 第二种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， 则， 由上可知：. 此时点的轨迹方程为：或 第三种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， ， 此时，点轨迹方程为：. 第四种：动圆与圆外切，与圆内切，且时， ，， ， 此时点轨迹方程为. 综上可知：点轨迹是其中不能取，，. 直线与所有动圆都相交，故：选项C正确. 选项D：设动圆的半径为，若动圆与圆､均内切，则： ，， 则：， 则动点的轨迹是双曲线的左支， 设，因此：，，， 又，函数在上单调递增， 因此的最小值为， 故选项D正确. 4.（25-26高二上·北京密云·期中）年月日，小米正式启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：(,).当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______. ①曲线关于轴和轴对称 ②曲线所围成的封闭图形的面积小于 ③曲线上的点到原点的距离的最大值为 ④设，直线交曲线于,两点，则的周长小于 【答案】①② 【详解】易知当，，时，曲线：； 对于①，取曲线上任意一点， 则和也满足曲线的方程，即和也在曲线上； 因此曲线关于轴和轴对称，即①正确； 对于②，易知，即可得； 同理可得； 类比椭圆性质可知曲线在一个由四条直线和组成的封闭的矩形内部， 该矩形长为4，宽为2，矩形面积为，所以曲线所围成的封闭图形的面积小于，即②正确； 对于③，对于曲线上任意一点满足，可设, 点到原点的距离的平方为， 显然当时，，距离平方的最大值为， 所以曲线上的点到原点的距离的最大值为，即③错误； 对于④，对于曲线：和椭圆； 设点在上，点在上， 则， 即可得，所以； 设点在上，点在上， 所以, 即可得，所以; 故椭圆在曲线：的内部（除四个交点外）； 设直线交椭圆于两点，交轴于点， 因此即为椭圆的两个焦点， 由椭圆定义可知， 所以的周长为，结合图形可知的周长大于的周长， 因此的周长大于，即④错误. 题型五 代换法（共3小题） 1．（26-27高二上·全国·课前预习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ，     令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 题型六 参数法（共4小题） 1．（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 2．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点． (1)若在线段上，是的中点，证明； (2)若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）证明： 由于在线段上，故， 记的斜率为的斜率为，则， 所以 （Ⅱ）． 【分析】设的方程为 ．（Ⅰ）由在线段上，又；（Ⅱ）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为． 【详解】由题设，设，则，且 ． 记过两点的直线为，则的方程为 （Ⅰ）略； （Ⅱ）设与轴的交点为， 则， 由题设可得，所以（舍去），． 设满足条件的的中点为． 当与轴不垂直时，由可得． 而，所以． 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为 3．（26-27高二上·四川·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用角为参数来表达动点坐标，消参即可得椭圆方程； （2）再利用椭圆的参数方程来表示椭圆上的动点坐标，用点到直线的距离公式即可求最大值； （3）利用动直线方程去求解交点坐标的关系，然后借助，可求出动直线的参数关系式， 从而可研究动直线过定点，最后再研究垂足的轨迹是圆，即可求最小值. 【详解】（1） 设为，，设， 由题意，有，即，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为. （2）由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为，， 故动点到直线的距离的最大值为. （3） 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，， 则 ，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故 ， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得 ， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意， 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 4．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆E的方程. (2)点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) （i）， （ii）曲线，，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理， 因此，为定值. 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为， 故，所以，所以， 因为椭圆E经过点，所以，即，得，则， 所以椭圆E的方程为； （2）（i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，， 所以直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得，代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点； 综上，曲线的方程为，. （ii）略 题型七 交轨法（共3小题） 1．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及截得线段长列方程求解即可. （2）方法一：设点，联立直线与直线方程求出交点坐标，表示出点，代入椭圆方程求解即可；方法二：由于点三点共线，结合向量共线表示出点，代入椭圆方程求解即可. 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得， 即，所以， 由于截线段长为，解得， 故，离心率. （2）方法一： 由（1）知椭圆方程为， 由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：，直线方程为：，即， 联立，解得， 即点. 设，则由，得， 代入椭圆方程得， 即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则，所以， 因为点在直线上，所以， 则 把代入椭圆方程：，得， 即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为. 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据题设条件可得值，再利用关系可求得值，进而可得到椭圆的方程； （2）设，两点的坐标并代入椭圆方程，利用点差法，结合中点坐标公式、斜率公式即可求解； （3）设点，根据点到直线的距离公式求出；取，的法向量，，利用向量的数量积公式求出，进而可以得到的值；然后根据三角形的面积公式写出的面积，最后结合的取值范围判断面积的最大值. 【详解】（1）依题意，因为长轴长为4，即，解得； 设焦距为，因为焦距为，即，解得； 所以； 所以的方程为． （2）设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即， 又，所以，即； 由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． （3）设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则，所以， 所以的面积， 由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值， 所以的面积存在最大值，最大值为． 3．已知椭圆C：1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P. （1）求椭圆C的离心率； （2）设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. 【解析】（1）根据椭圆的定义求出，根据焦点坐标求出，根据离心率公式求出心率； （2）由（1）求出椭圆方程，①当直线l与x轴垂直时，求出点Q的坐标为， ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及可得点Q的轨迹方程，根据判别式和点在椭圆内求出的范围. 【详解】（1）由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝2， 所以a＝. 又由已知，得c＝1， 所以椭圆C的离心率e＝. （2）由（1）知，，所以椭圆C的方程为. 设点Q的坐标为(x，y). ①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为， ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2. 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)， 则，， 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由，得＝＋， 即.① 将y＝kx＋2代入中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 由＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化简，得x2＝.③ 因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简， 得10(y－2)2－3x2＝18， 由③及k2>，可知0<x2<，即x∈∪. 又点满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由题意知Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1. 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈，且－1≤y≤1，则y∈. 所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. $专题14 求圆锥曲线方程的七大技巧 题型1 基本量与待定系数法（常考点） 题型5 代换法（难点） 题型2 直译法（重点） 题型6 参数法 题型3 定义法（重点） 题型7 交轨法 题型4几何法 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基本量与待定系数法（共5小题） 1，（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 2，（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 3，（25-26高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 4，（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 5．设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列． (1)求与的等量关系； (2)设点满足，求的方程． 题型二 直译法（共5小题） 1．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 3．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，直线，过动点分别作，的垂线，垂足分别为，，记点的轨迹为曲线，若四边形的面积为1，则（     ） A．的方程为 B．四边形的周长可以为 C．设，，在第一象限，则周长的最小值为 D．直线与直线的斜率之积为1 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 5．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型三 定义法（共5小题） 1．（多选）设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为 B． C．存在4个点，使得的面积为 D． 2．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 3．已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 题型四 几何法（共5小题） 1．已知圆的圆心为，设是圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆，圆，动圆满足：与圆、均相切，记动圆圆心为.下列说法正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．若动圆与圆､均外切，则动点的轨迹是双曲线的右支（除顶点） C．若动圆与圆、一内切一外切时，存在直线，使得直线与所有满足条件的动圆均相交 D．若动圆与圆、均内切，过动点的轨迹上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 4.（25-26高二上·北京密云·期中）年月日，小米正式启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：(,).当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______. ①曲线关于轴和轴对称 ②曲线所围成的封闭图形的面积小于 ③曲线上的点到原点的距离的最大值为 ④设，直线交曲线于,两点，则的周长小于 题型五 代换法（共3小题） 1．（26-27高二上·全国·课前预习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 题型六 参数法（共4小题） 1．（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 2．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点． (1)若在线段上，是的中点，证明； (2)若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 3．（26-27高二上·四川·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 4．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆E的方程. (2)点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 题型七 交轨法（共3小题） 1．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆C：1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P. （1）求椭圆C的离心率； （2）设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程. $