专题13 破解圆锥曲线离心率的八大策略 （期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题13 破解圆锥曲线离心率的八大策略 题型1 建立a、b、c的齐次方程或不等式 （常考点） 题型5 焦点弦定比分点型求离心率 题型2 利用圆锥曲线第一定义求离心率（重点） 题型6 利用双余弦定理求离心率（难点） 题型3 利用圆锥曲线第二定义求离心率 题型7 利用正弦定理解决焦点三角形双角度型离心率（难点） 题型4利用圆锥曲线第三定义与中点弦型求离心率 题型8 椭圆与双曲线共焦点的离心率问题 （重点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 建立a、b、c的齐次方程或不等式（共5小题） 1．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，，点P关于原点O的对称点为Q，则（     ） A．椭圆C的离心率为 B． C．直线的斜率为 D． 2．已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，.左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为 . 4．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 题型二 利用圆锥曲线第一定义求离心率（共5小题） 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2 .已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是___________． 5 .P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用圆锥曲线第二定义求离心率（共4小题） 1. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D．5 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3.设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。 4 .已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四 利用圆锥曲线第三定义与中点弦型求离心率（共5小题） 1．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 2 .设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3. 已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 4. 已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，点M为椭圆上不同于A1，A2的一点，若直线M A1与直线M A2的斜率之积等于，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 5.已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 题型五 焦点弦定比分点型求离心率（共5小题） 1．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 2．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 3 .已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 4 .已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5 .已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是 . 题型六 利用双余弦定理求离心率（共4小题） 1．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 2 .已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3 .已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 4 .已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与在第一、二象限分别交于两点，且，，则的离心率为______． 题型七 利用正弦定理解决焦点三角形双角度型离心率（共4小题） 1 .设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2 .已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点，P为第二象限内椭圆上的一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为___________. 4 . 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型八 椭圆与双曲线共焦点的离心率问题（共5小题） 1. 已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·山东·开学考试）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是___________. $专题13 破解圆锥曲线离心率的八大策略 题型1 建立a、b、c的齐次方程或不等式 （常考点） 题型5 焦点弦定比分点型求离心率 题型2 利用圆锥曲线第一定义求离心率（重点） 题型6 利用双余弦定理求离心率（难点） 题型3 利用圆锥曲线第二定义求离心率 题型7 利用正弦定理解决焦点三角形双角度型离心率（难点） 题型4利用圆锥曲线第三定义与中点弦型求离心率 题型8 椭圆与双曲线共焦点的离心率问题 （重点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 建立a、b、c的齐次方程或不等式（共5小题） 1．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，，点P关于原点O的对称点为Q，则（     ） A．椭圆C的离心率为 B． C．直线的斜率为 D． 【答案】BD 【详解】对于A，由题意知，所以，则， 所以离心率，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可知， 在中，由余弦定理得， 即，所以，故B正确； 对于C，由， 则，解得， 因为点和点关于原点对称，所以， 又为椭圆上一点，所以，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 故D正确； 2．已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线 的渐近线方程为 . 由得 ，又， 所以离心率. 3. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，.左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为 . 【答案】 【详解】由于 由直线的方程为，整理得， 由于，则在以为直径的圆上，故 由于在线段上有且只有一个点满足，故直线与圆相切， 可得，两边平方，整理得， 两边同时除以，由，， ，又椭圆的离心率，． 椭圆的离心率的平方， 故答案为： 4．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由得（1） 又在双曲线上：（2） 由平分，由角平分线定理得（3）， 由 (1)(2) 消去得（4）， 又 将 代入 (3) 的平方： 即，整理得（5）， 由(4)(5)得即 因为，所以，代入得 化简得，即， 解得，因为，所以 5．已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 【答案】/ 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 题型二 利用圆锥曲线第一定义求离心率（共5小题） 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题知在轴上方，直线的斜率为，则，． 由，，得， 所以由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理得， 整理得，得，即， 解得或， 故椭圆的离心率为或． 故选：C. 2 .已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作，垂足为，    由，知，所以，而， 所以，则， 由椭圆的定义知，，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 3．（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】设为椭圆：（）的右焦点， 周长， 由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为， 故， 由，， 故， 当且仅当、、三点共线时取等号， 故有，，即， 则，故. 故选：D. 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解答过程】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为， 根据椭圆定义，可得①， 根据双曲线定义，可得，又，所以②， 联立①②，可求得， 又线段的中垂线过，所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 又根据双曲线的性质，可得，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5 .P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：C. 题型三 利用圆锥曲线第二定义求离心率（共4小题） 1. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】因为，所以， 表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，所以. 故选：B 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得， 由题意P在以为直径的圆上，所以， 所以可得，即离心率， 故选：C 3.设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。 【答案】 【详解】由题设，得 由双曲线第二定义，得 由焦半径公式得： 则，即，解得． 4 .已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 题型四 利用圆锥曲线第三定义与中点弦型求离心率（共5小题） 1．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 2 .设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意，，设，则， 因为为线段的中点，所以，即，则， 因为，所以，即， 又在双曲线上，所以， 结合整理得，所以， 解得或（舍去），由，解得. 故选：A 3. 已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 4. 已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，点M为椭圆上不同于A1，A2的一点，若直线M A1与直线M A2的斜率之积等于，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，A（﹣a，0），B（a，0）， 设M（x0，y0），∴ 则① 又得, 即② 联立①②，得，即，解得e=． 故选C． 5.已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】斜率为2的直线与双曲线，相交于，两点， 设，，，， 则，①； ，②， ①②得， 则， 弦中点坐标为， ，， 直线的斜率为2， ， ， . 则. 故选：. 题型五 焦点弦定比分点型求离心率（共5小题） 1．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 2．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 3 .已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A. 【详解】假设F为右焦点， 根据题意，设直线方程为，， 由，消得到， 易知，由韦达定理得， 又因为，所以，得到， 将代入，得到， 将代入，得到， 又，所以，得到， 故选：A. 4 .已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可. 【详解】   不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为， 令，解得，即. 设，又，，， 由可得：，解得， 又在椭圆上，即， 整理得，解得. 故选：A 5 .已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是 . 【答案】 【详解】设：与x轴的交点为P，Q，不妨设，，， 根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，又，则， 设与轴正方向形成的角为，则，，代入得 ， 在中，， 由余弦定理得，解得，即. 故答案为：. 题型六 利用双余弦定理求离心率（共4小题） 1．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【详解】设，则， 由双曲线定义可得， 即， 所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得， 故离心率． 2 .已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以.    3 .已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 4 .已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与在第一、二象限分别交于两点，且，，则的离心率为______． 【答案】 【详解】 因为，所以， 又，所以， 由双曲线的定义可知，，， 所以，，，， 因为，所以， 所以，即. 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故离心率. 题型七 利用正弦定理解决焦点三角形双角度型离心率（共4小题） 1 .设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的焦点为，，则， 是等腰三角形，， ，， 由正弦定理即，解得， 双曲线过点，由双曲线的定义可得， 解得离心率， 故选：B. 2 .已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点，P为第二象限内椭圆上的一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由，得， 在中，可得，即， 又，∴， 由，得. 则，即. 故选：B. 3．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为___________. 【答案】 【解答过程】由于直线的方程为，点， 由于， 所以， 则, 所以，则, 在中，由正弦定理可得：,则， 所以, 在中，由余弦定理可得：, 则,由， 化简可得：，则, 所以双曲线的离心率, 故答案为：. 4 . 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 题型八 椭圆与双曲线共焦点的离心率问题（共5小题） 1. 已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B. 正确；D错误；再举反例可得AC错误. 【详解】由已知得，． 由，得，又， 当，时，， 当，时， ． 故选：B. 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答过程】设公共半焦距为，,， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，， 由椭圆和双曲线定义可知，，， 所以， 又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，即. 所以 （当且仅当，即时取等号）. 故选：A. 4．（25-26高三下·山东·开学考试）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点， 根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.    因为的垂直平分线经过点，所以， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为， 由椭圆的定义得，所以； 由双曲线的定义得，所以. 所以，所以， 所以. 所以， 又，所以，， 由函数在单调递减，可得， 所以， 所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】设半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得，，由得，从而可得，由的范围即可求的取值范围. 【解答过程】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因为，即， 而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. $