专题12 抛物线及其应用15大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题12抛物线及其应用15大题型 题型1 定义基础：“焦准”互化 （常考点） 题型9 抛物线内接三角形重心 题型2 求抛物线方程 题型10 定义性“梯形”应用 （重点） 题型3 抛物线轨迹 题型11 定比分点型（难点） 题型4 焦半径（重点） 题型12 抛物线中的“将军饮马”型 题型5 焦点弦（常考点） 题型13 面积最值型 题型6 抛物线中角度 题型14 抛物线的切线 （难点） 题型7 中点弦 题型15 抛物线综合 题型8 抛物线通径 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、定义基础：“焦准”互化 （共3小题） 1．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 题型二、求抛物线方程 （共3小题） 4.（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 6.（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程. 题型三、抛物线型轨迹 （共3小题） 7．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 9.（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型四、焦半径 （共3小题） 10．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 11.（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 12.（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 题型五、焦点弦 （共3小题） 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 14．（26-27高二上·全国·课后作业）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六、抛物线角度 （共3小题） 16．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18.（25-26高二上·陕西·期中）已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 题型七、中点弦 （共3小题） 19．（26-27高三·全国·一轮复习）设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，为坐标原点，且，则______. 20.（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 21.（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 题型八、抛物线的通径 （共3小题） 22.（25-26高二上·河南郑州·期中）已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 23.（2026·安徽池州·二模）设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（   ） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 24.（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型九、抛物线内接三角形重心 （共3小题） 25.（2026·重庆·模拟预测）若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 26.（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 27.（2025·河北保定·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十、定义型“梯形”应用 （共3小题） 28．（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 29.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 为抛物线上的两点，满足 ，线段 的中点为 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（     ） A． B． C． D． 题型十一、定比分点型 （共3小题） 31．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（    ） A． B． C． D． 32.（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 33.（25-26高二上·四川·期末）在平面直角坐标系中，点集.若中的个不同的点满足：为的中点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十二、抛物线中的“将军饮马”型 （共3小题） 34．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为拋物线的焦点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 35.（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 36.（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 题型十三、面积最值型 （共3小题） 37．（2026·安徽马鞍山·一模）已知圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，当圆的面积最小时，圆心的纵坐标为（    ） A． B．2 C． D．4 38.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（    ） A．8 B．16 C． D．32 39.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 题型十四、抛物线的切线 （共3小题） 40.（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 41.（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过上一点作的切线，再过点作的垂线与轴交于点，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 42.（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十五、抛物线综合 （共2小题） 43.（25-26高二上·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 44.（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知抛物线：的焦点为，准线为． (1)设过定点且斜率为的动直线与交于不同的两点，．已知在上存在唯一点，使得，求出实数的值，并求出的坐标（用含有的代数式表示）； (2)过定直线上的一点作三条直线，这三条直线分别与相交于不同的三个点，，，且这三条直线分别垂直于在这三点处的切线． ①证明：的重心为一个定点，并求出该点的坐标； ②证明：的外接圆必过原点． （注：若一元三次方程（）的三个实数根分别为，，，则，） 45.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线形成的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于、两点，其中，． （i）已知点在抛物线上，且，若，求的值； （ii）探究：是否存在定点，使得（其中、分别为直线、的斜率），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12抛物线及其应用15大题型 题型1 定义基础：“焦准”互化 （常考点） 题型9 抛物线内接三角形重心 题型2 求抛物线方程 题型10 定义性“梯形”应用 （重点） 题型3 抛物线轨迹 题型11 定比分点型（难点） 题型4 焦半径（重点） 题型12 抛物线中的“将军饮马”型 题型5 焦点弦（常考点） 题型13 面积最值型 题型6 抛物线中角度 题型14 抛物线的切线 （难点） 题型7 中点弦 题型15 抛物线综合 题型8 抛物线通径 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、定义基础：“焦准”互化 （共3小题） 1．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 2.（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 3.（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 题型二、求抛物线方程 （共3小题） 4.（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 6.（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程. 【详解】(1)当点横坐标大于等于时，由题意可转化为点到点的距离等于点到的距离， 设，所以点的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点的轨迹方程为； 当点横坐标小于时，因为点到轴的距离为， 所以点在轴上，即点的轨迹方程为； 所以点的轨迹方程为或. 题型三、抛物线型轨迹 （共3小题） 7．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 8.（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 9.（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 题型四、焦半径 （共3小题） 10．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 11.（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 12.（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以 题型五、焦点弦 （共3小题） 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以 14．（26-27高二上·全国·课后作业）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 15.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以， 所以. 又. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 题型六、抛物线中角度 （共3小题） 16．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，圆心坐标为.因均相切于圆， 则，，又，则. 从而.， 则，当且仅当时取等号. 由图可得为锐角，正弦函数在单调递增， 则.即的最大值为. 故选：C 17.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 18.（25-26高二上·陕西·期中）已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 【详解】（1）由抛物线的性质可得，得； （2）抛物线的准线方程为. 过点作，垂足为， 设，因，则，得， 则点的纵坐标为，由抛物线定义得， 解得，所以； （3）设的倾斜角为，易得，斜率， 则的倾斜角为， 斜率. 设点，， 由得，得， 所以 以代可得. 由，得， 得或， 当时，，，又，所以不符合题意. 故的方程为，即（或）. 题型七、中点弦 （共3小题） 19．（26-27高三·全国·一轮复习）设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，为坐标原点，且，则______. 【答案】2 【详解】由题意可知，则直线为， 设，由题意得， 相减得：， 因为E为线段的中点，所以，即， 因为E在直线上，所以， 又因为，所以. 20.（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 【答案】 【详解】由得，由题意知直线的斜率不为0， 所以设直线的方程为，， 联立消去得， ，则由韦达定理得，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 综上，直线OM的斜率的最大值为. 21.（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以 题型八、抛物线的通径 （共3小题） 22.（25-26高二上·河南郑州·期中）已知圆与圆外切，切点为，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】根据题意点与满足：到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 故选：C． 23.（2026·安徽池州·二模）设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（   ） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 【答案】B 【详解】由题意，代入，则，故， 所以，而， 由，则，A错，B对， 由，则，C、D错. 24.（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为抛物线的通径长为8， 所以，解得， 所以抛物线，焦点. 设，直线的方程为, 联立方程组，可得， , 则,， 所以 ， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故选:D. 题型九、抛物线内接三角形重心 （共3小题） 25.（2026·重庆·模拟预测）若A，B，C均在抛物线上，直线与此抛物线交于M，N两点，弦MN中点为的重心，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【详解】抛物线，准线，焦点. 联立，得，中点横坐标. 设，由重心性质可知：， 得. 所以. 故选：B. 26.（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 代入，可得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以，，设，所以， 则. 故选：D. 27.（2025·河北保定·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题：，设， 由抛物线定义知：， 又为的重心，所以，所以， 故选：B. 题型十、定义型“梯形”应用 （共3小题） 28．（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为， 所以，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，设， 所以， 由抛物线的定义可知： ， 当时，的最小值为4，故B错误； 对于C，若为的中点，,, 因为所以，所以， 又因为 所以，故C正确； 对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为： ， 当时，，故D错误. 29.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 30.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 为抛物线上的两点，满足 ，线段 的中点为 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点M为线段的中点，所以点M到抛物线C的准线的距离为， 在中，因为，， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最大值为． 故选：C． 题型十一、定比分点型 （共3小题） 31．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 过点N作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 由，得， 由抛物线定义知，，则， 在中，，则， 由，得， 又由抛物线定义知，则， 所以. 故选：C 32.（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知抛物线的焦点为， 设点，因为在线段上，且满足，则， 设点，可得， 所以，解得，即点， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以，要求的最大值，只需考虑， 此时， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故直线斜率的最大值为. 故选：D. 33.（25-26高二上·四川·期末）在平面直角坐标系中，点集.若中的个不同的点满足：为的中点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设集合的方程可写成， 由题意，点应在负半轴上，点应该在抛物线上，如图所示： 不妨设，，则中点， 因为，得， 因为点是集合内一点，则有，即， 两边同时平方得， 联立，解得，，则有点， 故选：B. 题型十二、抛物线中的“将军饮马”型 （共3小题） 34．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为拋物线的焦点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由抛物线，所以，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：B. 35.（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 36.（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 【详解】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故答案为： 题型十三、面积最值型 （共3小题） 37．（2026·安徽马鞍山·一模）已知圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，当圆的面积最小时，圆心的纵坐标为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由圆C的圆心在抛物线上， 可设， 又圆C与直线相切， 则圆C的半径， 当时取等号，即当时圆C的半径最小，故圆的面积最小， 此时圆心的纵坐标为. 故选：D 38.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（    ） A．8 B．16 C． D．32 【答案】D 【详解】方法一： 设，， 联立，得， 由根与系数的关系得，， 又·，故， 又，∴，∴， 故直线PA的方程为，即， 同理，直线PB的方程为， 联立直线PA，PB方程可得，， 即，，即， ∴点P到直线AB的距离， ∴， 当时，. 方法二： 由阿基米德三角形的性质知. 故选：D 39.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】A 【详解】设在处的切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 则在点处的切线方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，即，可得，， 则，整理可得， 又因为在点，处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 题型十四、抛物线的切线 （共3小题） 40.（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 【答案】A 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则. 因为切线长等于， 所以当切线长最小时，最小. ， 当，即点的坐标为时，取得最小值，最小值为. 所以切线长的最小值为. 41.（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过上一点作的切线，再过点作的垂线与轴交于点，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】如图，不妨设点在第一象限，过点作轴的平行线. 根据抛物线的光学性质，直线与关于直线对称，所以. ，是边长为8的等边三角形，可得点的横坐标为. 将抛物线方程写成，则. 故点处切线斜率. 由，可得直线的倾斜角为，即，得. 42.（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 题型十五、抛物线综合 （共2小题） 43.（25-26高二上·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 44.（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知抛物线：的焦点为，准线为． (1)设过定点且斜率为的动直线与交于不同的两点，．已知在上存在唯一点，使得，求出实数的值，并求出的坐标（用含有的代数式表示）； (2)过定直线上的一点作三条直线，这三条直线分别与相交于不同的三个点，，，且这三条直线分别垂直于在这三点处的切线． ①证明：的重心为一个定点，并求出该点的坐标； ②证明：的外接圆必过原点． （注：若一元三次方程（）的三个实数根分别为，，，则，） 【详解】（1）抛物线：的准线的方程为． 设动直线的方程为．设，． 联立方程组： 消去得：． 由得． 根据韦达定理：，． 设准线上的点的坐标为． 因为，所以． 即． 展开得：． 因为， 且． 将上述结果代入向量内积表达式得： 整理得：． 配方得：． 因为，，均为实数，所以上式成立当且仅当： 解得，且． （此时恒成立，符合题意） 故实数的值为，的坐标为． (2)①设直线上的定点坐标为． 设抛物线上任意一点，其中（）． 由求导得． 故抛物线在点处的切线斜率为，从而法线的斜率为． 过点的法线方程为． 因为该法线过定点，代入得： 两边同乘并整理得：． 由题意，该方程对应三个不同的实数点，，， 故上述关于的三次方程有三个不同的实数根，设分别为，，． 根据一元三次方程根与系数的关系得： ． ． 设的重心的坐标为，则： ． ． 因为． 所以． 故的重心为定点，其坐标为． ②证明 设过，，三点的外接圆方程为． 联立外接圆与抛物线方程： 将代入圆的方程，消去的一次项： ． 再将代入上式得： ， 两边同乘整理得一元四次方程： ， 因为点，，既在抛物线上又在圆上， 故，，必定是该一元四次方程的三个实数根． 设该方程的第四个实数根为． 根据一元四次方程根与系数的关系（韦达定理），由于的系数为0，则四根之和： ， 由第①问已知， 所以解得． 既然是该四次方程的一个根，代入四次方程可得，解得． 当时，外接圆的方程化为． 显然，坐标满足该圆的方程． 故的外接圆必过原点．证明完毕． 45.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线形成的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于、两点，其中，． （i）已知点在抛物线上，且，若，求的值； （ii）探究：是否存在定点，使得（其中、分别为直线、的斜率），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设直线，联立，得，， 设直线与抛物线交于、两点，则， 由抛物线定义知，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）联立，得，则，， 设，，代入抛物线得， 则，，所以， 因为，，，所以． 又因为， 所以，解得或， 因为，，所以，则，代入中，解得； （ii）存在，当直线轴时，若，则点必在轴上， 设，则 ， 所以，即，则，故. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $