专题11 双曲线及其应用16大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题11 双曲线及其应用16大题型 题型1 双曲线型轨迹 题型9 三大圆：焦点三角形内切圆型（难点） 题型2 双曲线方程 题型10 三大圆：双曲线焦点圆型 题型3 双曲线第一定义最值 （常考点） 题型11 三大圆：实轴圆型 题型4 焦点三角形（重点） 题型12 双曲线第三定义型 题型5 双曲线渐近线 （常考点） 题型13 焦点弦定比分点离心率型（重点） 题型6 渐近线与离心率 题型14 共焦点椭圆与双曲线 题型7 焦点三角形离心率 题型15 几何意义型 题型8 焦点三角形双余弦定理型（难点） 题型16 双曲线最值与范围型 题型一、双曲线型轨迹 （共4小题） 1．（25-26高三·全国·一轮复习）平面内到定点及到定直线的距离之比为5：4的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的第二定义可知，点的轨迹是双曲线， 设方程为， 联立方程组，解得，则． 故双曲线的方程为． 故选：A． 2．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【详解】设动点，由题意可知 则直线斜率，直线的斜率， 则，整理得. 3. （26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【答案】 【详解】方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，， 依题意得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 则，， 所以，， 故曲线的方程为． 方法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 设双曲线的方程为，则有解得， 故曲线的方程为． 4.（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 题型二、双曲线方程 （共2小题） 5．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 6.（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 题型三、双曲线第一定义最值 （共3小题） 7．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 8.（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 9.（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 题型四、焦点三角形 （共3小题） 10.（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 11.（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 12. （2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 题型五、双曲线渐近线 （共4小题） 13.（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 14.（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，渐近线方程为，即，， 则，得 所以，则渐近线方程为. 15.（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 16.（2026·甘肃平凉·模拟预测）若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为 由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是. 则，即，整理得，即 双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为. 题型六、渐近线与离心率 （共3小题） 17.（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线C的离心率． 18.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的一条渐近线方程为，得， ，， 所以，化简得， 所以. 19.（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足， 左右焦点为，离心率， 由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得， 是直角三角形，直角在处，记， 已知，则，， 又，所以， 则，因此. 题型七、焦点三角形离心率 （共2小题） 20.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 21.（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足， 左右焦点为，离心率， 由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得， 是直角三角形，直角在处，记， 已知，则，， 又，所以， 则，因此. 题型八、焦点三角形双余弦定理型 （共3小题） 22.（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得， 可得双曲线的离心率为. 23.（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 24.（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 题型十、双曲线焦点圆型 （共3小题） 25.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 26.（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线离心率的值为______. 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为的中点为，连接，如下图所示： 由的最小值为可得，因此， 因为分别为的中点，所以，因此， 即，得， 所以离心率. 27.（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． 【详解】依题意得， 根据题意，作图如下：    因为为等边三角形．故可得， 在直角三角形中，可得, 根据双曲线的定义：，解得：. 故答案为：. 题型十一、双曲线实轴圆型 （共2小题） 28.（24-25高二下·湖北·期中）设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 .  直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____. 【详解】如图： 设点，，渐近线方程为， 则，，相减得， ，所以. 设与轴交于，，， 则，， ， 在直角中，，，， 所以，解得，实轴长为14. 故答案为：；14 29.（2020·内蒙古包头·二模）已知双曲线的顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，且的焦距为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的顶点分别为，， 且以线段为直径的圆的圆心为， 以线段为直径的圆与直线相切， 圆心到直线的距离为，则， 则，又， 双曲线的焦距为，所以，解得，， 所以双曲线方程为：. 故选：A 题型十二、双曲线第三定义型 （共3小题） 30.（2026·河北保定·二模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，即，则， 所以双曲线，且双曲线的渐近线方程为， 由，得，设直线l的方程为， 联立，解得，即， 联立，消去得， 设，则①，， 因为，所以， 而，， 则，即， 结合①得，， 则， 即， 则，即，又，则. 31.（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将点代入，得． 联立，得， 不妨取， 又，所以. 32.（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将点代入，得． 联立，得， 不妨取， 又，所以. 题型十三、焦点弦定比分点离心率型 （共3小题） 33.（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 34.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 35.（25-26高三上·河南新乡·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 【答案】ACD 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，A正确； 设点，直线不垂直于轴，设直线方程为， 由消去得， ， 化简可得, 又，故， 切线的方程为，即，渐近线方程为， 对于C，由，得，设， 则，一定是线段的中点，C正确； 对于B，，则 ，当且仅当时取等号，B错误； 对于D，直线交轴于点，的面积， 因此面积的最小值是，D正确. 故选：ACD 题型十四、共焦点椭圆与双曲线 （共3小题） 36.（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为.    椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 37.（25-26高二上·河北石家庄·期中）记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 38.（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，其中，，则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， ，故， ，， 由双曲线定义得，所以， 设椭圆的长轴长为， 由椭圆和双曲线共焦点和椭圆定义得， 所以椭圆半轴长为， 所以椭圆的离心率为. 题型十五、几何意义型 （共23小题） 39．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 40.（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 【详解】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，则，即. 设双曲线的右焦点为，渐近线方程化为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故的方程为. (2)证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ，，，， 联立直线的方程与双曲线的方程，并整理， 得， 则，. 与，分别联立，解得，， 则， 因此，即， 因为，， 所以． 当的斜率不存在时，根据对称性，显然有． 综上，． 41.已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】依题意，当时，方程为，是双曲线在第一象限的部分； 当时，方程为，不能表示任何曲线；当时，方程为， 是双曲线在第三象限的部分；当，方程为， 是椭圆在第四象限的部分；其图象大致如图所示： 的几何意义是曲线上的点到 直线的距离的两倍， 双曲线的渐近线与平行， 所以曲线在第一、三象限上的点到 的距离，由图象可知直线与椭圆在第四象限的部分 相切时，距离取得最小值，设切线为：且，由，可得， 由，解得或（舍去）， 所以曲线在第四象限上的点到的距离. 所以的取值范围是：.故选：A. 题型十六、双曲线型最值与范围 （共3小题） 42.（2027·湖南衡阳·一模）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为， 对于A，当直线斜率为0时，，A错误； 对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交， 并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确； 对于C，当斜率为0时，成立， 当斜率不为0时，若直线与交于同一支， 则， 设，， 由，得， 则，，， 因此， 若直线与交于左右两支时， 不妨设在左支，， 同理可得成立，因此恒成立，C正确； 对于D，当直线与交于右支时，， 当直线与交于左右两支时，不妨设， ， 由，得， 当直线斜率为0时，， 因此的取值范围为，D正确． 43.（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 【详解】双曲线的渐近线方程为即， 设，则，点到渐近线的距离为， 所以，由于，所以点位于轴上方， 如图所示，设圆与轴交于点两点，根据圆的切割定理可知， 即, 即 又， 所以，故，解得（负值舍去）， 所以双曲线方程为，，. 44.（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． （2）由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． （3）由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 双曲线及其应用16大题型 题型1 双曲线型轨迹 题型9 三大圆：焦点三角形内切圆型（难点） 题型2 双曲线方程 题型10 三大圆：双曲线焦点圆型 题型3 双曲线第一定义最值 （常考点） 题型11 三大圆：实轴圆型 题型4 焦点三角形（重点） 题型12 双曲线第三定义型 题型5 双曲线渐近线 （常考点） 题型13 焦点弦定比分点离心率型（重点） 题型6 渐近线与离心率 题型14 共焦点椭圆与双曲线 题型7 焦点三角形离心率 题型15 几何意义型 题型8 焦点三角形双余弦定理型（难点） 题型16 双曲线最值与范围型 题型一、双曲线型轨迹 （共4小题） 1．（25-26高三·全国·一轮复习）平面内到定点及到定直线的距离之比为5：4的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 3. （26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 4.（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 题型二、双曲线方程 （共2小题） 5．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 题型三、双曲线第一定义最值 （共3小题） 7．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 8.（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9.（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 题型四、焦点三角形 （共3小题） 10.（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11.（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 12. （2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 题型五、双曲线渐近线 （共4小题） 13.（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 15.（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 16.（2026·甘肃平凉·模拟预测）若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 题型六、渐近线与离心率 （共3小题） 17.（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 18.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 19.（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七、焦点三角形离心率 （共2小题） 20.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 21.（26-27高三上·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型八、焦点三角形双余弦定理型 （共3小题） 22.（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 23.（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 24.（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十、双曲线焦点圆型 （共3小题） 25.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 26.（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线离心率的值为______. 27.（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． 题型十一、双曲线实轴圆型 （共2小题） 28.（24-25高二下·湖北·期中）设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 .  直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____. 29.（2020·内蒙古包头·二模）已知双曲线的顶点分别为，，以线段为直径的圆与直线相切，且的焦距为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型十二、双曲线第三定义型 （共3小题） 30.（2026·河北保定·二模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 31.（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 32.（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 题型十三、焦点弦定比分点离心率型 （共3小题） 33.（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 34.（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 35.（25-26高三上·河南新乡·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 题型十四、共焦点椭圆与双曲线 （共3小题） 36.（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 37.（25-26高二上·河北石家庄·期中）记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ） A． B． C．2 D．3 38.（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十五、几何意义型 （共23小题） 39．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 40.（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 41.已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型十六、双曲线型最值与范围 （共3小题） 42.（2027·湖南衡阳·一模）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 43.（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知为双曲线的上焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若（为坐标原点），则的面积为______． 44.（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $