专题10 椭圆综合大题7大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10椭圆综合大题7大题型 考向梳理·题型总览 题型1定点、定值、定直线问题（重点） 题型5直线方程及弦长（重点） 题型2面积与范围、最值问题（重点） 题型6斜率问题 题型3存在性及证明问题 题型7轨迹方程问题 题型4三点共线及四点共圆问题 02 题型突破能力提升 题型一定点、定值、定直线问题（共5小题） 2526产产州番遇区翻期肥圆名+片O>b≥0》的澳车头2.且过道通 A2,1.设点A处C的切线为l1. (1)求C的方程： (2)求直线l1的方程： (3)直线l2过点A,且l2⊥11，点M,N在C上，且AM⊥AN,问：直线l2与MN的交点是否为定点？若是， 求出定点的坐标；若不是，说明理由. 1/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22526高江京京师范大学阴层中学胡末吧精国C:酱yIa>0PAQ, B-a,1,O为坐标原点，且OA·OB=-3. (1)求椭圆C方程： (2)设M,N是椭圆C上的两个动点，且满足koM~koN=koA~koB, (i)求△OMN的面积： PS 2 PT /2 (ii)已知点P0,~1,且直线PM与ON交于点S,直线PN与OM交于点T,试探究 MS NT 是否 为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由， 2/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 526高二下广东己知猫圆艾+广b30的离心率为，焦距 (1)求椭圆C的方程： M(0,2 (2)过点 且斜率存在的直线'与椭圆C交于4，B两。 M<MB,点B关于'轴的对称点为点 ”两点且 D (i)证明：直线AD恒过定点N,并求出点N的坐标： (i)设O是坐标原点，若△WOD的面积是△ANM面积的3倍，求直线I的方程. x2,y2 4(26-27高三上山东阶段检测)己知椭圆E:日京+方=1（a>b>0)的左顶点为A'下顶点为g,短 √5 轴长为4，离心率为3，P(x,)是E上位于第一象限内的动点，直线P4交y轴于点M,直线PB交x 轴于点N. (1)求E的方程： 3/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：四边形ABNM的面积为定值， 一2027湖南衡阳一模)已知椭圆C:。+片Q>6>0)的右焦点为FL0,且经过 (1)求椭圆C的方程. (2)过F的直线1（不与x轴重合）交C于P、Q两点，分别过P、Q作C的切线，两切线交于点T,记 PO的中点为M,O为坐标原点.， ()证明：点T在定直线上. OM OT (i)求 的取值范围。 4/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二面积与范围、最值问题（共6小题） 6(25-26高二下重庆南开中学校期末已知椭圆C:+上 日+台=1a>b>0离心率为}·PQ是桶圆内过焦点 2 且垂直于长轴的一条弦，且PQ=3. (1)求椭圆C的标准方程： (2)如图，设椭圆C的右项点为D,A、B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，直线x=2b与直线AD、BD交 于不同的两点M、N,则当|MN=63-6时，求SAAm 5/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2②526高二下内莹古包头期已厕椭C:十y +岁=1a>b>0的长轴长为25且离心率为6， 3 (1)求椭圆C的方程： (2)不经过原点O的直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点，求△AOB的面积最大时直线1的方程. 6 8.(25-26高二上陕西汉中期中)已知椭圆E的离心率为3，其左焦点为F(-2,0).点M(-3,0),过点 E、 A.B 的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点. (1)求椭圆E的标准方程： (2)证明：∠AMF=∠FMB: (3)求△MAB面积S的最大值 6/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23 p1 x2,y2 6 9.(25-26高二下·湖南长沙期中)已知过点 了的椭圆℃：京+尔=l的离心率为3，直线1过椭 圆C的右焦点F,且与椭圆C交于A,B两点： (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线I的斜率存在，点A关于x轴的对称点是A',求证：直线A'B过x轴上的定点M,并求其坐标： (3)在(2②)的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点2，记线段的中点为G.0MC的面积为 的面积为， S AMMB的面积为S,求S,的取值范围 10.(25-26高二下广东深圳期中)已知椭圆C+广 :T+存=(a>b>)的左、右焦点分别为厅，B,点 (2v2)在椭圆上，且椭圆上满足P听1P所的点P有且仅有2个， (1)求椭圆C的方程： 7/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设直线I与椭圆C交于AB两点(A在第一象限)，与x轴，y轴分别交于点M,N,且 AM=2AN N:点4关于轴的对称点为D,直线D与椭圆的另一个交点为E D DN E k2 (i)记直线AW,DN的斜率分别为k,k,证明：k为定值： (i)求直线BE的斜率的最小值. 2亡东广州开学若试)已知椭圆C:。+(a,b>0的一个焦点为F(-2,0),短轴 (1)求椭圆C的标准方程： P(-1,0) (2)直线：x=-a与轴交于点2，过点 的直线与椭圆交于M,N两点. OM 的斜率为，直线2V的斜率为，证明： ON k+k2=0 ()记直线 (i)过 P(-,0)作直线MW的垂线交直线'于点E,求△BN面积的最小值. 8/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三存在性及证明问题（共5小题） 25商上河台期断黄量C营+号-e6>0过同.〔-引两去 (1)求C的方程. 1 (2)若点40 p是c上一动点，求Pg的最小值 3 (3)若直线I与C交于与 A2 不重合的M,N两点，且A在以MN为直径的圆上，AD⊥MN,垂 DO 足为D,判断是否存在点。，使得D0为定值若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 9/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.（26-27重庆渝中阶段检测)已知椭圆c:云+方=1a>b>0)的短轴长为2V5,离心率为；，上、 PL,%) 下顶点分别为1，B,点 为椭圆C内部一点，直线4P,BP与椭圆C的另外一个交点分别为D, .e(xe,Yo) E两点，直线ME,BD交于点O (1)求椭圆C的标准方程： (2)证明：=% 年aPO+QG (3)在*轴上是否存在定点G,使得 为定值若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由 10/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(26-27北京朝阳开学考试)已知椭圆C:兰+ 行+F=1过点M(2,1),且。=2b'O为坐标原点，平行于 OM的直线I交椭圆于A,B两个不同的点： (1)求椭圆方程 (2)求证：直线MA,MB与y轴始终围成一个等腰三角形 技（s7高=上县龙江大庆骨假卷酒1指网C子后-a>60华过(5回和点 (1)求椭圆C的标准方程： 1:xcos0+ysin0+√2=0 (2)已知直线 与椭圆相交于P,R两点，O为坐标原点： 11/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)证明：OP⊥OR: PR (ii)设点Q与点P关于原点对称，求QR的值. x2,y2 16.(26-27河北雄安开学考试)已知椭圆c:。+存=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),长轴长为4，左、 右顶点分别为A,B,过焦点F的直线与椭圆C相交于P,Q两点，且点P位于第一象限直线AP和AQ分 别与直线x=2相交于M,N两点 (1)求椭圆C的标准方程； FM·FW (2)求 的值： (3)若线段BM的中点为T,证明：FT是∠BFP的角平分线 12/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四三点共线及四点共圆问题（共5小题） 25-26务下整店期吧商型名±为a>b0的卡长为4A以稀图的售 点和短轴端点为项点的四边形的面积为8. (1)求椭圆E的方程： (2)过点2,0且斜率为k(k≠0)的直线与椭圆E交于A,B两点. (i)若线段AB的中点横坐标为1，求k: (ii)点C与点B关于x轴对称.在x轴上是否存在定点Dm,0,使A,C,D三点共线？若存在，求实 数的值，若不存在，说明理由. 13/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 182526高=上广东江门调所)已知椭圆C:￥+兰=1的左，右焦点分别为51，F2,左.右顶点分别为 43 A,B,过右焦点F的直线与椭圆C相交于M,N(异于A,B)两点 (1)若直线MN的斜率为1，求MN: (2)若直线AM与直线x=4相交于点T4,t,求证：T,B,N三点共线. 19.25-26高二上四川内江期末)已知椭圆c:寸+兰=1a>b>0的左、右顶点分别为A,B'且 a2 b2 3=4,离心率为，F为椭圆C的右焦点，O为坐标店 (1)求椭圆C的方程： 14/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过F且斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，求△AMN的面积： (3)设P是椭圆C上不同于A,B的一点，直线PA、PB与直线X=4分别交于点D、E证明：以线段DE为直 径的圆过定点，并求出定点的坐标. x2 y2 20.(25-26高二上浙江温州：期中)如图，从椭圆4+3=1上一点p(异于椭圆的左、右顶点)射出的 光线照射到椭圆的右焦点上，经产轴反射，反时光线过稀圆上的另一点。 (1)写出的坐标： (2)证明：直线PQ过定点： (3)0、乃、P、Q四点能香共圆？请说明理由。 15/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2,y2 21.(25-26高二下广西南宁期末)已知椭圆c:京+存=1(>b>0)的离心率为2，短轴长为23 (1)求C的方程； F(1,0 (2)过点 的直线 《斜率存在且不为0)与C交于M、N两点，N关于x轴的对称点为P,已知 2(4,0) (i)求 Mg·Ng 的取值范围： (i)证明：P、M、O三点共线 16/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五直线方程及弦长（共6小题） 2.25-26高二下：甘肃兰州西北师范大学附属中学期末)已知椭圆C:父+上 a+=1a>b>0的短轴长为22 点pR2,1在c上. (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知直线：y=x+V2与椭圆C交于A,B两点，且AB=√6，求k的值. 17/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23已如稀回E的中心为丝标原点，对将#为x镇、y喻，且过A1Q1,A3,号引丙点。 (1)求E的方程. (2)直线l:y=kx+t与E交于M,N两点. ①若k=1,求t的取值范围； ②若MN=7,求k的取值范围. 24.(25-26高二下·福建泉州第五中学.期末)已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率= 3 2 以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.F为E的右焦点，P为E上一点，P℉⊥x轴， ⊙F的半径为PF. (1)求椭圆E和⊙F的方程； 2)若直线1：y=k(x-3)(k>0)与⊙F交于A,B两点，与E交于C,D两点，其中A,C在第一象限， 是否存在k使AC=BD？若存在，求1的方程：若不存在，说明理由. 18/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5525离三下商宜威珍学校尼据国c芹+长-1g>00张、长之比内5： 经过点 (1)求C1的方程： (2)设椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，又C2与C1的离心率相等. ①用一个正的参数入写出C2的方程； ②已知A为C,的右端点，若B'C分别为C,C,上的点，满足：范AC=0'A=|AC,求c,的长轴 长的取值范围. 19/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14 6(26-27-云南阶段检测)已知髓圆c:卡+厂a>b>0)的右顶点为DL,0,离心率为4 (1)求C的焦距： P(0,1) (2)若过点 3线与C交于4,8丙直，且0-60.求直线的万程 27.(26-27江西开学考试)已知椭圆C:之+ +2=1(a>b>0)的长半轴长为2，焦距为25 (1)求椭圆C的方程： 0,2) (2)过点 的直线与椭圆C交于A,B两点，0为坐标原点，求△0MB的面积的最大值及此时直线 20/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的方程. 题型六斜率问题（共4小题） 28、(2026天津高考真题)已知椭圆C:三+片 。+京1（a>h>0)的离心率为，椭圆被直线x=b截得的 线段长为 (1)求C的标准方程： (2)斜李为5的直线与圆子+少=分 相切，且该直线交椭圆 P,W,)<片)，A是椭 k 圆的上顶点.记直线AP,A犯的斜率分别为k,k,求k. 21/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(25-26高二下四川泸州期中)已知椭圆C,3+上 621 x+y=1 (a>b>0)的两个顶点在直线2 上， √2 直线/经过椭圆c的右焦点F,与椭圆C交于A:B两点，点P (点p不在直线1上)为椭圆C上 一点。 (1)求椭圆C的标准方程： 2 (2)若△PAB的面积为3，求直线AB的斜率. 22/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30,(26-27北京开学考试)已知椭圆E:+片 元+京=1(a>b>0的-个焦点为FL,0),离心率为3 (1)求椭圆E的方程： (2)过点F作斜率为 (k≠0) 的直线交椭圆E于两点A,B,AB的中点为M.设O为原点，射线OM 交椭圆E于点C,当△ABC与△ABO的面积相等时，求k的值. 0:x2+y2= 9上的动点M向”轴作垂线，垂足为D,动点N满足 N 31.(26-27:陕西商洛开学考试)过圆 DN =2NM (1)求动点N的轨迹E的方程： 23/28 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(-4,0 (2)过点 且斜率不为0的动直线与E相交于A,B两点，B的中点为°， (i)证明：直线I与O0的斜率之积为定值： (i)求aOAB面积的最大值. 题型七轨迹方程问题（共5小题） 32(25-26高二下湖南邵阳期)已知椭圆：E:式+号=1a>b>0的长轴长为4，离心率e=1,过E的 右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A,B两点. (1)求E的标准方程： (2)若点P(4,0,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证：k1+k2=0: (3)若点C,D分别为E的左、右顶点，直线AC与BD的交点为Q,求点Q的轨迹方程. 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高二上湖南邵阳新邵县：期已知圆A:x+2P+y=64点B12,0:点p是圆1上任意一点.线 段BP的垂直平分线和半径AP相交于点Q,与圆A交于M,N两点，则当点P在圆A上运动时， (1)求点Q的轨迹方程： (2)证明：直线MN是点Q轨迹的切线； (3)求△PMN面积的最大值. 25/28 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.(2026·福建漳州模拟预测)已知动圆过 点G(-,0)且与圆S:x-l+y=16 相内切，记动圆圆心 的轨迹为曲线「。 (1)求Γ的方程： (2设率为的直我'与厂的交点为4B,与'轴的交点为P,老P历=7，求自我的方轻 35.(26-27·浙江杭州开学考试)在圆 O:+少-5上任取一点P,过点P作'轴的垂线段PD,D为垂 足，点满足D DO=mDP ,其中m>0且m≠1.当点P在圆O上运动时，点2的轨迹为曲线「. (1)求「的方程与离心率； (2)设不经过第二象限的直线I与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与曲线「相交于M、N两点，若点 AB三等分线段MN,求I的方程. 26/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36(25:2ó高=下r匹桂林期末)已知点45.0），B2,0,7- 动点M满足直线MA和 MB的斜率乘积为4· (1)求动点M的轨迹方程； (2)直线I与动点M的轨迹交于P,Q两点，其中直线TP的斜率大于0，且直线TP、TQ的斜率之和为 0,4Pm0-. 27/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)求点P的坐标： △PTg (ⅱ)求 的面积. 28/28专题10 椭圆综合大题7大题型 题型1 定点、定值、定直线问题（重点） 题型5 直线方程及弦长（重点） 题型2 面积与范围、最值问题（重点） 题型6 斜率问题 题型3 存在性及证明问题 题型7 轨迹方程问题 题型4三点共线及四点共圆问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定点、定值、定直线问题（共5小题） 1. (25-26高二下·广东广州番禺区·期末)已知椭圆：（）的离心率为，且过点．设点处的切线为． (1)求的方程； (2)求直线的方程； (3)直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线与的交点是为定点，定点坐标为 【分析】（1）由待定系数法及离心率公式即可求得结果； （2）设出直线方程，运用直线与椭圆相切时，联立直线方程与椭圆方程消元后令即可； （3）分两大类进行讨论：①当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，消去，写出韦达定理，结合可得或，分别找出两种情形下直线所过的定点，确定与直线的交点坐标；②当直线的斜率不存在时，设其方程为，求解直线方程得交点坐标即可得结论． 【详解】（1）由题意，得，则， 故椭圆． （2）由题意可得，直线的切线斜率一定存在． 令直线，联立， 整理得， 所以， 即，所以， 故直线，即直线． （3）因为直线过点，且，所以直线， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，得， 由，知， 设，，则，， 由于，所以， 即， 所以， 化简整理得，， 所以或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点，点在直线上， 即直线与的交点是为定点； ②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且， 因为，所以 ， 解得或2（舍2），则直线：与直线的交点坐标为； 综上所述，直线与的交点是为定点，定点坐标为． 2. (25-26高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究 是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，1 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算求解； （2）（i）根据斜率积的值分的斜率不存在及的斜率存在，分别计算求解； （ii）先联立方程组计算得出，再类比得出，最后结合椭圆方程化简求解即可. 【详解】（1）由题， 解得，故椭圆方程：； （2）（i）， 当的斜率不存在时，设， 与椭圆方程联立得，， ， 所以，则， 当的斜率存在时，设， 与椭圆方程联立得， 当时，方程两根即为， 由韦达定理，， ，得， ， 点到的距离， 因此， 综上，； （ii）由题直线 由解得， 所以， 所以， 同理 由解得， 故解得， 可得， 故 利用， ， 又因为，所以，所以， 所以 ． 3. （25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【详解】（1）由已知，焦距为，得；离心率，代入，得； 由，得，因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为，设，，， 联立，化简得，由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ，根据对称性可知直线恒过定点位于轴上，令，并代入，，化简得，因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ）由可知，的面积； 的面积；由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得，化简得 解得，即，因此直线的方程为. 4. （26-27高三上·山东·阶段检测）已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 【详解】（1）由题意可得，，所以.因为，所以，所以的方程为. （2）证明：由（1）可知，，，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得，则，，而四边形的对角线互相垂直，所以， 因为，， 所以 所以，所以四边形的面积为定值. 5. （2027·湖南衡阳·一模）已知椭圆的右焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得，则，由韦达定理得设过点的切线为，联立，得，令上式中，即，即，即，即，即，解得，故切线的方程可化为，同理可得过点的切线的方程为，联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点，因为，所以三点共线．所以， 因为，所以，所以． 题型二 面积与范围、最值问题（共6小题） 6. (25-26高二下·重庆南开中学校·期末)已知椭圆：离心率为，是椭圆内过焦点且垂直于长轴的一条弦，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，设椭圆的右顶点为D，A、B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，直线与直线、交于不同的两点M、N，则当时，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、通径以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，求得点的坐标，根据距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）不妨设点在第一象限，则， 由已知得，联立可得，，， 所以椭圆：. （2）设，， ：，： ∴， 联立得， 又，∴， 所以. 7. (25-26高二下·内蒙古包头·期末)已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案. 【详解】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 8. （25-26高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）求面积的最大值． 【详解】（1）由题意得，，．可知，，所以椭圆的标准方程为． （2）证明：根据题意，设直线的方程为，，，， 由，可得， 则，，所以， 而，所以，所以成立． （3） ．令，，则，又，所以当，即时，取得最大值，为.故面积的最大值为． 9. （25-26高二下·湖南长沙·期中）已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 【详解】（1）依题意可知解得，，，所以椭圆的标准方程是. （2）设，，，当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得，且，，① 又，直线的方程为，令，解得， 将①代入可得，所以定点为，当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点，所以直线过轴上的定点. （3）当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况. 两直线交于，，因为，，所以，所以， .所以.又因为，所以 . 10. （25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 【详解】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点，故，所以椭圆，代入，解得，故椭圆的方程为 （2）（i）设，则，所以，由，知 故，故为定值． （ii）由（i）可知直线，直线； 联立，整理得：， .故由韦达定理.联立，整理得：，， 故由韦达定理. 故， ，故.当且仅当时取等号；此时，故在椭圆内成立；综上所述：直线的斜率的最小值为． 11. （26-27·广东广州·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，短轴长是． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与轴交于点，过点的直线与椭圆交于，两点． （i）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：； （ii）过点作直线的垂线交直线于点，求面积的最小值． 【详解】（1）由题意得，，所以则椭圆的标准方程是． （2）（i）解法一：当直线与轴不重合时，设直线的方程为，， 由得，恒成立， ，，所以， ，，当直线与轴重合时，显然，所以，综上所述． 解法二：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得，恒成立， ，，所以， ，，当直线与轴垂直时，显然，所以， 综上所述． （ii）解法一： ， 直线，则，， ， 令，则， 则，在单调递增且， 在单调递增，当，即时有最小值； 解法二：当直线的斜率存在时， ，令，则因此， 令则于是，函数，显然单调递增，所以，当直线的斜率不存在时，可得，，此时， 综上所述，当直线的斜率不存在时有最小值，又因为当直线的斜率不存在时与重合有最小值，此时，所以的最小值为． 题型三 存在性及证明问题（共5小题） 12. （25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意得，解得.所以的方程为. （2）设.由，得，则，当时，取得最小值，最小值为. （3）存在点，使得为定值.理由如下：当的斜率存在时，设点，，.由得，得 由题意得，则，所以 ，化简得.因为不在直线上，所以，所以，即，则的方程为，故直线过定点.当的斜率不存在时，设点，得，则.由，得，得或（舍去）.故方程为：，经过点. 综上，直线过定点.令为的中点，则，点在以为直径的圆上.当与重合时，，当与不重合时，.故存在点，使得为定值.    13. （26-27重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：. （2）证明：如图，设直线方程为，令， 由消去得，设， 解得，，设直线的方程为，令， 由消去得，设，解得，, 由三点共线，得，代入点坐标化简得，由三点共线，同理得，因此，所以. （3）由，得，则，解得， 由点在椭圆内部，得，解得，则，设点，则，若为定值，则，其中为常数，平方并整理得恒成立，因此，解得，，所以存在点，使得为定值. 14. （26-27北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. （1）求椭圆方程 （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 【详解】（1）由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为. （2）设直线 ， 的斜率分别为 ，，只需证明 即可. 设，，则 ，. 因为直线平行于 ，， 所以可设直线的方程为. 联立，消去，得 . ，又 ，所以 且 所以 ，， 又 ，所以 ， 故直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 15. （26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【详解】（1）将点和代入椭圆方程可得，解得； 即椭圆的标准方程为； （2）（i）设,联立直线与椭圆方程，消去整理可得，由韦达定理可得；又，当时，可得 ；当时，可得，此时直线，此时，两点坐标分别为和，或者和；显然此时，，满足，即；综上可知； （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即，由（i）中可知，垂直平分，即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 16. （26-27·河北雄安·开学考试）已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的值； （3）若线段的中点为T，证明：是的角平分线. 【详解】（1）设，由题意有，可得，.故椭圆的标准方程为. （2）设P，Q两点的坐标分别为，，直线的方程为.联立方程，消去后整理为.可得，. 直线的方程为，令，可得，可得点的坐标为， 同理可得点的坐标为.由，. 有. 所以的值为. （3）证明：由，，可得.由直线的方程为，点到直线的距离为.又由，有，，有.有 .又由，有，可得.可得，又由轴，故是的角平分线. 题型四 三点共线及四点共圆问题（共5小题） 17．(25-26高二下·河南驻马店·期末)已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 18. (25-26高二上·广东江门·调研)已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可知直线的方程为，代入椭圆方程化简得，利用弦长公式，结合韦达定理可求； （2）可设直线的方程为：，由方程组，消去整理得，结合韦达定理、斜率公式化简可得，从而可证三点共线. 【详解】（1）∵，直线的斜率为1， ∴直线的方程为：， 代入椭圆方程得：化简得：， 设，则有， ， 所以为； （2）由题意知，直线不与轴重合， 故可设直线的方程为：，设， 由方程组，消去整理得， ， 直线：，令得：， ， 即， 又直线与直线有公共点， 所以，，三点共线． 19. (25-26高二上·四川内江·期末)已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积； (3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解； 【分析】（1）根据椭圆的性质可求得的值，继而求得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，继而求得弦的长，利用点的直线的距离公式，求得三角形的高，利用面积公式计算即可； （3）设点，求得直线的方程，令，求得，的坐标，表示出圆的方程即可证明. 【详解】（1）由题意知，，则， 又离心率，所以， 则， 所以椭圆的方程为. （2）由题知，, 则过且斜率为1的直线方程为，即， 联立，消去得， 设， 则， 则 ， 又点到直线的距离 ， 所以的面积. （3）由（1）得， 设，则，即； 直线，直线， 点纵坐标点纵坐标， 即， 以为直径的圆的方程为:， 由对称性可知:以为直径的圆所过定点位于轴上， 设 ，， ，解得或， 以为直径的圆过点. 20. （25-26高二上·浙江温州·期中）如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 【详解】（1）在椭圆中，，，则，故. （2）若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾，故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、，由，得，， 由韦达定理可得，．由，得， 又，故， 即，则，化简整理得，于是直线的方程为，因此直线过点. （3）、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为．联立上述两个方程，得的外心的横坐标为．因，故， 所以，于是，所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 21. （25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. （1）求的方程； （2）过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为； （2）（i）依题意可设直线l的方程为， ，，，联立，消元得， 显然，则，，， 则 ，因为，所以，则，所以的取值范围为． （ii）直线的方程为，即， 其中 ，则直线PM的方程为，故直线PM过定点，即、、三点共线. 题型五 直线方程及弦长（共6小题） 22. (25-26高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为： (2) 【分析】（1）由短轴长可求得，利用椭圆过点，可求，进而求得椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。联立方程组，由根与系数的关系可求得，利用弦长公式可求得的值. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以短半轴长。 所以椭圆的标准方程为：，又因为点在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。 由，可得， 整理得，，解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以 整理得，解得或（舍去）， 所以. 23. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． ①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）对于椭圆方程，可设出椭圆的标准方程，将已知点代入求解； （2）对于直线与椭圆相交问题，联立直线与椭圆方程，利用判别式和韦达定理来确定参数的取值范围. 【详解】（1）设的方程为，             则解得，                        所以E的方程为. （2）联立得．               ，化简得．               ①因为，所以，解得， 所以的取值范围为．               ②设，则．                                    ，                         化简得，                即，               所以，解得， 所以的取值范围为． 24. (25-26高二下·福建泉州第五中学·期末)已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF． (1)求椭圆E和的方程； (2)若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为，的方程为； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出得椭圆的方程，再求出的方程. （2）设出、的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论． 【详解】（1）设椭圆的方程为，由离心率，得， 由以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，得， 解得，椭圆的方程为：，， 由轴，得，所以的方程为：. （2）由在圆上得，设，， 则，同理， 若，则，即， 因此， 由得， 因为， 所以， 于是，即，无解， 所以不存在k使.    25. (25-26高二下·云南宣威部分学校·)已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 【答案】(1) (2)①;②. 【分析】（1）根据题意得出关于的方程，解得答案即可得到椭圆方程.（2）①根据两个椭圆的离心率相等设椭圆方程为，化简即可的答案;②根据条件可得且，，设，分别求得，，，，直线的方程为，代入计算结合，可解得，因为位于上，求 ，为上任一点，化简得，联立有解，求得长轴长取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点，所以， 解得，，所以的方程为. （2） ①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上， 又与的离心率相等，所以可设的方程为， 即的方程为. ②因为，，所以且，， 设， 所以，， 设，所以，， 直线的方程为，即， 所以，代入得， ， 因为，所以， 不妨设，代入的方程可解得， 因为位于上，所以 ， 为上任一点，所以，化简得， 设，因为为上任一点，即有解， 整理得，， 解得，所以， 所以的长轴长. 26. （26-27·云南·阶段检测）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）由题意可得，且，解得，则， 因此焦距. （2）由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论：当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ，满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为，联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，，代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得，即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 27. （26-27·江西·开学考试）已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 【详解】（1）已知椭圆的长半轴长为2，即．又已知焦距为，即， 所以．根据椭圆的性质，可得 所以，故椭圆的方程为． （2）依题意，直线的斜率必然存在，设该直线的斜率为，则直线的方程为， 设，，联立方程：，整理得．因为直线与椭圆交于两个点，所以，即，，， 到直线的距离，根据弦长公式， 可得， 所以．设，则，即，所以，当且仅当时等号成立．当时，，解得，所以直线的方程为或，因此的面积的最大值为1，此时直线的方程为或． 题型六 斜率问题（共4小题） 28. （2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即，由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而，所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得，椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程，化简得，解得或，当时，，当时，，由于，所以，则，，此时.综上所述，的值为. 29.（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的斜率． 【详解】（1）由题意得直线与坐标轴的交点为，，得到，，即椭圆C的标准方程为. （2）当直线AB的斜率不存在时，不符合题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 如图，作出符合题意的图形，且设，， 由，得到可得，由韦达定理得，， 由弦长公式得， 设点P到直线AB的距离为，由点到直线的距离公式得，所以，而的面积为，得到，解得． 30. （26-27·北京·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点，则.离心率，，故椭圆的方程为. （2）设直线方程：.由消去整理得. 设，，由韦达定理， 为中点，则，即. 设，则，点在椭圆上，代入椭圆方程： ，即，代入：， .又与同以为底，，所以，所以，所以.两边平方得，所以，. 31. （26-27·陕西商洛·开学考试）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的动直线与相交于，两点，的中点为， （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）求面积的最大值． 【详解】（1）设，，则，所以，， 又，所以，即，解得， 又点在圆上，所以，故动点的轨迹的方程为． （2）（i）由题可设，，．联立，消去整理得，，即， 所以，，所以，则， 又为的中点，故，所以直线的斜率， 显然，所以直线的斜率为，故直线与的斜率之积为（定值）． （ii）由（i）可知， 又点到直线的距离，所以， 令，则，，当且仅当，即时，等号成立，当时，，符合题意．故面积的最大值为． 题型七 轨迹方程问题（共5小题） 32. (25-26高二下·湖南邵阳·期末)已知椭圆：的长轴长为4，离心率，过E的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A，B两点． (1)求E的标准方程； (2)若点，设直线的斜率分别为，求证：； (3)若点C，D分别为E的左、右顶点，直线与的交点为Q，求点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合直线斜率公式，进行化简，即可求解； （3）设点，得到直线和的方程为和，消去y得，结合，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的长轴长为4，离心率， 可得，解得，又由，可得， 所以椭圆E的标准方程为． （2）解：由题意知，直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为， 且，联立方程组，整理得， 则有且， 故 ． （3）解：设点，由题意知点A和点B均不在x轴上，所以， 则直线的方程为，①  直线的方程为，② 由①②消去y得， 即， 又由，代入可得， 解得，所以点点的轨迹方程是. 33. (25-26高二上·湖南邵阳新邵县·期末)已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， (1)求点的轨迹方程； (2)证明：直线是点轨迹的切线； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. （2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可， （3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可 【详解】（1）由线段的垂直平分线的性质可知，， 故， 所以点在以点A，为焦点的椭圆上， 其中椭圆的长轴长为8，焦距为，短轴长， 故点的轨迹方程为：. （2）设， 则有：， 将代入椭圆：消去整理得 ， 故， 即 所以，直线是点轨迹的切线；. （3）由（2）可知，点到直线的距离为 ， 点A到直线的距离为 ， 故线段， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，的面积的最大值为. 34. （2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则，圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切，则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到，所以，则的方程为. （2）设直线，，易知，由，消得到，即，则，且①，②， 又，且，所以③，由①③得到，由②③得到，所以，整理得到，解得，满足，所以直线的方程为或. 35. （26-27·浙江杭州·开学考试）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，其中且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求的方程与离心率； （2）设不经过第二象限的直线与轴、轴分别相交于两点，与曲线相交于两点，若点三等分线段，求的方程． 【详解】（1） 设点Q坐标为，设点P坐标为，由题意可知，，点D坐标为.因为，所以有，解得，所以点P坐标为， 因为点P在圆上，将点P坐标代入得：，即的方程为. 因为且，所以是椭圆.当时，，，， 因此离心率.当时，，，， 因此离心率. （2） 因为直线l不过第二象限，且与x轴，y轴都有交点， 所以设直线l的方程为，其中斜率，y轴截距.令得，令得. 因为点A、B三等分线段，所以线段的中点与线段的中点重合，线段中点坐标为. 将代入椭圆方程中，整理得：，设，，由韦达定理得，. 所以线段中点横坐标为.令两个中点横坐标相等：， 化简得：，结合，得.由三等分关系得弦长，即水平方向坐标满足，，  结合韦达定理，有， 代入和得：，得，因为，所以.因此直线l的方程为，整理为. 36. （25-26高二下·广西桂林·期末）已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【详解】（1）设，由题意有，化简得：，即，，故所求动点的轨迹方程为； （2）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，则， 所以，又，所以，得，故，，    因为，所以直线：，即，     （ⅰ）联立，得，化简得，解得或（舍去）， 故； （ⅱ）直线：，即，联立，得， 化简得，解得或（舍去），故，    所以， ，因为，所以，  故的面积是. $